极小值与极大值：如何寻找并解读极值点

每当一家公司通过定价追求最佳利润率，或一个模型通过调整权重来降低预测误差，其背后运行的都是同一道微积分题：找到函数的最大或最小值。这正是极小值与极大值的核心——那些告诉您函数达到极端取值的峰与谷。

本文将从极值的真正含义讲起，区分局部行为与全局行为，讲解如何用导数来寻找极值，并回到为何这些内容对优化与数据科学至关重要。如果您想在此基础上进行动手实践，我们的Python 优化入门课程涵盖了计算实现部分。

什么是极小值与极大值？

一个极小值是函数能够达到的最低取值；一个极大值是最高取值。二者合称为极值（单数：extremum）。在图像上，它们正如您所想：山谷的最低点与山峰的最高点。

从一开始就值得分清的一点是：极值是函数值（y 坐标），而其出现的位置是x 值。例如，“最大值在 x = 3 处”和“最大函数值为 f(3) = 10”并不相同。这个区别比您想的更容易让人犯错，它经常出现在考试题与面试题中。

并非每个函数都有极小值和极大值。直线二者皆无；开口向上的抛物线有极小值但没有极大值；定义在开区间上的函数可能逼近极值却永远达不到。极值并非必然存在；它取决于函数的形状以及您所考虑的定义域。

局部与全局的极小值和极大值

在寻找极值之前，有一个贯穿后文的区分值得先说清：哪些极值在局部上重要，哪些在全局上重要。这是优化中最具实践意义的概念之一，也是在此最容易让人困惑的地方。

差别归根结底在于“范围”。局部极值只关注某点附近的小邻域；全局极值则考虑整个定义域。

局部极小与局部极大

一个局部极小值是在该点处函数值小于周围所有值。您处于一个山谷的底部，即便图上别处还有更深的谷。同理，局部极大值是比其周围更高的峰，即使远处可能有更高的峰。

想象一条起伏的徒步小径。每个山头都是一个局部极大值，每个山头之间的低洼都是一个局部极小值。识别它们无需看见整条路线；只要与眼前附近比较即可。

全局极小与全局极大

一个全局极小值（也称绝对极小值）是函数在整个定义域上取得的单一最小取值。而全局极大值（或绝对极大值）是全域内的单一最大取值。全局极值总是局部极值，但反之不然。

在同一条徒步路线中，全局极大值是整段路线的最高点，而非附近最高的山头。一个函数可以有许多局部极值，但至多只有一个全局最小值与一个全局最大值（尽管这些取值可能在多个点处取得）。

这种局部与全局的区分并非只存在于理论中。它直接体现在机器学习里——当寻找全局极小值时，梯度下降可能会困在局部极小值处。后文还会提到。

如何寻找极小值与极大值

寻找极值遵循一套一致的流程。您实质上在问：函数在哪些地方由增转减，或由减转增？导数正是精确回答这一问题的工具。

一般步骤如下：

1. 计算一阶导数 f'(x)。
2. 求出临界点，即 f'(x) = 0 或 f'(x) 不存在的点。
3. 将每个临界点分类为局部极小、局部极大或都不是。
4. 若在闭区间上求解，也要检查端点。
5. 比较所有候选取值，找出绝对极值。

为具体起见，我们将始终使用同一函数：f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4，定义在区间 [0, 4] 上。

临界点与极值

函数 f(x) 的一个临界点，是定义域内满足 f'(x) = 0 或 f'(x) 不存在的 x 值。这些点是极值的候选处，即函数可能改变方向的位置。

为何极值会出现在临界点？在一个光滑的峰或谷处，切线是水平的，因而导数为零。但并非每个临界点都是极值，这一点很重要。经典反例是 f(x) = x³ 在 x = 0：导数为零，但函数并未改变方向，只是短暂停平后继续上升。导数不存在的点也需关注。像 f(x) = |x| 在 x = 0 的尖点没有导数，但那正是极小值所在。

在我们的示例中，f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2)。令其为零得到临界点 x = 1 与 x = 2。接下来要判断各自的性质。

如何使用一阶导数检验

一阶导数检验通过考察 f'(x) 是否变号来给临界点分类。若函数由增转减，则处于峰顶；若由减转增，则处于谷底。

由正到负

当 f'(x) 穿过某个临界点时由正变负，该点为局部极大值。函数先上升至此后又下降。

由负到正

当 f'(x) 由负变正，说明函数先下降后开始上升。该临界点为局部极小值。

不变号

若 f'(x) 在两侧都保持同号（始终为正或始终为负），该临界点既不是极小也不是极大。函数只是短暂停顿而未反向，例如 f(x) = x³ 在 x = 0。

对我们的函数，来测试 x = 1 与 x = 2 附近的区间。取测试点：f'(0.5) = 6(0.5 − 1)(0.5 − 2) = 6(−0.5)(−1.5) = 4.5 > 0，f'(1.5) = 6(0.5)(−0.5) = −1.5 < 0，f'(3) = 6(2)(1) = 12 > 0。在 x = 1 处，导数由正变负：局部极大；在 x = 2 处，由负变正：局部极小。相应函数值为 f(1) = 1，f(2) = 0。

