OpenAI’nin Sıradaki Modeli Astra, On Yıllardır Açık Olan On Matematik Problemini Çözdü

1 Ağustos’ta OpenAI, dahili adıyla Astra olan bir sonraki modelinin matematikte on farklı açık problem üzerinde yeni sonuçlar ürettiğini iddia eden bir rapor yayımladı. (Hayır, bunlar Millennium Ödülü problemleri değil, ama yine de kayda değerler.)

Dikkate değer olan şu: Bu çözümler, problemlerde kademeli bir ilerleme değil; Lean ile doğrulanmış gerçek çözümlemeler. (Lean, matematiksel bir argümanın her adımının makinece okunabilir ayrıntıda açıkça belirtilmesini zorunlu kılan bir programlama dili ve ispat asistanıdır.) 

Bir anda hazmetmesi çok şey var. Bu yazıda, problemleri alanlarına göre düzenledim ve üst düzeyde neler olduğunu, bunun matematik alanı için ne ima edebileceğini ve Astra hakkında başka neler çıkarım yapabileceğimizi anlattım.

On Problem Nedir?

İşte her bir sonucun sade bir anlatımı ve ait olduğu belirli matematik ya da bilgisayar bilimi alanı.

Sofik olmayan gruplar

Alan: Grup teorisi

Astra, ne kadar yakından olursa olsun büyük sonlu yapılarla yaklaştırılamayan bir grubun açık bir inşasını üretti — “sofik” grup kavramının 1999’da ortaya atılmasından beri açık olan bir soruyu kapattı. Bu inşa, hiçbir sonlu yaklaştırma dizisinin asla işe yaramayacağını gösteren ve mantığın mekanik olarak denetlenebilmesi için Lean’de biçimselleştirilen bir ispatla birlikte geliyor.

Vikipedi şimdiden güncellendi:

Küre paketleme

Alan: Yüksek boyutlu geometri

Soru, boyut sayısı arttıkça özdeş ve çakışmayan kürelerin ne kadar sıkı paketlenebileceğidir. Astra, yüksek boyutlarda bu yoğunluğa daha sıkı bir tavan getirdi; bu belirli sınırda 1978’den beri yapılan ilk iyileştirme. Daha iyi bir paketleme yöntemi sunmuyor — gelecekteki herhangi bir yöntemin ne kadar iyi olabileceğine ilişkin olası aralığı daraltıyor.

İkili ve küresel kodlar

Alan: Kodlama teorisi

Hata düzeltme kodları, geçerli iletileri birbirinden yeterince uzak tutarak küçük hataların birini diğerine dönüştüremeyeceği şekilde çalışır. Astra, verilen bir asgari mesafe için bu tür iletilerin sayısına ilişkin limitleri dramatik biçimde sıkılaştırdı (üstel düzeyde iyileştirme) ve yüksek boyutlu bir küreye dağılmış noktalar için eşleşen bir sonuç sundu.

Connes’in katılık varsayımı

Alan: Operatör cebirleri

Alain Connes, belirli grupların bunlardan inşa edilen von Neumann cebiri adı verilen bir cebirsel yapıdan daima benzersiz biçimde yeniden oluşturulabileceğini öne sürmüştü. Astra, aynı cebiri doğuran gerçekten farklı iki grup üreterek bunu çürüttü; böylece yeniden inşanın her zaman bire bir olmadığını gösterdi.

Aritmetik devre karmaşıklığı

Alan: Hesaplama karmaşıklığı teorisi

“Permanent”, bir sayı tablosundan hesaplanan tek bir sayıdır ve hesaplanması pahalıdır; karmaşıklık kuramcıları herhangi bir yöntemin mümkün olan en az kaç aritmetik adım gerektirebileceğini bilmek ister. Astra, bu asgari değere yeni ve daha güçlü bir alt sınır kanıtladı — ilerletilmesi nam salmış derecede zor bir sonuç türü.

Kuantum paralel tekrar

Alan: Kuantum karmaşıklık teorisi

Klasik teori, birbirleriyle iletişim kurmayan iki oyuncuya zor bir oyunu paralel olarak birçok kez tekrarlatmanın, hilenin başarı şansını üstel biçimde azalttığını söyler. Astra, oyuncular kuantum dolanıklık paylaştığında dahi aynı garantinin geçerli olduğunu kanıtlayarak temel bir klasik ilkeyi kuantum ortama taşıdı.

