Mann-Whitney U 检验：t 检验的非参数替代方法

您是否曾经运行过 t 检验，得到一个诡异的 p 值，后来才发现您的数据与正态分布相去甚远？

这在某个时刻几乎每个人都遇到过。t 检验的问题在于它假设您的数据服从正态分布。当这一假设不成立时，结果可能具有误导性。偏态数据和小样本量都会违反正态性假设。而现实世界的数据很少按教科书的方式表现。

Mann-Whitney U 检验正是为解决这一问题而来。它是 t 检验的非参数替代方法，基于秩次而非均值来比较两个组，因此不在意分布的形状。

本文将介绍什么是 Mann-Whitney U 检验、何时使用、其数学原理，以及如何在 Python 和 R 中运行并解读它。

但究竟什么是 t 检验？如果您有这个疑问，请阅读我们的Python t 检验入门一文——它会解答您的所有问题。

什么是 Mann-Whitney U 检验？

Mann-Whitney U 检验是一种用于比较两个独立组的非参数统计检验。

与 t 检验不同，它不假设您的数据服从正态分布。它通过将原始数值转换为秩并进行分析，来比较两组的分布。这使其在数据存在偏态、离群值，或以其他方式不满足正态性要求时成为一个不错的选择。

您也会看到它被称为Wilcoxon 秩和检验。在大多数情境下这两个名称是同义的。

何时使用 Mann-Whitney U 检验

Mann-Whitney U 检验需要满足一组特定条件。仅当以下全部条件成立时才应使用：

• 两个独立组： 样本不重叠，一个组的取值不会影响另一个组
• 有序或连续数据： 如考试分数、响应时间或任何测量值
• 非正态分布： 数据偏态、厚尾，或样本太小无法确认正态性
• 样本量小： 数据不足以依赖中心极限定理

我们来看一个例子。

假设您有两门采用不同教学方法的课程，想知道哪一门的考试成绩更好。您绘制分数分布图，发现它们并不服从正态分布——其中一班有几个离群值将分布向右拉。t 检验比较的是组均值，因此这些离群值会抬高均值，让这一班看起来比实际更好。

这种偏斜的均值进入了 t 检验的计算，返回的 p 值并不能反映两组之间的差异。Mann-Whitney U 检验不会出现这个问题，因为它使用的是秩而非原始分数。单个离群值最多只能成为最高秩的值，无法像均值那样扭曲结果。

当您处理有序数据（如 1-5 的问卷量表）时，它也是首选。这些取值并非真正连续，计算均值意义不大。

Mann-Whitney U 检验公式

该检验会产生两个 U 统计量，每个组一个。公式如下：

Mann-Whitney U 检验公式

其中：

• n1 和 n2 是第 1 组和第 2 组的样本量

• R1 和 R2 是各组的秩和——即分配给各组观测值的所有秩的总和

秩和的计算方法是将两组的所有数值合并，从小到大排序，并为每个数值分配一个秩。最小值的秩为 1，其次为 2，依此类推。然后分别将属于各组的秩相加。

检验统计量是 U1 和 U2 中较小的一个。随后将其与临界值比较，或用来计算 p 值。

好消息是您无需手工计算。Python 和 R 都能替您完成，下面我会演示。

Mann-Whitney U 检验的假设

Mann-Whitney U 检验比 t 检验更灵活，但仍有三项需要遵守的假设：

• 样本独立： 两组彼此不影响。一组中的观测与另一组中的观测无关系
• 有序或连续数据： 数据需要具有自然顺序——可以判断某个值高于或低于另一个值
• 分布形状相似： 如果您希望将结果解读为中位数比较，则两组应具有大致相同形状的分布。若形状不同，检验仍可进行，但您比较的是平均秩而非中位数

第三个假设最容易让人困惑。

Mann-Whitney U 检验常被描述为对中位数的检验，但只有在两组分布形状相似时这才成立。如果不相似，结果会告诉您更一般的信息——一组的取值是否整体上倾向于高于另一组。

Python 中的 Mann-Whitney U 检验

Python 的 scipy.stats 模块提供了 Mann-Whitney U 检验的函数。下面用两班考试分数做一个简单示例。

from scipy.stats import mannwhitneyu

class_a = [72, 85, 90, 65, 78, 88, 95, 70, 83, 76]
class_b = [60, 55, 74, 68, 80, 58, 63, 71, 66, 59]

stat, p_value = mannwhitneyu(class_a, class_b, alternative="two-sided")

print(f"U statistic: {stat}")
print(f"P-value: {p_value:.4f}")

Python 中的 Mann-Whitney U 检验

参数 alternative="two-sided" 告诉检验您在检测两组是否在任一方向上存在差异。您并未预设哪一组更高。如果您有方向性假设，则应使用 "less" 或 "greater"。

此处 p 值为 0.0046，低于 0.05 的常用阈值。这意味着您可以拒绝原假设，即两班分数分布之间存在统计学显著差异。

仅就 U 统计量本身而言，缺乏上下文意义不大。您可以关注 p 值来判断差异是否具有统计学显著性，并查看原始数据或中位数来理解差异的方向。

R 中的 Mann-Whitney U 检验

R 通过 wilcox.test() 函数来运行 Mann-Whitney U 检验。我将沿用前面的考试分数示例。

class_a <- c(72, 85, 90, 65, 78, 88, 95, 70, 83, 76)
class_b <- c(60, 55, 74, 68, 80, 58, 63, 71, 66, 59)

wilcox.test(class_a, class_b, alternative = "two.sided")