一阶导数检验总是有效，但需要在各区间选取测试点，操作起来很快会变得繁琐。在满足特定条件时有更快的方法。

如何使用二阶导数检验

当在临界点处 f''(x) ≠ 0 时，二阶导数检验适用。无需跨区间检查变号，只需在临界点直接计算二阶导数。

其思想与凹凸性相关：若 f''(c) > 0，函数在 c 处上凸，形如碗口向上，临界点位于底部：为局部极小值；若 f''(c) < 0，函数下凸，形如山丘，临界点位于顶部：为局部极大值。若 f''(c) = 0，则检验无结论，需要回到一阶导数检验。

对于我们的函数，f''(x) = 12x − 18。在 x = 1：f''(1) = 12 − 18 = −6 < 0，确认为局部极大；在 x = 2：f''(2) = 24 − 18 = 6 > 0，确认为局部极小。与先前结论一致，但更为迅速。二阶导数检验并非总能奏效（在拐点及某些退化临界点会失效），但能用时可节省时间。

如何在区间上寻找绝对极小值与极大值

当您在闭区间 [a, b] 上处理连续函数时，极值定理保证绝对极大值与绝对极小值都存在。您的搜索不会徒劳。

该方法称为闭区间法：

1. 找出区间 (a, b) 内的所有临界点。
2. 在每个临界点处计算 f(x)。
3. 在两个端点 a 与 b 处计算 f(x)。
4. 最大者为绝对极大值；最小者为绝对极小值。

对 f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 于 [0, 4]，我们已知临界点为 x = 1 与 x = 2。对所有关键位置求值：

f(0) = -4

f(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1

f(2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0

f(4) = 128 - 144 + 48 - 4 = 28

绝对极小值为 f(0) = −4，绝对极大值为 f(4) = 28。注意绝对极大值出现在端点而非临界点。这正是为何不能忽略端点检查，也是人们最常犯的错误之一。我们将在错误小结中谈到这一点。

截至目前的内容适用于单变量函数。大多数现实问题涉及多变量，因此也值得看看如何推广。

多元函数的极小值与极大值

对于函数 f(x, y)，通过令两个偏导数同时为零来寻找临界点：∂f/∂x = 0 与 ∂f/∂y = 0。此时临界点是一个二元组 (x, y)，而非单一数值。分类更棘手，因为出现了新的可能性：鞍点，即函数在一个方向上向上弯，在另一个方向上向下弯。想象品客薯片中央的形状。

要对多元临界点进行分类，需要使用海森矩阵（Hessian），即由二阶偏导数组成的方阵。其行列式以及元素的符号能告诉您当前处于局部极小、局部极大还是鞍点。我们的海森矩阵教程将更深入讲解其机制，并展示其与高维曲率的关联。

优化与机器学习中的极小值与极大值

如果您接触过机器学习，其实已经在解决极小化问题了。训练模型意味着最小化一个损失函数，而损失函数本质上也是具有极小值与极大值的函数。

梯度下降是这里的主力方法。它在当前参数处计算损失函数的导数（或在多维情形下的梯度），然后沿着能使损失减少的方向迈进一步。即在损失曲面上“下山”，寻找极小值。我们的机器学习中的梯度下降教程涵盖了完整算法。

这时，局部与全局的区别就变成了工程上的现实问题。对于非凸损失函数（大多数神经网络如此），梯度下降可能会陷入局部极小值而非找到全局极小值。学习率调度、动量、随机梯度下降等技术有助于算法摆脱浅层局部极小值，尽管在非凸问题中保证找到全局极小值仍是一个未解难题。我们的成本函数教程解释了这些目标函数如何构建，以及其形状为何重要。

寻找极值的常见错误

认为每个临界点都是极值

并非每个临界点都会产生极小或极大。像 f(x) = x³ 在 x = 0 这样的拐点，虽然 f'(x) = 0，却没有方向改变。务必使用导数检验进行验证。

混淆局部与全局极值

局部极小仅是某一邻域内的最低点。全局极小可能完全在别处，或在端点。找出一个局部极值后不要就此停下。

忽略端点

在闭区间上，绝对极值可能出现在边界。我们示例中的绝对极大值在 x = 4，而非任一临界点。忽略端点是优化题中最常见的错误之一，我敢说它造成的丢分比任何概念性误解都多。

认为二阶导为零就一定没有极值

当 f''(c) = 0 时，二阶导数检验是无结论的。这并不意味着该点不是极值。考虑 f(x) = x⁴ 在 x = 0：f''(0) = 0，但 x = 0 显然是极小值。二阶导失效时请使用一阶导数检验。

混淆极值点与极值取值

极值的取值是 f(c)，而非 c 本身。把“极小值是 x = 2”当成“极小函数值是 f(2) = 0”会把输入和输出混为一谈。报告与试卷答案需要的是函数值，而不仅是位置。

结语

关于这一主题，常见的教学版本止步于“找到导数为零的点”。许多入门课程确实如此，这让学生对实践中真正重要的部分准备不足：区分您找到的是局部极小值还是全局极小值，并理解在不同任务下这两者有天壤之别。

这里的微积分很精炼：临界点、导数检验、端点检查。更花时间去内化的是背后的几何直觉：为何凹凸性决定极小值的形状，为什么端点可能胜过临界点，为什么在神经网络中进行的梯度下降，确实是在一个可能拥有成千上万局部极小值的曲面上寻找极小值。

在实现层面，我们的Python 优化入门课程将使用 SciPy 与 SymPy 从计算角度解决这些问题。在那里，微积分与代码的连接将变得具体可感。