OpenAI’nin Sıradaki Modeli Astra, Onlarca Yıllık On Açık Matematik Problemini Çözdü

1 Ağustos’ta OpenAI, dahili adıyla Astra (henüz kullanıma açık değil) olarak anılan bir sonraki modelinin, matematikte on farklı açık problemde yeni sonuçlar ürettiğini iddia eden bir rapor yayımladı. (Hayır, bunlar Milenyum Ödülü problemleri değil; yine de önemliler.)

Dikkate değer olan: Bu çözümler, problemlerde kademeli ilerleme değil; Lean ile doğrulanmış gerçek çözümler. (Lean, bir matematiksel argümanın her adımının makine tarafından okunabilir ayrıntıda yazılmasını zorunlu kılan bir programlama dili ve ispat asistanıdır.) 

Hepsini bir anda sindirmek zor. Bu yazıda problemleri alana göre ayırdım; yüksek düzeyde ne olduğunu, bunun matematik alanı için neler ima edebileceğini ve Astra hakkında başka neler çıkarım yapabileceğimizi anlattım.

On Problem Nedir?

İşte her bir sonucun sade bir özeti ve ait olduğu matematik veya bilgisayar bilimi alanı.

Sofik olmayan gruplar

Alan: Grup teorisi

Astra, ne kadar yaklaştırılırsa yaklaştırılsın büyük sonlu yapılarla yaklaştırılamayan bir grubun açık bir inşasını üretti — 1999’da “sofik” grup kavramı ortaya atıldığından beri açık olan bir soruyu kapattı. Bu inşa, hiçbir sonlu yaklaşım dizisinin asla işe yaramayacağını gösteren ve mantığın mekanik olarak denetlenebilmesi için Lean’de biçimselleştirilmiş bir ispatla birlikte geliyor.

Vikipedi şimdiden güncellendi:

Küre paketleme

Alan: Yüksek boyutlu geometri

Soru, boyut sayısı arttıkça özdeş ve örtüşmeyen kürelerin ne kadar yoğun paketlenebileceği. Astra, yüksek boyutlarda bu yoğunluğa daha sıkı bir üst sınır kanıtladı; bu özel sınıra 1978’den beri yapılan ilk iyileştirme. Daha iyi bir paketleme yöntemi sunmuyor — yalnızca gelecekteki herhangi bir yöntemin ne kadar iyi olabileceğine dair olası aralığı daraltıyor.

İkili ve küresel kodlar

Alan: Kodlama teorisi

Hata düzeltme kodları, geçerli mesajları birbirinden yeterince uzak tutarak küçük hataların birini diğerine dönüştürmesini engeller. Astra, verilen asgari uzaklık için bu tür kaç mesajın var olabileceğine dair sınırları çarpıcı biçimde sıkılaştırdı (üstel düzeyde iyileştirme) ve yüksek boyutlu bir küreye yayılmış noktalar için buna karşılık gelen bir sonuç elde etti.

Connes’in katılık sezgisi

Alan: İşlemsel cebirler

Alain Connes, belirli grupların onlardan inşa edilen von Neumann cebiri adlı bir cebirsel yapıdan her zaman benzersiz şekilde yeniden elde edilebileceğini öne sürmüştü. Astra, aynı cebiri üreten gerçekten farklı iki grup bularak bunu çürüttü ve yeniden inşanın her zaman bire bir olmadığını gösterdi.

Aritmetik devre karmaşıklığı

Alan: Hesaplama karmaşıklığı teorisi

“Permanent”, sayıların bir ızgarasından hesaplanan tek bir sayıdır ve hesaplaması pahalıdır; karmaşıklık kuramcıları, herhangi bir yöntemin olası en az kaç aritmetik adım gerektireceğini bilmek ister. Astra, bu en aza ilişkin yeni ve daha güçlü bir alt sınır kanıtladı — ilerletilmesi ünlü derecede zor bir sonuç türü.

Kuantum paralel tekrarı

Alan: Kuantum karmaşıklık teorisi

Klasik kuram, iletişim kurmayan iki oyuncuya zor bir oyunu paralel olarak çok kez tekrarlatmanın, hile yapmanın başarı olasılığını üstel biçimde azalttığını söyler. Astra, oyuncuların kuantum dolanıklığı paylaştığı durumda da aynı garantinin geçerli olduğunu kanıtlayarak temel bir klasik ilkeyi kuantum ortama taşıdı.

