Minima et maxima : comment trouver et interpréter les points extrêmes

Chaque fois qu'une entreprise fixe ses prix pour optimiser sa marge, ou qu'un modèle ajuste ses poids pour réduire l'erreur de prédiction, le même problème d'analyse se répète en arrière-plan : trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction. C'est tout l'enjeu des minima et des maxima : ces sommets et ces creux qui indiquent où une fonction atteint ses valeurs extrêmes.

Dans cet article, nous commencerons par clarifier ce que recouvrent les extrémums, distinguerons le local du global, parcourrons les méthodes pour les identifier via les dérivées, et relierons le tout à leurs usages en optimisation et en data science. Si vous souhaitez mettre ces idées en pratique, notre cours Introduction to Optimization in Python couvre l'aspect computationnel.

Que sont les minima et les maxima ?

Un minimum est la plus petite valeur atteinte par une fonction ; un maximum en est la plus grande. Ensemble, on les appelle des extrémums (singulier : extrémum). Sur un graphe, rien de surprenant : les fonds des vallées et les sommets des collines.

Un point à bien garder dès le départ : l'extrémum est la valeur de la fonction (la coordonnée y), tandis que le point où elle se produit est la valeur de x. « Le maximum est en x = 3 » n'est pas équivalent à « la valeur maximale est f(3) = 10 ». Cette distinction piège plus souvent qu'on ne le pense, y compris aux examens et en entretien.

Toute fonction n'a pas nécessairement un minimum et un maximum. Une droite n'en a aucun. Une parabole ouverte vers le haut a un minimum mais pas de maximum. Des fonctions définies sur des intervalles ouverts peuvent approcher des valeurs extrêmes sans jamais les atteindre. Les extrémums ne sont pas garantis : tout dépend de la forme de la fonction et du domaine considéré.

Minima et maxima locaux vs globaux

Avant de chercher des extrémums, clarifions une distinction qui irrigue toute la suite : la différence entre des extrémums locaux et globaux. C'est une idée clé en optimisation, et aussi une source fréquente de confusion.

La différence tient à l'étendue. Un extrémum local regarde un petit voisinage autour d'un point ; un extrémum global considère tout le domaine.

Minimum et maximum locaux

Un minimum local est un point où la valeur de la fonction est inférieure à toutes les valeurs voisines. Vous êtes au fond d'une vallée, même si une vallée plus profonde existe ailleurs sur le graphe. Un maximum local est un sommet plus haut que son environnement immédiat, même s'il existe un sommet plus élevé plus loin.

Imaginez un sentier vallonné : chaque crête est un maximum local, chaque creux entre deux collines un minimum local. Pas besoin de voir tout le parcours : comparez seulement avec le voisinage immédiat.

Minimum et maximum globaux

Un minimum global (aussi appelé minimum absolu) est la plus petite valeur prise par la fonction sur tout son domaine. Le maximum global (ou maximum absolu) est la plus grande. Un extrémum global est toujours un extrémum local, mais l'inverse n'est pas vrai.

Sur ce même sentier, le maximum global est le point le plus élevé de tout l'itinéraire, pas seulement la colline la plus haute à proximité. Une fonction peut avoir de nombreux extrémums locaux mais au plus une valeur de minimum global et une valeur de maximum global (ces valeurs pouvant se produire en plusieurs points).

Cette distinction local/global n'est pas qu'un détail théorique. On la retrouve en apprentissage automatique, où la descente de gradient peut se bloquer sur des minima locaux en cherchant un minimum global. Nous y revenons plus loin.

Comment trouver les minima et les maxima

La recherche d'extrémums suit une démarche constante. La question est : où la fonction cesse-t-elle d'augmenter pour commencer à diminuer, ou l'inverse ? Les dérivées permettent d'y répondre précisément.

Voici l'approche générale :

1. Calculer la première dérivée f'(x).
2. Trouver les points critiques, où f'(x) = 0 ou où f'(x) n'existe pas.
3. Classer chaque point critique comme minimum local, maximum local ou aucun des deux.
4. Sur un intervalle fermé, vérifier aussi les extrémités.
5. Comparer toutes les valeurs candidates pour identifier les extrémums absolus.

Nous utiliserons une même fonction pour rester concrets : f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4, définie sur l'intervalle [0, 4].

Points critiques et extrémums

Un point critique de f(x) est toute valeur de x du domaine où f'(x) = 0 ou où f'(x) n'est pas définie. Ce sont des candidats à un extrémum, les endroits où la fonction peut changer de sens.

