Mínimos y máximos: cómo encontrar e interpretar puntos extremos

Cada vez que una empresa fija precios para lograr el mejor margen o un modelo ajusta sus pesos para reducir el error de predicción, hay el mismo problema de cálculo detrás: encontrar el valor más alto o más bajo de una función. De eso van los mínimos y los máximos. De los picos y valles que te dicen dónde una función alcanza sus valores extremos.

En este artículo empezaremos por lo que significan realmente los extremos, distinguiremos entre comportamiento local y global, veremos cómo encontrarlos usando derivadas y conectaremos todo esto con por qué importa en optimización y ciencia de datos. Si quieres afianzar estas ideas con práctica guiada, nuestro curso Introduction to Optimization in Python cubre la parte computacional.

¿Qué son los mínimos y los máximos?

Un mínimo es el valor más bajo que alcanza una función; un máximo es el más alto. Conjuntamente se llaman extremos (singular: extremo). En una gráfica, son exactamente lo que imaginas: el fondo de los valles y la cima de los picos.

Conviene aclarar desde el principio: el extremo es el valor de la función (la coordenada y), mientras que el punto donde ocurre es el valor de x. "El máximo está en x = 3" no es lo mismo que "el valor máximo es f(3) = 10". Esta distinción confunde más de lo que parece y aparece tanto en exámenes como en entrevistas.

No todas las funciones tienen mínimo y máximo. Una recta no tiene ninguno. Una parábola que abre hacia arriba tiene mínimo pero no máximo. Las funciones definidas en intervalos abiertos pueden acercarse a valores extremos sin alcanzarlos. Los extremos no están garantizados; dependen de la forma de la función y del dominio con el que trabajas.

Mínimos y máximos locales vs. globales

Antes de ponerte a buscar extremos, conviene tener clara una distinción que atraviesa todo lo que sigue: la diferencia entre extremos locales y globales. Es una de las ideas más importantes en la práctica de la optimización, y también donde más suele haber confusiones.

La diferencia está en el alcance. Un extremo local mira un entorno pequeño alrededor de un punto; un extremo global considera todo el dominio.

Mínimo y máximo locales

Un mínimo local es un punto donde el valor de la función es menor que todos los valores cercanos. Estás en el fondo de un valle, aunque en otra zona de la gráfica haya un valle más profundo. Un máximo local es una cima más alta que su entorno inmediato, aunque exista un pico más alto más lejos.

Imagina una ruta de senderismo con subidas y bajadas. Cada cima es un máximo local, y cada depresión entre colinas es un mínimo local. No necesitas ver toda la ruta para identificarlos; basta con comparar con lo que tienes alrededor.

Mínimo y máximo globales

Un mínimo global (también llamado mínimo absoluto) es el valor más bajo que toma la función en todo su dominio. El máximo global (o máximo absoluto) es el más alto. Un extremo global siempre es también un extremo local, pero no al revés.

En esa misma ruta, el máximo global es el punto más alto de todo el recorrido, no solo la colina más alta de alrededor. Una función puede tener muchos extremos locales, pero como mucho un valor de mínimo global y un valor de máximo global (aunque esos valores pueden alcanzarse en varios puntos).

Esta distinción entre local y global no es teórica. En aprendizaje automático aparece directamente: el descenso por gradiente puede quedarse atascado en mínimos locales al buscar uno global. Más sobre esto en un momento.

Cómo encontrar mínimos y máximos

Encontrar extremos sigue un proceso sistemático. En esencia preguntas: ¿dónde deja la función de crecer y empieza a decrecer, o al revés? Las derivadas te dan la herramienta para responder con precisión.

Este es el enfoque general:

1. Calcula la primera derivada f'(x).
2. Encuentra los puntos críticos, donde f'(x) = 0 o f'(x) no existe.
3. Clasifica cada punto crítico como mínimo local, máximo local o ninguno.
4. Si trabajas en un intervalo cerrado, revisa también los extremos del intervalo.
5. Compara todos los valores candidatos para identificar los extremos absolutos.

Usaremos una función a lo largo de todo el artículo para concretar: f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4, definida en el intervalo [0, 4].

Puntos críticos y extremos

Un punto crítico de f(x) es cualquier valor de x del dominio donde f'(x) = 0 o f'(x) no está definida. Son los candidatos a extremos, los lugares donde la función podría cambiar de dirección.