En yakın vektör problemi

Alan: Izgara (lattice) tabanlı kriptografi

Tekrarlayan bir nokta ızgarası (lattice) ve bir hedef konum verildiğinde, bu problem en yakın ızgara noktasını sorar — yüksek boyutlarda çok zor olduğuna inanılan bir problem; bu yüzden bazı kuantuma dayanıklı şifrelemelerin temelidir. Astra, belirli bir polinom çarpanı içinde yanıtı yaklaştırmanın bile kanıtlanabilir biçimde zor kalmaya devam ettiğini gösterdi ve bunun üzerine inşa edilen kriptografiyi güçlendirdi.

Ehrhart’ın hacim sezgisi

Alan: Ayrık ve konveks geometri

Yalnızca iç ızgara noktası tam olarak kütle merkezinde bulunan konveks bir şekil için, matematikçiler herhangi bir boyutta böyle bir şeklin sahip olabileceği en büyük hacmi bilmek istiyordu. Astra, her boyut için bu azami hacmi hesapladı ve sezgiyi tüm genel halinde çözüme kavuşturdu.

Çok renkli Ramsey sayıları

Alan: Ramsey teorisi / kombinatorik

Yeterince insan ve aralarındaki ilişki kategorisi yeterince çok olduğunda, eninde sonunda aynı kategoriyle birbirine bağlı üç kişi bulmanız garanti edilir. Astra, kategori sayısı arttıkça, gereken asgari grup büyüklüğünün herhangi bir sabit üstel orandan daha hızlı büyüdüğünü kanıtladı ve Erdős problemi 183’ü çözdü.

Aşırı değer (ekstremal) sayı sezgileri

Alan: Ekstremal grafik teorisi

Matematiğin bu dalı, belirli küçük ve yasak desenlerden kaçınırken bir ağın kaç bağlantıya sahip olabileceğini sorar. Astra, burada Erdős problemleri 146 ve 180’e karşılık gelen iki ilişkili sezgiyi çözdü; bu desenlerin kaçınılmaz hale gelmesinden önce bu tür ağların ne kadar yoğunlaşabileceğini kesin olarak belirledi.

Bunların her biri en az on yıldır açıktı; listede teorik BB tarafındaki Turing Ödülü sahiplerinin üzerinde çalıştığı problemler de dahil olmak üzere, bazıları otuz yıl veya daha uzun süredir ayaktaydı.

Bir Karşı Örnek “Kolay” Türden Bir İspat mıdır?

Burada olumsuz bir şey söyleyecek kişi ben değilim, ama bunun özellikle matematik hakkında biraz bilgisi olanlar arasında yaygın bir soru veya tepki olduğunu biliyorum.

Eleştiri olarak insanların en sık söylediği şey: Bu sonuçların birkaçı yeni genel teorilerden ziyade karşı örnekler. Bu fikir önemlidir çünkü bir karşı örnek evet/hayır sorusunu yanıtlar ama kendi başına, desenin neden bozulduğunu söylemez ya da üzerinde çalışılacak benzer nesnelerden oluşan bir aile sunmaz; oysa sınıflandırma teoremi veya yeni bir teknik gibi şeyler daha fazla kapı açar.

Bence bu eleştiri genel olarak geçerlidir; ancak bu problem grubunun tamamını toptan göz ardı etmek için yeterli değildir. İlk olarak, sofik olmayan gruplar sonucu, mevcut bir “az daha oluyordu” örneğine küçük bir rötuş değildir — hiç kimsenin elinde olmadığı 27 yılın ardından türünün ilk inşasıdır ve arkasındaki tekniğin başkalarını bulmak için genelleşmesi beklenmektedir.

İkinci olarak, küre paketleme sınırı ve CVP zorluk sonucu dahil olmak üzere diğer dokuz sonucun birkaç tanesi hiç de karşı örnek değildir; bunlar mevcut sınırlara doğrudan iyileştirmelerdir. 

