OpenAI의 차기 모델 Astra가 수십 년 묵은 수학 미해결 문제 10개를 방금 해결했다

8월 1일, OpenAI는 내부적으로 Astra라고 부르는 차기 모델이 수학의 서로 다른 열 가지 미해결 문제에 대해 새로운 결과를 냈다는 보고서를 공개했습니다. (밀레니엄 문제는 아니지만, 그에 못지않게 중요한 문제들입니다.)

주목할 점은 다음과 같습니다. 이 해들은 기존에 조금씩 앞으로 나아간 정도가 아니라, Lean으로 검증된 진정한 해결입니다. (Lean은 수학적 논증의 모든 단계를 기계가 읽을 수 있는 상세 수준으로 명시하도록 강제하는 프로그래밍 언어이자 증명 보조기입니다.) 

한번에 받아들이기엔 정보가 많습니다. 이 글에서는 문제들을 분야별로 정리하고, 어떤 일이 일어났는지, 수학 전반에 어떤 함의를 갖는지, 그리고 Astra에 대해 엿볼 수 있는 단서를 높은 수준에서 설명합니다.

열 가지 문제는 무엇이었나?

아래는 각 결과를 이해하기 쉬운 말로 요약한 것이며, 각각이 속한 수학 혹은 컴퓨터 과학의 세부 분야를 덧붙였습니다.

비-소픽 군

분야: 군론

Astra는 아무리 큰 유한 구조로도, 아무리 가깝게도 근사할 수 없는 군을 구체적으로 구성했습니다. 이는 1999년 \"소픽(sofic)\" 군 개념이 도입된 이후 열려 있던 질문을 닫는 결과입니다. 이 구성에는 어떤 유한 근사열도 결코 작동할 수 없음을 보이는 증명이 딸려 있으며, 논리가 기계적으로 점검되도록 Lean으로 형식화되었습니다.

위키백과는 이미 업데이트되었습니다:

구(球) 포장

분야: 고차원 기하

차원이 증가할 때, 서로 겹치지 않는 동일한 구들을 얼마나 촘촘히 채울 수 있는가라는 질문입니다. Astra는 고차원에서 그 밀도의 상한을 더 타이트하게 증명했으며, 이 특정 경계에 대한 개선은 1978년 이후 처음입니다. 더 나은 포장 방법을 제시한 것은 아니지만, 앞으로 등장할 수 있는 어떤 방법도 도달 가능한 한계를 더 좁혔습니다.

이진 및 구상 코드

분야: 부호 이론

오류 정정 코드는 유효한 메시지들 간 거리를 충분히 멀게 유지함으로써, 작은 오류가 한 메시지를 다른 메시지로 바꾸지 못하도록 합니다. Astra는 주어진 최소 거리에서 가능한 메시지 수에 대한 한계를 극적으로(지수적으로) 더 타이트하게 증명했으며, 고차원 구 위에 점들을 분포시키는 경우에도 이에 상응하는 결과를 제시했습니다.

Connes의 강직성 추측

분야: 작용소 대수

Alain Connes는 특정 군들이 그들로부터 구성된 폰 노이만 대수라 불리는 대수적 구조로부터 항상 유일하게 재구성될 수 있다고 추측했습니다. Astra는 서로 본질적으로 다른 두 군이 동일한 대수를 낳는 사례를 제시하여, 재구성이 항상 일대일이 아님을 보였습니다.

산술 회로 복잡도

분야: 계산 복잡도 이론

숫자 격자에서 계산되는 단일 수치인 \"퍼머넌트(permanent)\"는 계산 비용이 매우 큽니다. 복잡도 이론가들은 어떤 방법이든 필요한 산술 연산의 최소 횟수가 얼마인지 궁금해합니다. Astra는 그 최소치에 대한 새로운, 더 강한 하한을 증명했는데, 이 유형의 결과는 조금만 개선하기도 악명높게 어렵습니다.