En yakın vektör problemi

Alan: Izgara (kafes) tabanlı kriptografi

Noktaların tekrar eden bir ızgarası (kafes) ve bir hedef konum verildiğinde, bu problem en yakın ızgara noktasını sorar — yüksek boyutlarda çok zor olduğuna inanılan bir problem; bu yüzden bazı kuantuma dayanıklı şifrelemelerin temelidir. Astra, belirli bir polinomsal çarpan içinde cevabı yaklaştırmanın bile kanıtlanabilir biçimde zor kaldığını gösterdi; bunun üzerine inşa edilen kriptografiyi pekiştirdi.

Ehrhart’ın hacim varsayımı

Alan: Ayrık ve dışbükey geometri

Yalnızca iç ızgara noktası tam olarak kütle merkezinde bulunan dışbükey bir şekil için, matematikçiler bu tür bir şeklin herhangi bir boyutta sahip olabileceği en büyük hacmi bilmek istiyordu. Astra, her boyut için bu azami hacmi belirleyerek varsayımı tam genel halinde sonuçlandırdı.

Çok renkli Ramsey sayıları

Alan: Ramsey teorisi / kombinatorik

Yeterince insan ve aralarındaki ilişki kategorisi sayısı olduğunda, eninde sonunda aynı kategoriyle birbirine bağlı üç kişiyi bulmanız garanti edilir. Astra, gerekli asgari grup büyüklüğünün, kategori sayısı arttıkça, herhangi bir sabit üstel orandan daha hızlı büyüdüğünü kanıtlayarak Erdős problem 183’ü çözdü.

Aşırı durum sayı varsayımları

Alan: Aşırı durum graf teorisi

Matematiğin bu dalı, belirli küçük ve yasaklı örüntülerden kaçınırken bir ağın kaç bağlantıya sahip olabileceğini sorar. Astra burada, Erdős problem 146 ve 180’e karşılık gelen iki ilişkili varsayımı çözdü; bu tür ağların bu örüntüler kaçınılmaz hale gelmeden önce ne kadar yoğunlaşabileceğini kesinleştirdi.

Bunların her biri en az on yıldır açıktı; listede teorik BB tarafındaki Turing Ödülü sahiplerinin de çalıştığı problemler dahil olmak üzere, birçoğu otuz yıl ya da daha uzun süredir ayakta duruyordu.

Bekleyin, Karşı-örnek “Kolay” Türden Bir İspat mı?

Burada olumsuz bir şey söyleyecek değilim, ama bunun özellikle matematik hakkında biraz bilgisi olan kişilerden sık gelen bir soru veya tepki olduğunu biliyorum.

Eleştirinin en yaygın biçimi şu: Bu sonuçların birkaçı yeni genel bir teori yerine karşı-örnekler. Bu fikir önemlidir; çünkü bir karşı-örnek evet/hayır sorusuna yanıt verir ama kendi başına örüntünün neden bozulduğunu söylemez ya da üzerinde çalışılacak benzer nesneler ailesini sunmaz; buna karşılık sınıflandırma teoremi veya yeni bir teknik gibi şeyler daha fazla kapı açar.

Bu eleştirinin genel olarak geçerli olduğunu söyleyebilirim; ancak tüm bu problem grubunu toptan reddetme olarak yerini bulmuyor. Birincisi, sofik olmayan gruplar sonucu, mevcut neredeyse-çözüm bir şeye küçük bir düzeltme değil — hiç kimsenin sahip olmadığı 27 yılın ardından türünün ilk inşası ve arkasındaki tekniğin başkalarını bulmak üzere genelleşmesi bekleniyor.

İkincisi, küre paketleme sınırı ve CVP zorluk sonucu dâhil olmak üzere diğer dokuz sonucun birkaçı hiç de karşı-örnek değil; mevcut sınırlara doğrudan iyileştirmeler. 

