Następny model OpenAI, Astra, właśnie rozwiązał dziesięć wieloletnich, otwartych problemów matematycznych

1 sierpnia OpenAI opublikowało raport, w którym twierdzi, że jego następny model, wewnętrznie nazywany Astra, uzyskał nowe wyniki w dziesięciu różnych otwartych problemach z matematyki. (Nie, to nie są problemy Milenijne, ale i tak są istotne.)

Co warte uwagi: te rozwiązania nie są drobnym postępem w tych problemach — to pełne rozstrzygnięcia, zweryfikowane w Lean. (Lean to język programowania i asystent dowodów, który wymaga, by każdy krok rozumowania matematycznego był zapisany w postaci zrozumiałej dla maszyny.) 

To sporo informacji naraz. W tym artykule uporządkowałem problemy według dziedzin i opisuję na wysokim poziomie, co się wydarzyło, co może to oznaczać dla matematyki jako dyscypliny i co jeszcze możemy wywnioskować o Astrze.

Jakie to są te dziesięć problemów?

Oto każdy wynik, w prostych słowach, wraz z konkretną dziedziną matematyki lub informatyki teoretycznej, do której należy.

Grupy niesoficzne

Dziedzina: teoria grup

Astra podała jawną konstrukcję grupy, której nie da się przybliżyć — niezależnie jak ściśle — przez duże struktury skończone, zamykając pytanie otwarte od 1999 roku, kiedy wprowadzono pojęcie grupy „soficznej”. Konstrukcji towarzyszy dowód, że żaden ciąg skończonych przybliżeń nigdy nie zadziała, sformalizowany w Lean, aby logikę można było mechanicznie sprawdzić.

Wikipedia została już zaktualizowana:

Upakowanie kul

Dziedzina: geometria wysokowymiarowa

Pytanie brzmi, jak gęsto można upakować identyczne, nieprzenikające się kule, gdy rośnie liczba wymiarów. Astra udowodniła ciaśniejszą górną granicę tej gęstości w wysokich wymiarach — to pierwsza poprawa tego konkretnego ograniczenia od 1978 roku. Nie dostarcza lepszej metody upakowania — zawęża jednak, jak dobre może być jakiekolwiek przyszłe upakowanie.

Kody binarne i sferyczne

Dziedzina: teoria kodowania

Kody korekcyjne działają, utrzymując poprawne komunikaty na tyle daleko od siebie, by drobne błędy nie mogły jednego zmienić w drugi. Astra udowodniła znacznie ciaśniejsze (wykładniczo lepsze) ograniczenia na liczbę takich komunikatów przy danej minimalnej odległości, z analogicznym wynikiem dla punktów rozłożonych na wysokowymiarowej sferze.

Hipoteza sztywności Connesa

Dziedzina: algebry operatorów

Alain Connes przypuszczał, że niektóre grupy można zawsze jednoznacznie odtworzyć ze zbudowanej z nich struktury algebraicznej zwanej algebrą von Neumanna. Astra to obaliła, konstruując dwie rzeczywiście różne grupy, które dają tę samą algebrę, pokazując, że odtworzenie nie zawsze jest wzajemnie jednoznaczne.

Złożoność obwodów arytmetycznych

Dziedzina: teoria złożoności obliczeniowej

„Permanent”, pojedyncza liczba obliczana z siatki liczb, jest kosztowny do wyznaczenia, a badaczy złożoności interesuje minimalna liczba kroków arytmetycznych, jakiej może wymagać dowolna metoda. Astra udowodniła nową, silniejszą dolną granicę tego minimum — to notorycznie trudny typ wyniku do przesunięcia choćby o trochę.

Kwantowa powtórka równoległa

Dziedzina: teoria złożoności kwantowej

Teoria klasyczna mówi, że jeśli dwaj niekomunikujący się gracze wielokrotnie rozgrywają trudną grę równolegle, to oszustwo ma wykładniczo mniejsze szanse powodzenia. Astra dowiodła, że ta sama gwarancja utrzymuje się nawet wtedy, gdy gracze dzielą splątanie kwantowe, rozszerzając fundamentalną zasadę klasyczną na ustawienie kwantowe.

