Următorul model al OpenAI, Astra, tocmai a rezolvat zece probleme deschise de matematică, vechi de decenii

Pe 1 august, OpenAI a publicat un raport susținând că următorul său model, numit intern Astra, a produs rezultate noi pentru zece probleme deschise diferite din matematică. (Nu, nu sunt problemele Millennium Prize, dar sunt semnificative oricum.)

Ce e remarcabil: aceste soluții nu sunt progrese incrementale asupra problemelor; sunt rezolvări autentice, verificate cu Lean. (Lean este un limbaj de programare și un asistent de demonstrație care obligă ca fiecare pas al unui argument matematic să fie detaliat într-o formă lizibilă de mașină.) 

E mult de asimilat dintr-odată. În acest articol, am organizat problemele pe domenii și descriu, la nivel înalt, ce s-a întâmplat, ce ar putea însemna asta pentru matematică ca disciplină și ce mai putem deduce despre Astra.

Care sunt cele zece probleme?

Iată fiecare rezultat, în termeni simpli, împreună cu domeniul specific de matematică sau informatică de care aparține.

Grupuri non-sofice

Domeniu: Teoria grupurilor

Astra a produs o construcție explicită a unui grup care nu poate fi aproximat, oricât de fin, prin structuri finite mari — închizând o întrebare deschisă încă de când conceptul de grup „sofic” a fost introdus în 1999. Construcția vine cu o demonstrație că nicio succesiune de aproximări finite nu poate funcționa vreodată, formalizată în Lean astfel încât logica să poată fi verificată mecanic.

Wikipedia a fost deja actualizată:

Ambalarea sferelor

Domeniu: Geometrie în dimensiuni înalte

Întrebarea este cât de dens pot fi împachetate sfere identice, neintersectate, pe măsură ce numărul dimensiunilor crește. Astra a demonstrat un plafon mai strâns pentru acea densitate în dimensiuni înalte, prima îmbunătățire a acestei borne specifice din 1978. Nu oferă o metodă mai bună de împachetare — ci restrânge cât de bună ar putea fi orice metodă viitoare.

Coduri binare și sferice

Domeniu: Teoria codurilor

Codurile corectoare de erori funcționează menținând mesajele valide suficient de departe unele de altele, astfel încât erorile mici să nu poată transforma unul în altul. Astra a demonstrat limite mult mai stricte (îmbunătățite exponențial) asupra câtor astfel de mesaje pot exista pentru o anumită distanță minimă, cu un rezultat corespunzător pentru puncte distribuite pe o sferă de dimensiuni înalte.

Conjectura de rigiditate a lui Connes

Domeniu: Algebre de operatori

Alain Connes a conjecturat că anumite grupuri pot fi întotdeauna reconstruite în mod unic dintr-o structură algebrică, numită algebră von Neumann, construită din ele. Astra a infirmat acest lucru producând două grupuri cu adevărat diferite care dau naștere aceleiași algebre, arătând că reconstrucția nu este întotdeauna biunivocă.

Complexitatea circuitelor aritmetice

Domeniu: Teoria complexității computaționale

„Permanentul”, un singur număr calculat dintr-o grilă de numere, este costisitor de calculat, iar teoreticienii complexității vor să știe numărul minim de pași aritmetici de care ar putea avea nevoie orice metodă. Astra a demonstrat o nouă bornă inferioară, mai puternică, pentru acel minim — un tip de rezultat renumit de dificil de îmbunătățit.

Repetiția paralelă cuantică

Domeniu: Teoria complexității cuantice

Teoria clasică spune că obligarea a doi jucători care nu comunică să repete în paralel un joc dificil de multe ori face ca trișatul să aibă o probabilitate exponențial mai mică de succes. Astra a demonstrat că aceeași garanție se menține chiar și când jucătorii împart încurcarea cuantică, extinzând un principiu clasic fundamental în domeniul cuantic.

Problema celui mai apropiat vector

Domeniu: Criptografie pe rețele (lattice)

Dată o grilă repetitivă de puncte (o rețea) și o locație țintă, problema cere cel mai apropiat punct din grilă — o problemă considerată foarte dificilă în dimensiuni înalte, motiv pentru care stă la baza unor criptosisteme rezistente la cuantic. Astra a demonstrat că chiar și aproximarea răspunsului, în limitele unui anumit factor polinomial, rămâne demonstrabil dificilă, consolidând criptografia construită peste aceasta.

Conjectura de volum a lui Ehrhart

Domeniu: Geometrie discretă și convexă

Pentru o formă convexă al cărei singur punct interior de pe grilă se află exact în centrul de masă, matematicienii au vrut să afle cel mai mare volum posibil pe care o astfel de formă îl poate avea într-o dimensiune dată. Astra a determinat acel volum maxim pentru fiecare dimensiune, rezolvând conjectura în toată generalitatea ei.

Numere Ramsey multicolore

Domeniu: Teoria Ramsey / combinatorică

Cu destui oameni și destule categorii de relații între ei, ești în cele din urmă garantat să găsești trei persoane toate conectate prin aceeași categorie. Astra a demonstrat că dimensiunea minimă a grupului necesară crește mai repede decât orice rată exponențială fixă pe măsură ce numărul categoriilor crește, rezolvând problema 183 a lui Erdős.

Conjecturi despre numere extremale

Domeniu: Teoria grafurilor extremale

Această ramură a matematicii întreabă câte conexiuni poate avea o rețea evitând în același timp anumite modele mici, interzise. Astra a rezolvat aici două conjecturi înrudite, corespunzătoare problemelor 146 și 180 ale lui Erdős, stabilind cât de dense pot deveni astfel de rețele înainte ca acele modele să devină inevitabile.