양자 병렬 반복

분야: 양자 복잡도 이론

고전 이론에서는 통신하지 않는 두 플레이어에게 어려운 게임을 병렬로 여러 번 반복하게 하면 부정행위가 성공할 가능성이 지수적으로 줄어든다고 말합니다. Astra는 플레이어들이 양자 얽힘을 공유하더라도 같은 보장이 성립함을 증명하여, 고전적 원리를 양자 환경으로 확장했습니다.

가장 가까운 벡터 문제

분야: 격자 기반 암호

점들의 반복 격자(격자, lattice)와 목표 위치가 주어졌을 때, 가장 가까운 격자점을 찾는 문제입니다. 이는 고차원에서 매우 어렵다고 여겨지며, 그 때문에 일부 양자 내성 암호의 기반이 됩니다. Astra는 특정 다항식 계수 내에서 해를 근사하는 것조차도 여전히 증명 가능하게 어렵다는 것을 보여, 그 위에 구축된 암호의 안전성을 더욱 뒷받침했습니다.

에어하르트의 부피 추측

분야: 이산 및 볼록 기하

내부 격자점이 질량중심에 정확히 하나만 있는 볼록 도형에 대해, 주어진 차원에서 가능한 최대 부피가 얼마인지가 질문이었습니다. Astra는 모든 차원에 대해 그 최대 부피를 계산하여, 이 추측을 가장 일반적인 형태로 해결했습니다.

다색 램지 수

분야: 램지 이론 / 조합론

사람 수가 충분히 많고, 그들 사이의 관계 범주가 충분히 많아지면, 결국 동일한 범주로 모두 연결된 세 사람을 반드시 찾게 됩니다. Astra는 범주 수가 증가함에 따라 필요한 최소 집단 크기가 어떤 고정된 지수 속도보다 더 빠르게 커진다는 것을 증명하여, 에르되시 문제 183을 해결했습니다.

극대(극단) 수 추측들

분야: 극단 그래프 이론

이 분야는 특정한 작은 금지 패턴을 피하면서도 한 네트워크가 가질 수 있는 최대 연결 수를 묻습니다. Astra는 에르되시 문제 146과 180에 해당하는 두 개의 관련 추측을 해결하여, 그런 패턴이 불가피해지기 전에 네트워크가 얼마나 조밀해질 수 있는지를 정확히 규정했습니다.

이들 각각은 최소 10년 이상 열린 문제였으며, 이론 컴퓨터 과학 측면에서는 튜링상 수상자들이 다뤘던 문제를 포함해 30년 넘게 서 있던 것도 있었습니다.

잠깐, 반례는 \"쉬운\" 종류의 증명 아닌가요?

제가 여기서 뭐라고 평가할 처지는 아니지만, 특히 수학을 좀 아는 분들 사이에서 흔히 나오는 질문이자 반응이라는 건 알고 있습니다.

가장 흔한 비판은 이렇습니다. 이번 결과들 중 일부는 새로운 일반 이론이라기보다 반례라는 점입니다. 반례는 예/아니오 질문에 답을 주지만, 그 자체로 패턴이 왜 깨지는지나 다음으로 탐구할 유사한 대상의 계열을 제시하지는 않습니다. 반면 분류정리나 새로운 기법 같은 것은 더 많은 문을 열어 주지요.

이 비판은 일반적으로 의미가 있지만, 이번 전체 묶음을 싸잡아 폄하하는 데에는 꼭 들어맞지 않습니다. 첫째, 비-소픽 군 결과는 기존의 아슬아슬한 근접 결과를 조금 고친 게 아닙니다. 27년 동안 아무도 만들지 못했던 유형의 최초 구성이며, 그 기법은 다른 예들을 찾는 데로 일반화될 것으로 예상됩니다.

둘째, 나머지 아홉 개 중에서도 구 포장 상한과 CVP 어려움 결과처럼 반례가 전혀 아닌 것들이 여럿 있습니다. 기존 경계를 직접적으로 개선한 결과들입니다. 

아직 남아 있는 쟁점

향후 며칠, 몇 주, 몇 달 동안 학계의 검증이 진행되며 지켜볼 만한 점들이 몇 가지 있습니다.

