โมเดลถัดไปของ OpenAI ชื่อ Astra เพิ่งแก้ปัญหาเปิดในคณิตศาสตร์ที่ค้างคามานานสิบข้อ

เมื่อวันที่ 1 สิงหาคม OpenAI เผยแพร่รายงานอ้างว่าโมเดลถัดไปซึ่งภายในเรียกว่า Astra (ยังไม่เปิดให้ใช้) ได้สร้างผลลัพธ์ใหม่กับปัญหาเปิดสิบข้อในคณิตศาสตร์ (ไม่ใช่ปัญหา Millennium Prize แต่ก็มีนัยสำคัญไม่น้อย)

สิ่งที่น่าสังเกต: คำตอบเหล่านี้ไม่ใช่ความก้าวหน้าแบบค่อยเป็นค่อยไป แต่เป็นการแก้ปัญหาอย่างแท้จริงที่ยืนยันด้วย Lean (Lean เป็นภาษาโปรแกรมและตัวช่วยพิสูจน์ที่บังคับให้สะกดทุกขั้นตอนของเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ออกมาเป็นรายละเอียดที่เครื่องอ่านได้)

ข้อมูลมีมากในคราวเดียว บทความนี้จัดกลุ่มปัญหาตามสาขาและอธิบายภาพกว้างว่าเกิดอะไรขึ้น สิ่งนี้อาจบอกอะไรกับคณิตศาสตร์ในฐานะศาสตร์ และช่วยสรุปว่ารู้อะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับ Astra บ้าง

สิบปัญหามีอะไรบ้าง?

ต่อไปนี้คือแต่ละผลลัพธ์ในภาษาธรรมดา พร้อมสาขาคณิตศาสตร์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

กลุ่ม non-sofic

สาขา: ทฤษฎีกรุ๊ป

Astra สร้างตัวอย่างชัดเจนของกลุ่มที่ไม่อาจประมาณค่าได้ ไม่ว่าจะแนบสนิทเพียงใด ด้วยโครงสร้างจำกัดขนาดใหญ่ ปิดประเด็นคำถามที่เปิดค้างมาตั้งแต่แนวคิดกลุ่ม “sofic” ถูกเสนอในปี 1999 การก่อสร้างนี้มาพร้อมหลักฐานว่าลำดับของการประมาณด้วยโครงสร้างจำกัดใด ๆ ก็ใช้ไม่ได้เสมอ โดยถูกทำให้เป็นทางการใน Lean เพื่อให้ตรวจเช็กตรรกะเชิงกลได้

Wikipedia ได้อัปเดตแล้ว:

การจัดเรียงทรงกลม

สาขา: เรขาคณิตมิติสูง

คำถามคือ เมื่อจำนวนมิติสูงขึ้น ทรงกลมที่มีขนาดเท่ากันและไม่ทับซ้อนกันสามารถบรรจุให้หนาแน่นได้มากแค่ไหน Astra พิสูจน์เพดานความหนาแน่นที่แน่นขึ้นในมิติสูง เป็นการปรับปรุงขอบเขตครั้งแรกของกรณีนี้นับตั้งแต่ปี 1978 ไม่ได้เสนอวิธีจัดเรียงที่ดีกว่า แต่จำกัดกรอบว่าต่อให้มีวิธีใหม่ก็จะดีได้มากสุดเพียงใด

รหัสแบบไบนารีและแบบทรงกลม

สาขา: ทฤษฎีรหัส

รหัสแก้ไขข้อผิดพลาดทำงานโดยเว้นระยะข้อความที่ถูกต้องให้ห่างกันพอที่ความผิดพลาดเล็กน้อยจะไม่ทำให้สับสนกันได้ Astra พิสูจน์ขีดจำกัดที่เข้มงวดขึ้นอย่างมาก (ปรับปรุงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล) ของจำนวนข้อความที่เป็นไปได้สำหรับระยะขั้นต่ำที่กำหนด พร้อมผลลัพธ์สอดคล้องกันสำหรับจุดที่กระจายบนผิวทรงกลมมิติสูง

ข้อคาดการณ์เรื่องความแข็งของ Connes

สาขา: พีชคณิตของโอเปอเรเตอร์

Alain Connes คาดการณ์ว่ากลุ่มบางชนิดสามารถสร้างกลับมาได้อย่างเอกลักษณ์จากโครงสร้างพีชคณิตที่เรียกว่า von Neumann algebra ซึ่งสร้างจากกลุ่มนั้น ๆ Astra โต้แย้งด้วยการสร้างสองกลุ่มที่แตกต่างกันจริงซึ่งให้พีชคณิตชุดเดียวกัน แสดงว่าการสร้างกลับไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งเสมอไป