Pourquoi les extrémums apparaissent-ils aux points critiques ? Au sommet ou au creux lisse, la tangente est horizontale, donc la dérivée est nulle. Mais tout point critique n'est pas un extrémum, et c'est important. Le contre-exemple classique est f(x) = x³ en x = 0 : la dérivée y est nulle, mais la fonction ne change pas de sens. Elle s'aplatit brièvement avant de remonter. Les points où la dérivée n'existe pas méritent aussi l'attention. Un angle vif comme pour f(x) = |x| en x = 0 n'a pas de dérivée, et c'est pourtant là que se trouve le minimum.

Pour notre exemple, f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2). En l'annulant, on obtient des points critiques en x = 1 et x = 2. Il faut maintenant comprendre ce qui s'y passe.

Comment utiliser le test de la première dérivée

Le test de la première dérivée classe les points critiques en vérifiant si f'(x) change de signe. Si la fonction passe de croissante à décroissante, vous êtes sur un sommet. Si elle passe de décroissante à croissante, vous êtes au fond d'une vallée.

De positif à négatif

Quand f'(x) passe de positif à négatif en traversant un point critique, ce point est un maximum local. La fonction est montée puis redescendue.

De négatif à positif

Quand f'(x) passe de négatif à positif, la fonction descendait puis remonte. Ce point critique est un minimum local.

Pas de changement de signe

Si f'(x) reste positif de part et d'autre (ou reste négatif), le point critique n'est ni un minimum ni un maximum. La fonction a marqué une pause sans inverser son sens, comme f(x) = x³ en x = 0.

Pour notre fonction, testons les intervalles autour de x = 1 et x = 2. Choisissons des points : f'(0,5) = 6(0,5 − 1)(0,5 − 2) = 6(−0,5)(−1,5) = 4,5 > 0, f'(1,5) = 6(0,5)(−0,5) = −1,5 < 0, et f'(3) = 6(2)(1) = 12 > 0. En x = 1, la dérivée passe de positive à négative : maximum local. En x = 2, elle passe de négative à positive : minimum local. Les valeurs correspondantes sont f(1) = 1 et f(2) = 0.

Le test de la première dérivée fonctionne toujours, mais impose de choisir des points de test dans chaque intervalle, ce qui devient vite fastidieux. Il existe une méthode plus rapide quand certaines conditions sont remplies.

Comment utiliser le test de la seconde dérivée

Le test de la seconde dérivée s'applique lorsque f''(x) ≠ 0 au point critique. Au lieu de vérifier les changements de signe sur des intervalles, évaluez directement la seconde dérivée au point critique.

L'idée renvoie à la concavité. Si f''(c) > 0, la fonction est concave vers le haut en c, en forme de bol : minimum local. Si f''(c) < 0, elle est concave vers le bas, en forme de colline : maximum local. Si f''(c) = 0, le test ne conclut pas ; il faut revenir au test de la première dérivée.

Pour notre fonction, f''(x) = 12x − 18. En x = 1 : f''(1) = 12 − 18 = −6 < 0, ce qui confirme un maximum local. En x = 2 : f''(2) = 24 − 18 = 6 > 0, ce qui confirme un minimum local. Même résultat, plus rapide. Le test de la seconde dérivée ne marche pas toujours (il échoue aux points d'inflexion et sur certains points critiques dégénérés), mais quand il s'applique, il fait gagner du temps.

Comment trouver les minima et maxima absolus sur un intervalle

Sur un intervalle fermé [a, b] avec une fonction continue, le théorème des valeurs extrêmes garantit l'existence d'un maximum absolu et d'un minimum absolu. Votre recherche n'est pas vaine.

La méthode s'appelle la méthode de l'intervalle fermé :

1. Trouver tous les points critiques de f(x) à l'intérieur de (a, b).
2. Évaluer f(x) en chaque point critique.
3. Évaluer f(x) aux deux extrémités, a et b.
4. La plus grande valeur est le maximum absolu ; la plus petite est le minimum absolu.

Pour f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 sur [0, 4], nous savons déjà que les points critiques sont x = 1 et x = 2. Évaluons là où cela compte :

f(0) = -4

f(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1

f(2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0

f(4) = 128 - 144 + 48 - 4 = 28

Le minimum absolu est f(0) = −4, et le maximum absolu est f(4) = 28. Remarquez que le maximum absolu se trouve en extrémité d'intervalle, pas en un point critique. D'où l'impossibilité de faire l'impasse sur les bornes : c'est aussi l'erreur la plus courante. Nous y revenons dans la section erreurs.

Tout ce qui précède concerne des fonctions d'une seule variable. La plupart des problèmes réels en mobilisent plusieurs ; voyons comment généraliser.