\n
• 아직 동료평가 없음. Lean으로 검증되었고 프리프린트를 본 수학자들의 비공식 검토는 있었지만, 정식 학술지의 심사 과정을 거치진 않았습니다. 
\n
• 저자권은 여전히 협의 중. OpenAI는 원고와 Lean 형식화에 대해 책임을 지지만, 수학적 논증 자체는 모델에 귀속한다고 말합니다. 증명의 검증과는 달리, 탐색 과정의 독립적 재현은 현재로서는 수행하기 어렵습니다.
\n

수학에 주는 의미

가장 즉각적인 변화는 수학자들이 실제로 시간을 어디에 쓰게 될지입니다. 잘 정식화된 미해결 문제를 모델에 넘기고 Lean으로 점검할 수 있다면, 병목은 \"이걸 누가 풀 수 있나\"에서 \"우리가 올바른 질문을 하고 정확히 형식화했나\"로 이동합니다. 좋은 문제를 제기하고, 어떤 문제가 도전할 가치가 있는지 아는 역량은 경험을 통해 길러지는 진짜 기술입니다. 

또한 연구비와 신뢰도에 관한 문제도 끓고 있습니다. 연구비, 테뉴어, 상은 역사적으로 희소성에 기반해 왔습니다. 문제가 충분히 어려웠기 때문에, 하나를 해결하는 것이 해결자의 역량을 말해주었기 때문입니다. AI 보조 결과가 일상화된다면, 무엇이 진정으로 어려운 일인지와 몇 천 달러의 추론 비용으로 도달 가능한 범위가 어디까지인지 구분할 새로운 방법이 필요해질 것입니다. 물론 일반 대중은 이런 문제들을 완전히 이해하지 못합니다. 제대로 훈련받은 사람들은 이해하고, 그 사실은 변하지 않습니다. 그래서 수학 지식은 그 어느 때보다 더 가치가 있습니다. 

사람들은 어떻게 반응하나

소셜 미디어에서는 증명이 맞는지 여부보다는, 이것이 무엇의 증거인지에 대해 의견이 갈렸습니다.

일부는 속도 자체를 진짜 이야기로 봅니다. 서로 관련 없는 분야 전반에서 수십 년 묵은 문제 열 개가 한꺼번에 쏟아졌고, 전문가들이 검토 속도를 따라잡기도 힘들 정도라는 점이죠. 앞으로의 질문: \"우리는 이 모든 검증을 따라갈 수 있을까?\"

다른 이들은 이것이 생각만큼 일반적 AI의 능력을 말해주지는 않는다고 반박합니다. 수학은 모델의 작업을 자동으로, 완전하게 점검할 수 있는 드문 분야입니다. 현실 세계의 대부분 문제는 그런 내장된 자동 정답지를 제공하지 않습니다. 이런 관점에서는 성취는 진짜지만, 수학이 AI에 유난히 잘 맞는 분야라는 점을 더 말해준다고 볼 수 있습니다.

세 번째 반응의 흐름도 있습니다. 아무도 완전히 감리하거나 흡수하지 못한 올바른 증명은 아직 이해된 것이 아니고, 단지 검증되었을 뿐이라는 견해입니다. 이 관점에서는 정리를 발견하는 일과 그것의 의미를 이해하는 일은 서로 다른 작업입니다.

마무리 생각

수학자들은 비-소픽 군 결과가 진짜라고 보고 있습니다. 군론의 수십 년 된 미해결 질문을, 해당 분야 수학자들이 진지하게 받아들이는 구체적 구성을 통해 닫았다는 뜻입니다. 나머지 아홉 결과도 합쳐서 볼 때 순수수학 전반에 걸쳐 폭넓고 기술적으로 실질적인 진전을 이룬 묶음으로 평가됩니다.

아직 발생하지 않은 것은 더딘 부분입니다. 동료평가, 탐색 과정의 재현, 그리고 분야가 실제로 이 결과들 위에 무엇을 쌓아 올리는가입니다. 이 부분은 블로그 글보다 더 오래 걸리며, 이번 성취의 규모가 어느 정도였는지를 진정으로 말해줄 것입니다. 계속 소식을 전하겠습니다.