ความซับซ้อนของวงจรเลขคณิต

สาขา: ทฤษฎีความซับซ้อนการคำนวณ

“Permanent” ซึ่งเป็นตัวเลขเดียวที่คำนวณจากตารางตัวเลข มีค่าใช้จ่ายในการคำนวณสูง นักทฤษฎีความซับซ้อนต้องการรู้จำนวนขั้นตอนเลขคณิตต่ำสุดที่วิธีใด ๆ จะต้องใช้ Astra พิสูจน์ขอบเขตล่างแบบใหม่ที่แข็งแรงขึ้นสำหรับค่านั้น ซึ่งเป็นผลลัพธ์ประเภทที่ขึ้นชื่อว่าขยับได้ยากมาก

การทำซ้ำแบบขนานเชิงควอนตัม

สาขา: ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงควอนตัม

ทฤษฎีคลาสสิกกล่าวว่า หากให้ผู้เล่นสองคนที่สื่อสารกันไม่ได้เล่นเกมที่ยากซ้ำกันหลายครั้งแบบขนาน โอกาสโกงสำเร็จจะลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล Astra พิสูจน์ว่าหลักประกันเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้แม้ผู้เล่นจะแชร์ภาวะพัวพันควอนตัม ขยายหลักการพื้นฐานจากโลกคลาสสิกสู่บริบทควอนตัม

ปัญหาเวกเตอร์ที่ใกล้ที่สุด

สาขา: เข้ารหัสลับฐานแลตทิซ

ให้แลตทิซซึ่งเป็นตารางจุดซ้ำ ๆ และตำแหน่งเป้าหมาย ปัญหานี้ถามหาจุดแลตทิซที่ใกล้ที่สุด ซึ่งเชื่อว่าเป็นปัญหายากมากในมิติสูง จึงถูกใช้รองรับการเข้ารหัสที่ทนทานต่อควอนตัม Astra พิสูจน์ว่าแม้การประมาณคำตอบภายในปัจจัยพหุนามที่ระบุ ก็ยังคงยากโดยพิสูจน์ได้ เสริมความแข็งแกร่งให้กับการเข้ารหัสที่สร้างอยู่บนมัน

ข้อคาดการณ์ปริมาตรของ Ehrhart

สาขา: เรขาคณิตเชิงไม่ต่อเนื่องและนูน

สำหรับรูปนูนที่มีจุดแลตทิซภายในเพียงจุดเดียวอยู่ตรงกับจุดกึ่งกลางมวล นักคณิตศาสตร์อยากรู้ว่าปริมาตรมากสุดที่รูปดังกล่าวจะมีได้ในมิติที่กำหนดคือเท่าไร Astra คำนวณหาปริมาตรมากสุดนั้นได้สำหรับทุกมิติ ปิดข้อคาดการณ์ในระดับทั่วไปสมบูรณ์

จำนวน Ramsey หลายสี

สาขา: ทฤษฎี Ramsey / คอมบิเนโทริกส์

เมื่อมีคนมากพอและมีหมวดหมู่ความสัมพันธ์มากพอ สุดท้ายจะพบคนสามคนที่เชื่อมกันด้วยหมวดเดียวกันอย่างแน่นอน Astra พิสูจน์ว่าขนาดกลุ่มน้อยสุดที่ต้องใช้เติบโตเร็วกว่าอัตราเอ็กซ์โพเนนเชียลคงที่ใด ๆ เมื่อจำนวนหมวดหมู่เพิ่มขึ้น แก้ปัญหา Erdős หมายเลข 183

ข้อคาดการณ์จำนวนเชิงสุดขีด

สาขา: ทฤษฎีกราฟเชิงสุดขีด

สาขานี้ถามว่าเครือข่ายจะมีการเชื่อมต่อได้มากเพียงใดขณะยังหลีกเลี่ยงแบบแผนเล็ก ๆ ที่ห้ามไว้บางอย่าง Astra ปิดข้อคาดการณ์ที่เกี่ยวข้องกันสองข้อที่สอดคล้องกับปัญหา Erdős หมายเลข 146 และ 180 ระบุแน่ชัดว่าเครือข่ายดังกล่าวจะแน่นได้ถึงระดับไหนก่อนที่แบบแผนต้องห้ามจะหลีกเลี่ยงไม่ได้

แต่ละข้อเปิดค้างไม่น้อยกว่าสิบปี หลายข้อค้างมาสามทศวรรษหรือมากกว่า รวมถึงโจทย์ที่ผู้ได้รับรางวัลทัวริงทำงานอยู่ในฝั่งวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

เดี๋ยว ข้อยกเว้นสวนทางเป็นวิธีพิสูจน์ที่ “ง่าย” ใช่ไหม?