Problem najbliższego wektora

Dziedzina: kryptografia kratowa

Dla powtarzającej się siatki punktów (kraty) i docelowej lokalizacji problem prosi o najbliższy punkt siatki — problem uważany za bardzo trudny w wysokich wymiarach, dlatego stanowi podstawę niektórych szyfrów odpornych na komputery kwantowe. Astra udowodniła, że nawet przybliżenie odpowiedzi w ramach określonego czynnika wielomianowego pozostaje dowodliwie trudne, wzmacniając kryptografię na tym opartą.

Hipoteza objętości Ehrharta

Dziedzina: geometria dyskretna i wypukła

Dla kształtu wypukłego, którego jedyny wewnętrzny punkt kratowy leży dokładnie w środku masy, matematycy chcieli poznać największą możliwą objętość takiego kształtu w danym wymiarze. Astra wyznaczyła tę maksymalną objętość dla każdego wymiaru, rozstrzygając hipotezę w pełnej ogólności.

Wielokolorowe liczby Ramseya

Dziedzina: teoria Ramseya / kombinatoryka

Przy wystarczająco dużej liczbie osób i wystarczającej liczbie kategorii relacji między nimi, ostatecznie gwarantowanie znajdziesz trzy osoby połączone tą samą kategorią. Astra udowodniła, że minimalna liczebność grupy potrzebna do tego rośnie szybciej niż dowolne stałe tempo wykładnicze wraz ze wzrostem liczby kategorii, rozwiązując problem Erdősa nr 183.

Hipotezy liczby ekstremalnej

Dziedzina: ekstremalna teoria grafów

Ta gałąź matematyki pyta, ile połączeń może mieć sieć, jednocześnie unikając pewnych małych, zakazanych wzorców. Astra rozstrzygnęła tu dwie powiązane hipotezy, odpowiadające problemom Erdősa nr 146 i 180, precyzując, jak gęste mogą być takie sieci, zanim te wzorce staną się nieuniknione.

Każdy z tych problemów pozostawał otwarty co najmniej dekadę; kilka trwało trzydzieści lat lub dłużej, w tym problemy, nad którymi pracowali laureaci Turinga po stronie teoretycznej informatyki.

Zaraz, czy kontrprzykład to „łatwy” rodzaj dowodu?

Kim jestem, żeby mówić tu coś krytycznego — ale wiem, że to częste pytanie lub reakcja, zwłaszcza u osób, które coś o matematyce wiedzą.

Najczęstsza krytyka brzmi: kilka z tych wyników to kontrprzykłady, a nie nowa teoria ogólna. To ważne rozróżnienie, bo kontrprzykład odpowiada na pytanie tak/nie, ale sam z siebie nie mówi, dlaczego wzorzec się łamie ani nie daje do ręki rodziny podobnych obiektów do dalszego badania, podczas gdy coś innego, jak twierdzenie klasyfikacyjne czy nowa technika, otwiera więcej drzwi.

Powiedziałbym, że ta krytyka generalnie się broni, ale nie nadaje się jako ogólne odrzucenie całej tej puli problemów. Po pierwsze, wynik o grupach niesoficznych nie jest drobną poprawką istniejącego prawie-rozwiązania — to pierwsza taka konstrukcja od 27 lat, w czasie których nikt nie miał żadnej, a stojąca za nią technika prawdopodobnie uogólnia się na znajdowanie kolejnych.

Po drugie, kilka z pozostałych dziewięciu wyników, w tym ograniczenie upakowania kul i trudność CVP, w ogóle nie są kontrprzykładami; to bezpośrednie ulepszenia istniejących ograniczeń. 