Hâlâ Çözülmemiş Olanlar

Alan önümüzdeki günlerde, haftalarda ve aylarda bunu didik didik ederken izlemeye değer birkaç nokta var:

• Henüz hakemli inceleme yok. Bunlar Lean ile doğrulandı ve ön baskıları görmüş matematikçiler tarafından gayriresmî olarak incelendi, ancak hiçbirisi hakemli bir dergi sürecinden geçmedi. 
• Yazarlık hâlâ müzakere ediliyor. OpenAI, makaleler ve Lean biçimselleştirmeleri için sorumluluk aldığını, matematiksel argümanların kendisini ise modele atfettiğini söylüyor. Süreçin bağımsız olarak tekrarlanması ( ispatların doğrulanmasından farklı olarak) şu anda doğru biçimde yapmak için zor.

Bunun Matematik İçin Anlamı

En yakın vadede değişecek olan, matematikçilerin zamanlarını gerçekte neye harcayacakları. İyi tanımlanmış bir açık problem bir modele verilip Lean ile kontrol edilebiliyorsa, darboğaz “bunu biri çözebilir mi”den “doğru soruyu sorduk ve doğru biçimde mi biçimselleştirdik”e kayar. İyi problem kurma ve hangisine saldırmaya değer olduğunu bilme becerisi, matematikçilerin deneyimle geliştirdiği gerçek bir beceridir. 

Ayrıca için için kaynayan bir finansman ve itibar sorusu var. Araştırma hibeleri, doçentlik dosyaları ve ödüller tarihsel olarak kıtlık üzerine kuruluydu: Bu problemler yeterince zordu; birini çözmek, çözen kişi hakkında bir şey söylerdi. Eğer yapay zekâ destekli sonuçlar sıradanlaşırsa, alan “gerçekten zor” olanla “birkaç bin dolarlık çıkarım gücüyle ulaşılabilir” olanı ayırt etmek için yeni yollara ihtiyaç duyacak. Elbette, ortalama kişi bu problemleri tam olarak anlamaz. Gerçek eğitim almış insanlar anlar ve bu değişmez. Dolayısıyla matematik bilgisi her zamankinden daha değerli. 

İnsanlar Nasıl Tepki Veriyor

Sosyal medyadaki tepkiler, ispatların tutup tutmadığından ziyade, bunların neyin kanıtı olduğuna göre ayrıştı.

Bazıları asıl hikâyeyi temponun kendisi olarak okuyor: Birbiriyle ilgisiz alanlarda, uzmanların incelemeye yetişebileceğinden daha hızlı biçimde, aynı anda inen on yıllık problemler. Gelecek için bir soru: “Bunların hepsini kontrol etmeye yetişebilecek miyiz?”

Diğerleri bunun, göründüğü kadar genel olarak yapay zekâ hakkında bir şey söylemediğini ileri sürüyor. Matematik, bir modelin işinin otomatik ve eksiksiz şekilde kontrol edilebildiği nadir bir alandır. Gerçek dünya problemlerinin çoğu bu tür yerleşik ve otomatik bir cevap anahtarı sunmaz. Bu bakışa göre başarı gerçektir; fakat daha çok matematiğin yapay zekâya olağanüstü uygun olmasıyla ilgili olabilir.

Üçüncü bir yorum hattı: Kimsenin tam olarak denetlemediği veya özümsediği doğru bir ispat, henüz gerçekten anlaşılmamıştır; sadece doğrulanmıştır. Bu görüşte, bir teoremi keşfetmekle onun ne anlama geldiğini anlamak iki farklı iştir.

Son Düşünceler

Matematikçiler, sofik olmayan gruplar sonucunun sahici göründüğünü söylüyor: Grup teorisinde onlarca yıllık gerçek bir açık soru, alanın ciddiye aldığı açık bir inşayla kapandı. Diğer dokuz sonuç ise bir arada değerlendirildiğinde, saf matematik genelinde geniş ve teknik açıdan kayda değer bir ilerleme demeti sunuyor.

Henüz gerçekleşmeyen ise daha yavaş kısım: hakemli inceleme, arama sürecinin tekrarlanması ve alanın bu sonuçların üzerine gerçekten inşa etmesi. Bu kısım bir blog yazısından daha uzun sürer ve bize bunun ne kadar büyük olduğunu gerçekten gösterecek olan da budur. Sizi bilgilendirmeye devam edeceğiz.