Fiecare dintre acestea a fost deschisă de cel puțin un deceniu; câteva au rezistat peste treizeci de ani, incluzând probleme la care au lucrat câștigători ai Turing Award în partea de informatică teoretică a listei.

Stai, este un contraexemplu genul „ușor” de demonstrație?

Cine sunt eu să spun ceva negativ aici, dar știu că asta e o întrebare sau reacție frecventă, mai ales din partea celor care știu câte ceva despre matematică.

Cel mai des auzi, ca formă de critică: câteva dintre aceste rezultate sunt contraexemple, nu teorie generală nouă. Ideea contează, pentru că un contraexemplu răspunde la o întrebare de tip da/nu, dar nu îți spune, de unul singur, de ce se rupe tiparul sau nu îți oferă o familie de obiecte similare de studiat în continuare, pe când altceva, cum ar fi o teoremă de clasificare sau o tehnică nouă, deschide mai multe uși.

Aș spune că această critică stă în general în picioare, dar nu se aplică drept respingere în bloc a întregului lot de probleme. În primul rând, rezultatul despre grupurile non-sofice nu e o mică ajustare a unei încercări aproape reușite existente — este prima construcție de acest fel după 27 de ani în care nimeni nu a avut vreuna, iar tehnica din spatele ei se așteaptă să se generalizeze pentru a găsi altele.

În al doilea rând, câteva dintre celelalte nouă rezultate, inclusiv borna pentru ambalarea sferelor și rezultatul de dificultate pentru CVP, nu sunt deloc contraexemple; sunt îmbunătățiri directe ale bornelor existente. 

Ce rămâne nerezolvat

Câteva aspecte merită urmărite pe măsură ce domeniul va diseca aceste rezultate în următoarele zile, săptămâni și luni:

• Încă fără peer review. Acestea sunt verificate cu Lean și revizuite informal de matematicieni care au văzut preprinturi, dar niciuna nu a trecut printr-un proces de jurnal cu arbitraj. 
• Autoria este încă negociată. OpenAI spune că își asumă responsabilitatea pentru manuscrise și formalizările în Lean, atribuind însă argumentele matematice propriu-zise modelului. Replicarea independentă a procesului (spre deosebire de verificarea demonstrațiilor) este greu de realizat acum.

Ce înseamnă asta pentru matematică

Cea mai imediată schimbare ține de ceea ce ar putea face efectiv matematicienii cu timpul lor. Dacă o problemă deschisă bine formulată poate fi dată unui model și verificată în Lean, blocajul se mută de la „poate cineva să rezolve asta” la „am pus întrebarea corectă și am formalizat-o corect”. Arta de a formula o problemă bună și de a ști care merită atacată este o abilitate reală pe care matematicienii o dezvoltă din experiență. 

Există și o întrebare legată de finanțare și credibilitate care fierbe mocnit. Granturile de cercetare, dosarele pentru titularizare și premiile au fost istoric construite în jurul rarității: aceste probleme erau suficient de dificile încât rezolvarea uneia spunea ceva despre cel care o rezolva. Dacă rezultatele asistate de AI devin rutină, domeniul va avea nevoie de noi moduri de a semnaliza ce este cu adevărat greu față de ce a intrat acum în raza de acțiune a câtorva mii de dolari de inferență. Desigur, omul de rând nu înțelege pe deplin aceste probleme. Cei cu pregătire reală, da — și asta nu se schimbă. Așa că cunoașterea matematică este mai valoroasă ca oricând. 

Cum reacționează oamenii

Reacțiile din social media s-au împărțit mai puțin asupra faptului dacă demonstrațiile se verifică și mai mult asupra a ceea ce dovedesc ele de fapt.

Unii văd chiar ritmul ca fiind povestea principală: zece probleme vechi de decenii care aterizează simultan, în domenii fără legătură, mai repede decât pot experții să le revizuiască. O întrebare pentru viitor: „Vom reuși să ținem pasul cu verificarea tuturor acestora?”

Alții susțin că asta spune mai puțin despre AI în general decât pare. Matematica este un domeniu rar în care munca unui model poate fi verificată automat și complet. Cele mai multe probleme din lumea reală nu oferă acel tip de „cheie de răspuns” încorporată, automată. Din acest punct de vedere, reușita este reală, dar poate spune mai mult despre faptul că matematica este neobișnuit de potrivită pentru AI.

Un al treilea fir de comentarii: o demonstrație corectă pe care nimeni nu a auditat-o sau asimilat-o complet nu a fost încă înțeleasă, doar verificată. Descoperirea unei teoreme și înțelegerea a ceea ce înseamnă, din acest punct de vedere, sunt două munci diferite.

Gânduri de final

Matematicienii spun că rezultatul despre grupurile non-sofice pare autentic: o întrebare deschisă, veche de decenii, din teoria grupurilor, închisă printr-o construcție explicită pe care matematicienii din domeniu o iau în serios. Celelalte nouă rezultate, luate împreună, reprezintă un pachet larg și substanțial tehnic de progres în matematica pură.

Ce nu s-a întâmplat încă este partea mai lentă: peer review, replicarea procesului de căutare și faptul că domeniul chiar construiește peste aceste rezultate. Acea parte durează mai mult decât un articol de blog și este cea care ne va spune cu adevărat cât de mare a fost acest moment. Te vom ține la curent.