Co wciąż jest nierozstrzygnięte

Kilka kwestii warto śledzić, gdy środowisko będzie to rozbierać na czynniki w najbliższych dniach, tygodniach i miesiącach:

• Brak recenzji naukowej. Wyniki są zweryfikowane w Lean i nieformalnie przejrzane przez matematyków, którzy widzieli preprinty, ale żaden nie przeszedł jeszcze przez proces recenzji w czasopiśmie. 
• Autorstwo jest wciąż negocjowane. OpenAI mówi, że bierze odpowiedzialność za manuskrypty i formalizacje w Lean, przypisując same argumenty matematyczne modelowi. Niezależna replikacja procesu (w odróżnieniu od weryfikacji dowodów) jest teraz trudna do przeprowadzenia.

Co to oznacza dla matematyki

Najbardziej bezpośrednia zmiana dotyczy tego, na co matematycy mogą faktycznie poświęcać czas. Jeśli dobrze postawiony otwarty problem można przekazać modelowi i sprawdzić w Lean, wąskie gardło przesuwa się z „czy ktoś potrafi to rozwiązać” na „czy zadaliśmy właściwe pytanie i poprawnie je sformalizowaliśmy”. Umiejętność stawiania dobrego problemu i wiedza, który warto atakować, to realna kompetencja rozwijana przez doświadczenie. 

Jest też pytanie o finansowanie i wiarygodność. Granty badawcze, awanse i nagrody historycznie opierały się na niedoborze: te problemy były na tyle trudne, że ich rozwiązanie mówiło coś o rozwiązującym. Jeśli wyniki z pomocą AI staną się rutyną, dziedzina będzie potrzebować nowych sposobów sygnalizowania, co jest naprawdę trudne, a co mieści się już w zasięgu kilku tysięcy dolarów na inferencję. Oczywiście przeciętna osoba nie rozumie w pełni tych problemów. Ludzie z realnym przygotowaniem — tak, i to się nie zmienia. Więc wiedza matematyczna jest cenniejsza niż kiedykolwiek. 

Jak ludzie reagują

Reakcje w mediach społecznościowych podzieliły się mniej co do tego, czy dowody się spinają, a bardziej co do tego, co one oznaczają.

Niektórzy widzą samą skalę tempa jako główną historię: dziesięć wieloletnich problemów rozwiązanych naraz, w niepowiązanych dziedzinach, szybciej niż eksperci są w stanie je nawet przejrzeć. Pytanie na przyszłość: „Czy będziemy w stanie nadążyć z weryfikacją tego wszystkiego?”

Inni odpowiadają, że to mówi mniej o AI ogólnie, niż mogłoby się wydawać. Matematyka jest rzadką dziedziną, w której pracę modelu można sprawdzić automatycznie i kompletnie. Większość problemów ze świata rzeczywistego nie oferuje takiej wbudowanej, automatycznej odpowiedzi. W tym ujęciu osiągnięcie jest prawdziwe, ale może mówi więcej o tym, że matematyka jest wyjątkowo dobrze dopasowana do AI.

Trzeci nurt komentarzy: poprawny dowód, którego nikt jeszcze w pełni nie zrewidował ani nie przyswoił, nie został tak naprawdę zrozumiany — jedynie zweryfikowany. Odkrycie twierdzenia i zrozumienie, co ono znaczy, to — w tym ujęciu — dwa różne zadania.

Na koniec

Matematycy mówią, że wynik o grupach niesoficznych wygląda na rzeczywiście przełomowy: autentyczny, wieloletni otwarty problem w teorii grup, zamknięty przez jawną konstrukcję, którą matematycy z tej dziedziny traktują poważnie. Pozostałe dziewięć wyników razem stanowi szeroki i technicznie znaczący pakiet postępów w matematyce czystej.

To, czego jeszcze nie było, to wolniejsza część: recenzja naukowa, replikacja procesu wyszukiwania oraz to, że środowisko faktycznie zacznie na tych wynikach budować. Ta część trwa dłużej niż wpis na blogu — i to ona naprawdę pokaże, jak duże to było. Będziemy cię informować.