Hâlâ Çözümlenmemiş Olanlar

Önümüzdeki günler, haftalar ve aylar boyunca alan tarafından didiklenirken izlemeye değer birkaç nokta:

• Henüz hakemli değerlendirme yok. Bunlar Lean ile doğrulandı ve ön baskıları görmüş matematikçiler tarafından gayriresmî olarak incelendi, ancak hiçbirisi hakemli bir dergi sürecinden geçmedi. 
• Yazarlık hâlâ müzakere ediliyor. OpenAI, makaleler ve Lean biçimselleştirmelerinin sorumluluğunu üstlenirken, matematiksel argümanların kendisini modele atfediyor. İspatların doğrulanmasından ziyade sürecin bağımsız olarak yeniden üretilmesi şu anda zor.

Bunun Matematik İçin Anlamı

En yakın etkide, matematikçilerin zamanlarını gerçekte neye harcayabilecekleri değişiyor. İyi tanımlanmış bir açık problem bir modele verilip Lean’de denetlenebiliyorsa, dar boğaz “bunu biri çözebilir mi”den “doğru soruyu sorduk ve doğru biçimselleştirdik mi”ye kayar. İyi bir problem ortaya koyma ve hangisinin saldırmaya değer olduğunu bilme becerisi, matematikçilerin deneyimle geliştirdiği gerçek bir beceridir. 

Ayrıca kaynaktan sağlama ve itibar meselesi de kaynıyor. Araştırma hibeleri, doçentlik dosyaları ve ödüller tarihsel olarak kıtlık üzerine kuruluydu: Bu problemler yeterince zordu ve birini çözmek, çözücüsü hakkında bir şey söylerdi. Yapay zekâ destekli sonuçlar sıradanlaşıyorsa, alanın gerçekten zor olan ile artık birkaç bin dolarlık çıkarımıyla ulaşılabilen şeyleri ayırt edecek yeni yollara ihtiyacı olacak. Elbette, ortalama insan bu problemleri tam anlamıyla kavramıyor. Gerçek eğitimi olanlar kavrıyor ve bu değişmiyor. Dolayısıyla matematik bilgisi her zamankinden daha değerli. 

İnsanlar Nasıl Tepki Veriyor

Sosyal medyadaki tepki, ispatların tutup tutmadığından ziyade daha çok neyin kanıtı oldukları konusunda ikiye ayrıldı.

Bazıları, hikâyenin bizzat hız olduğuna hükmediyor: Alakasız alanlara yayılmış, on yıllık on problemin bir anda gelmesi; uzmanların inceleme hızını aşacak kadar hızlı. Gelecek için bir soru: “Bunun hepsini denetlemeye yetişebilecek miyiz?”

Diğerleri ise bunun genel olarak yapay zekâ hakkında göründüğü kadar şey söylemediğini savunuyor. Matematik, bir modelin çalışmasının otomatik ve eksiksiz biçimde denetlenebildiği nadir bir alandır. Çoğu gerçek dünya problemi böyle yerleşik, otomatik bir cevap anahtarı sunmaz. Bu bakışa göre başarı gerçektir; ama belki de daha çok matematiğin yapay zekâya olağanüstü uygun olmasıyla ilgilidir.

Üçüncü bir yorum hattı: Kimsenin bütünüyle denetlemediği ya da özümsediği doğru bir ispat, henüz gerçekten anlaşılmış değildir; sadece doğrulanmıştır. Bu bakış açısına göre bir teoremi keşfetmekle ne anlama geldiğini kavramak iki farklı iştir.

Son Düşünceler

Matematikçiler, sofik olmayan gruplar sonucunun gerçek bir şey gibi göründüğünü söylüyor: Grup teorisinde onlarca yıllık gerçek bir açık soru, alandaki matematikçilerin ciddiye aldığı açık bir inşa ile kapandı. Diğer dokuz sonuç ise bir arada ele alındığında, saf matematik genelinde geniş ve teknik açıdan kayda değer bir ilerleme serisi sunuyor.

Henüz gerçekleşmeyen ise yavaş olan kısım: hakemli değerlendirme, arama sürecinin yeniden üretimi ve alanın bu sonuçların üzerine gerçekten inşa etmesi. Bu kısım bir blog yazısından daha uzun sürer ve bize bunun ne kadar büyük olduğunu gerçekten gösterecek olan da odur. Sizi haberdar edeceğiz.