¿Por qué aparecen los extremos en puntos críticos? En una cima o valle suave, la recta tangente es horizontal, así que la derivada es cero. Pero no todo punto crítico es un extremo, y esto importa. El contraejemplo clásico es f(x) = x³ en x = 0: la derivada es cero, pero la función no cambia de dirección. Solo se aplana un instante y sigue subiendo. También hay que atender a los puntos donde la derivada no existe. Un ángulo agudo como en f(x) = |x| en x = 0 no tiene derivada y, sin embargo, justo ahí está el mínimo.

En nuestro ejemplo, f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2). Al igualar a cero obtenemos puntos críticos en x = 1 y x = 2. Ahora toca ver qué pasa en cada uno.

Cómo usar la prueba de la primera derivada

La prueba de la primera derivada clasifica puntos críticos comprobando si f'(x) cambia de signo. Si la función pasa de crecer a decrecer, estás en una cima. Si pasa de decrecer a crecer, estás en un valle.

De positivo a negativo

Cuando f'(x) pasa de positivo a negativo al atravesar un punto crítico, ese punto es un máximo local. La función sube hasta él y luego baja.

De negativo a positivo

Cuando f'(x) pasa de negativo a positivo, la función estaba bajando y empieza a subir. Ese punto crítico es un mínimo local.

Sin cambio de signo

Si f'(x) se mantiene positiva a ambos lados (o negativa a ambos lados), el punto crítico no es ni mínimo ni máximo. La función se detuvo, pero no invirtió la dirección, como f(x) = x³ en x = 0.

Para nuestra función, probemos los intervalos alrededor de x = 1 y x = 2. Elige puntos de prueba: f'(0.5) = 6(0.5 − 1)(0.5 − 2) = 6(−0.5)(−1.5) = 4.5 > 0, f'(1.5) = 6(0.5)(−0.5) = −1.5 < 0 y f'(3) = 6(2)(1) = 12 > 0. En x = 1, la derivada pasa de positiva a negativa: máximo local. En x = 2, pasa de negativa a positiva: mínimo local. Los valores de la función son f(1) = 1 y f(2) = 0.

La prueba de la primera derivada siempre funciona, pero exige escoger puntos de prueba en cada intervalo, lo que se vuelve tedioso. Hay un método más rápido cuando se cumplen ciertas condiciones.

Cómo usar la prueba de la segunda derivada

La prueba de la segunda derivada funciona cuando f''(x) ≠ 0 en el punto crítico. En lugar de comprobar cambios de signo entre intervalos, evalúas directamente la segunda derivada en el punto crítico.

La idea se relaciona con la concavidad. Si f''(c) > 0, la función es cóncava hacia arriba en c, curvándose como un cuenco, y el punto crítico queda abajo: mínimo local. Si f''(c) < 0, la función es cóncava hacia abajo, como una colina, y el punto crítico está arriba: máximo local. Si f''(c) = 0, la prueba no dice nada: tendrás que volver a la prueba de la primera derivada.

En nuestra función, f''(x) = 12x − 18. En x = 1: f''(1) = 12 − 18 = −6 < 0, confirma un máximo local. En x = 2: f''(2) = 24 − 18 = 6 > 0, confirma un mínimo local. Las mismas conclusiones que antes, pero más rápido. La prueba de la segunda derivada no siempre sirve (falla en puntos de inflexión y en algunos críticos degenerados), pero cuando lo hace, ahorra tiempo.

Cómo encontrar mínimos y máximos absolutos en un intervalo

Cuando trabajas con una función continua en un intervalo cerrado [a, b], el teorema del valor extremo garantiza que existen tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto. No estás buscando en vano.

El método se llama método del intervalo cerrado:

1. Encuentra todos los puntos críticos de f(x) dentro del intervalo (a, b).
2. Evalúa f(x) en cada punto crítico.
3. Evalúa f(x) en ambos extremos, a y b.
4. El valor más grande es el máximo absoluto; el más pequeño es el mínimo absoluto.

Para f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 en [0, 4], ya sabemos que los puntos críticos son x = 1 y x = 2. Evaluando donde importa:

f(0) = -4

f(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1

f(2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0

f(4) = 128 - 144 + 48 - 4 = 28

El mínimo absoluto es f(0) = −4, y el máximo absoluto es f(4) = 28. Fíjate en que el máximo absoluto está en un extremo del intervalo, no en un punto crítico. Por eso no puedes saltarte revisar los extremos, y además es el error más común. Lo veremos en la sección de errores.

Todo lo anterior aplica a funciones de una variable. La mayoría de problemas reales implican varias variables, así que conviene ver cómo se generaliza.