Minima et maxima des fonctions de plusieurs variables

Pour une fonction f(x, y), on trouve les points critiques en annulant les deux dérivées partielles : ∂f/∂x = 0 et ∂f/∂y = 0. Un point critique est alors une paire (x, y) et non plus une seule valeur. La classification se complique car un nouveau cas apparaît : les points selles, où la fonction est courbée vers le haut dans une direction et vers le bas dans une autre. Pensez au centre d'une chips en selle.

Pour classer les points critiques multivariables, on utilise la matrice hessienne, matrice carrée des dérivées partielles secondes. Son déterminant et le signe de ses termes permettent de distinguer minimum local, maximum local ou point selle. Notre tutoriel Hessian Matrix détaille la mécanique et le lien avec la courbure en dimension supérieure.

Minima et maxima en optimisation et en machine learning

Si vous avez déjà pratiqué le machine learning, vous avez déjà résolu des problèmes de minima. Entraîner un modèle revient à minimiser une fonction de perte, qui n'est qu'une autre fonction avec des minima et des maxima.

La descente de gradient est l'outil de référence. Elle calcule la dérivée (ou le gradient, en dimension multiple) de la perte aux paramètres courants, puis fait un pas dans la direction qui réduit la perte. On descend la surface de perte à la recherche d'un minimum. Notre tutoriel Gradient Descent in Machine Learning couvre l'algorithme de bout en bout.

C'est là que la distinction local/global devient un vrai sujet d'ingénierie. Pour des fonctions de perte non convexes (cas de la plupart des réseaux de neurones), la descente de gradient peut rester coincée dans des minima locaux au lieu de trouver le minimum global. Des techniques comme les rythmes d'apprentissage adaptés, le momentum et la descente de gradient stochastique aident à échapper aux minima locaux peu profonds, mais garantir un minimum global en non convexe reste un défi ouvert. Notre tutoriel Cost Functions explique comment ces fonctions objectifs sont construites et pourquoi leur forme compte.

Erreurs fréquentes lors de la recherche de minima et maxima

Penser que tout point critique est un extrémum

Tout point critique ne donne pas un minimum ou un maximum. Les points d'inflexion comme x = 0 pour f(x) = x³ ont f'(x) = 0 mais pas de changement de sens. Vérifiez toujours avec un test sur les dérivées.

Confondre extrémums locaux et globaux

Un minimum local n'est que le plus bas point d'un voisinage. Le minimum global peut se trouver tout à fait ailleurs, ou en extrémité d'intervalle. Ne vous arrêtez pas au premier extrémum local trouvé.

Oublier les bornes

Sur un intervalle fermé, les extrémums absolus peuvent se situer aux bornes. Dans notre exemple, le maximum absolu est en x = 4, pas en un point critique. Oublier les extrémités est l'une des erreurs les plus courantes en optimisation ; elle coûte sans doute plus de points aux examens que n'importe quelle incompréhension conceptuelle.

Croire qu'une seconde dérivée nulle exclut un extrémum

Quand f''(c) = 0, le test de la seconde dérivée est non conclusif. Cela ne signifie pas que le point n'est pas un extrémum. Par exemple, f(x) = x⁴ en x = 0 : f''(0) = 0, mais x = 0 est clairement un minimum. Utilisez le test de la première dérivée quand le second échoue.

Confondre le point d'extrémum avec sa valeur

La valeur d'extrémum est f(c), pas c lui-même. Dire « le minimum est x = 2 » quand vous voulez dire « la valeur minimale est f(2) = 0 » mélange l'entrée et la sortie. Les rapports et les copies attendent la valeur de la fonction, pas seulement sa localisation.

Conclusion

Une version de ce sujet s'arrête à « trouver où la dérivée s'annule ». Beaucoup de cours introductifs s'en contentent, laissant de côté l'essentiel pour la pratique : savoir si vous avez trouvé un minimum local ou global, et comprendre que, selon l'objectif, la différence est majeure.

Le calcul en jeu est ramassé : points critiques, tests de dérivées, vérification des bornes. Ce qui prend plus de temps à assimiler, c'est la géométrie sous-jacente : pourquoi la concavité façonne un minimum, pourquoi des bornes peuvent l'emporter sur des points critiques, pourquoi la descente de gradient dans un réseau de neurones cherche réellement un minimum sur une surface qui peut en compter des milliers de locaux.

Pour la mise en pratique, notre cours Introduction to Optimization in Python traite ces problèmes de façon computationnelle avec SciPy et SymPy. C'est là que le lien entre calcul différentiel et code devient concret.