R 中的 Mann-Whitney U 检验

W 统计量与 U 统计量相同——R 只是使用了不同的标签。解读方式与 Python 相同：p 值 0.0029 低于 0.05，因此两组之间存在统计学显著差异。

您也可能会看到关于并列值（ties）的警告。

当两组中有两个或多个相同的取值时就会出现这种情况，这会影响秩的分配。R 会为您处理这种情况，但如果并列很多，值得检查您的数据是否满足检验的假设。

如何解读 Mann-Whitney U 检验结果

Mann-Whitney U 检验的原假设是两组来自同一分布——换言之，它们之间没有差异。您的任务是寻找反驳这一假设的证据。

p 值就是实现这一点的方式：

• p < 0.05： 拒绝原假设。两组的分布不同，该差异具有统计学显著性
• p >= 0.05： 证据不足以拒绝原假设。这并不意味着两组完全相同，只是说明数据未显示出明确差异

请记住，Mann-Whitney U 检验比较的是分布。显著结果表明一组的取值往往比另一组的取值秩更高——而非平均数更高。若要描述差异方向，请查看各组的中位数，而非均值。

Mann-Whitney U 检验 vs t 检验

这两个检验解决的是同一问题（比较两组），但方法不同，选错会影响结果。

t 检验

t 检验比较两组的均值。它建立在数据服从正态分布的假设之上，当该假设成立时，是一个很好的检验。

问题在于这一假设。如果数据有偏或样本量较小、难以确认正态性，t 检验的结果就可能不可靠。均值会受极端值拉动，p 值也会反映这一点。

在以下情况下使用 t 检验：

• 数据服从正态分布
• 样本量足够大
• 处理的是无明显偏态或离群值的连续数据

Mann-Whitney U 检验

Mann-Whitney U 检验比较的是分布而非均值。它将两组的所有数值合并排序并赋秩，检验是否有一组持续地获得更高的秩。由于基于秩，离群值和偏态不会像在均值情况下那样扭曲结果。

当数据确实服从正态分布时，t 检验在检测差异方面通常更有力。Mann-Whitney U 检验更灵活，但会牺牲一定的敏感度。

在以下情况下使用 Mann-Whitney U 检验：

• 数据不服从正态分布
• 处理有序数据
• 样本量小，无法确认正态性
• 存在离群值且无法剔除

下面是两者的快速对比：

t 检验与 Mann-Whitney U 检验对比

拿不准时，先检查分布。如果大致正态，用 t 检验；否则，Mann-Whitney U 检验更稳妥。

Mann-Whitney U 检验的常见错误

大多数错误源于未理解该检验的本质。以下是最常见的几种。

误以为比较的是均值

这是最常见的误解。Mann-Whitney U 检验比较的是分布，而非均值。显著结果表明一组的数值倾向于获得更高的秩——并不代表平均数更高。如果需要描述差异，请报告中位数，而非均值。

忽视分布形状差异

如果两组的分布形状不同——一组右偏，另一组对称——就不能将结果解读为中位数的比较。检验仍可运行，但输出显示的是整体分布的差异，而非中心位置的偏移。在就中位数下结论前请先检查分布。

误解 p 值

p 值低于 0.05 意味着差异具有统计学显著性。它并不告诉您差异有多大或是否具有实际意义。非常大的样本即使组间实际差异很小也可能产生显著的 p 值。如果分析中关心效应量，请另行计算。

用于配对数据

Mann-Whitney U 检验适用于两个独立组。如果数据是配对的——同一受试者测量两次，或成对匹配——应使用 Wilcoxon 符号秩检验。

何时不应使用 Mann-Whitney U 检验

Mann-Whitney U 检验并非所有情境的合适工具。以下情形应选择其他方法。

您的数据是配对的

如果同一受试者同时出现在两组中——如干预前后测量，或匹配对——两组样本并不独立。Mann-Whitney U 检验假设独立，在此情境下会忽略观测间的关联，导致结果不可靠。应使用 Wilcoxon 符号秩检验。

您有两组以上

Mann-Whitney U 检验一次只能比较两组。如果需要比较三组或更多，请使用 Kruskal-Wallis 检验，它是一元方差分析的非参数等价方法，能处理多组。

大样本且数据正态

Mann-Whitney U 检验的主要优势是不要求正态性。如果数据服从正态分布且样本量足以确认这一点，t 检验是更好的选择。它在这种情况下统计功效更高，更有可能在真实存在差异时将其检出。

结论

当您的数据不服从正态分布、t 检验并不合适时，Mann-Whitney U 检验是一个很好的解决方案。

它基于秩而非原始数值工作，因而避开了使参数检验在偏态或小样本数据上不可靠的那些假设。这使它非常适合真实世界的分析——数据很少会按您的期望行事。

更大的启示在于检验方法的选择。没有任何一种检验适用于所有数据集。您应始终先检查数据——其分布、结构和样本量——并据此选择方法。合适的检验就是与您的数据相匹配的那一个。

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