Mínimos y máximos en funciones multivariables

Para una función f(x, y), encuentras puntos críticos haciendo cero ambas derivadas parciales: ∂f/∂x = 0 y ∂f/∂y = 0. Un punto crítico ahora es un par (x, y) en lugar de un solo valor. La clasificación se complica porque aparece una posibilidad nueva: los puntos de silla, donde la función se curva hacia arriba en una dirección y hacia abajo en otra. Piensa en el centro de una patata Pringles.

Para clasificar puntos críticos multivariables, usas la matriz hessiana, una matriz cuadrada de segundas derivadas parciales. Su determinante y los signos de sus entradas te indican si estás en un mínimo local, un máximo local o un punto de silla. Nuestro tutorial Hessian Matrix profundiza en la mecánica y conecta con la curvatura en dimensiones superiores.

Mínimos y máximos en optimización y machine learning

Si has trabajado con aprendizaje automático, ya has estado resolviendo problemas de mínimos. Entrenar un modelo implica minimizar una función de pérdida, y una función de pérdida no deja de ser otra función con mínimos y máximos.

El descenso por gradiente es el caballo de batalla aquí. Calcula la derivada (o el gradiente, en varias dimensiones) de la función de pérdida en los parámetros actuales y da un paso en la dirección que reduce la pérdida. Bajar por la superficie de pérdida buscando un mínimo. Nuestro tutorial Gradient Descent in Machine Learning cubre el algoritmo completo.

Aquí es donde la diferencia entre local y global se convierte en un problema de ingeniería real. Para funciones de pérdida no convexas (la mayoría en redes neuronales), el descenso por gradiente puede quedarse en mínimos locales en lugar de encontrar el mínimo global. Técnicas como ajustar la tasa de aprendizaje, el momentum y el descenso estocástico por gradiente ayudan a escapar de mínimos locales poco profundos, aunque garantizar un mínimo global en problemas no convexos sigue siendo un reto abierto. Nuestro tutorial Cost Functions explica cómo se construyen estas funciones objetivo y por qué su forma importa.

Errores comunes al buscar mínimos y máximos

Suponer que todo punto crítico es un extremo

No todo punto crítico produce un mínimo o un máximo. Puntos de inflexión como x = 0 en f(x) = x³ tienen f'(x) = 0 pero sin cambio de dirección. Verifica siempre con una prueba de derivadas.

Confundir extremos locales y globales

Un mínimo local es solo el punto más bajo en un entorno. El mínimo global puede estar en otro sitio, o en un extremo del intervalo. No te quedes en el primer extremo local que encuentres.

Olvidar los extremos del intervalo

En un intervalo cerrado, los extremos absolutos pueden darse en los límites. En nuestro ejemplo, el máximo absoluto estaba en x = 4, no en los puntos críticos. Saltarse los extremos es uno de los errores más comunes en problemas de optimización, y diría que causa más puntos perdidos en exámenes que cualquier malentendido conceptual.

Suponer que una segunda derivada nula implica que no hay extremo

Cuando f''(c) = 0, la prueba de la segunda derivada es inconcluyente. No significa que el punto no sea un extremo. Considera f(x) = x⁴ en x = 0: f''(0) = 0, pero x = 0 es claramente un mínimo. Usa la prueba de la primera derivada cuando falle la de la segunda.

Confundir el punto extremo con su valor

El valor extremo es f(c), no c. Decir "el mínimo es x = 2" cuando quieres decir "el valor mínimo es f(2) = 0" mezcla la entrada con la salida. En informes y exámenes se necesita el valor de la función, no solo la ubicación.

Conclusión

Hay una versión de este tema que se queda en "encuentra donde la derivada vale cero". Muchos cursos introductorios hacen justo eso, y dejan a los estudiantes sin preparar para lo que realmente importa en la práctica: saber si has encontrado un mínimo local o uno global, y entender que son cosas muy distintas según lo que quieras conseguir.

El cálculo aquí es conciso: puntos críticos, pruebas con derivadas, revisar extremos del intervalo. Lo que lleva más tiempo interiorizar es la geometría que hay debajo: por qué la concavidad determina la forma de un mínimo, por qué los extremos del intervalo pueden imponerse a los puntos críticos, por qué el descenso por gradiente en una red neuronal busca de verdad un mínimo en una superficie que puede tener miles de mínimos locales.

Para la implementación, nuestro curso Introduction to Optimization in Python aborda estos problemas computacionalmente con SciPy y SymPy. Ahí es donde el cálculo se conecta con el código de forma tangible.