ไม่อาจวิจารณ์เชิงลบอะไรนัก แต่รู้ว่านี่เป็นคำถามหรือปฏิกิริยาที่พบบ่อย โดยเฉพาะจากคนที่พอรู้คณิตศาสตร์บ้าง

ข้อวิจารณ์ที่พบบ่อยที่สุดคือ ผลลัพธ์หลายข้อเป็นข้อยกเว้นสวนทาง ไม่ใช่ทฤษฎีทั่วไปใหม่ ประเด็นนี้สำคัญเพราะข้อยกเว้นสวนทางตอบคำถามแบบใช่/ไม่ใช่ แต่ตัวมันเองไม่ได้บอกว่าทำไมแบบแผนจึงพัง หรือยื่นชุดวัตถุคล้ายกันให้ศึกษา ต่อให้สิ่งอื่นอย่างทฤษฎีจัดจำแนกหรือเทคนิคใหม่ ๆ จะเปิดประตูมากกว่า

กล่าวโดยรวม ข้อวิจารณ์นี้พอฟังขึ้น แต่ไม่ถึงกับปัดทิ้งชุดปัญหานี้ทั้งก้อน ประการแรก ผล non-sofic ไม่ใช่การปรับเล็กน้อยจากงานเดิมที่เกือบสำเร็จ แต่นี่คือการก่อสร้างแบบแรกในรอบ 27 ปีที่ไม่มีใครทำได้ และเทคนิคเบื้องหลังคาดว่าจะทั่วไปพอสำหรับหาแบบอื่นได้

ประการที่สอง ผลอีกหลายข้อรวมถึงขอบเขตการจัดเรียงทรงกลมและความยากของ CVP ไม่ใช่ข้อยกเว้นสวนทางเลย แต่เป็นการปรับปรุงขอบเขตเดิมโดยตรง

อะไรที่ยังไม่คลี่คลาย

มีหลายเรื่องที่ควรติดตามเมื่อวงการเริ่มขุดคุ้ยในอีกหลายวัน สัปดาห์ และเดือนข้างหน้า:

• ยังไม่มีการทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ ผลลัพธ์ยืนยันด้วย Lean และนักคณิตศาสตร์ที่เห็น preprint ได้ทบทวนแบบไม่เป็นทางการ แต่ยังไม่มีชิ้นใดผ่านกระบวนการวารสารแบบผู้ทรงคุณวุฒิกลั่นกรอง
• กำลังเจรจาเรื่องผู้เขียน OpenAI ระบุว่ารับผิดชอบต้นฉบับและการทำให้เป็นทางการใน Lean ขณะที่ให้เครดิตเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์แก่โมเดล การทำซ้ำกระบวนการอย่างอิสระ (ต่างจากการยืนยันบทพิสูจน์) ทำได้ยากในตอนนี้

ผลสะท้อนต่อคณิตศาสตร์

การเปลี่ยนแปลงทันทีคือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์อาจใช้เวลาไปกับมัน หากปัญหาเปิดที่ตั้งโจทย์ดีส่งให้โมเดลทำและตรวจด้วย Lean ได้ คอขวดจะย้ายจาก “มีใครแก้ได้ไหม” ไปเป็น “เราถามถูกประเด็นและทำให้เป็นทางการถูกต้องไหม” ทักษะการตั้งโจทย์ที่ดีและรู้ว่าโจทย์ไหนคุ้มจะโจมตีเป็นทักษะจริงที่สั่งสมจากประสบการณ์

ยังมีคำถามเรื่องทุนและความน่าเชื่อถือคุกรุ่นอยู่ ทุนวิจัย ตำแหน่งทางวิชาการ และรางวัลต่าง ๆ มักผูกกับความขาดแคลน: ปัญหาเหล่านี้ยากพอที่การแก้ได้หนึ่งข้อจะสะท้อนตัวผู้แก้ หากผลลัพธ์ที่มี AI ช่วยกลายเป็นเรื่องปกติ วงการต้องหาวิธีใหม่ในการสื่อว่าอะไรยากจริง เทียบกับอะไรที่ตอนนี้เอื้อมถึงได้ด้วยงบ infer เพียงไม่กี่พันดอลลาร์ แน่นอนว่าคนทั่วไปไม่เข้าใจปัญหาเหล่านี้ทั้งหมด แต่คนที่ได้รับการฝึกฝนจริงเข้าใจ และสิ่งนั้นไม่เปลี่ยน ดังนั้นความรู้คณิตศาสตร์ยิ่งมีค่ายิ่งกว่าเดิม

ผู้คนตอบรับอย่างไร

กระแสตอบรับบนโซเชียลมีเดียแบ่งกันไม่ใช่ว่าบทพิสูจน์ผ่านตรวจไหม แต่แบ่งว่ามันเป็นหลักฐานของอะไร

บางคนมองว่าความเร็วเองคือเรื่องใหญ่: ปัญหาเก่าหลายทศวรรษตกพร้อมกันสิบข้อ ข้ามสาขาที่ไม่เกี่ยวกัน เร็วกว่าผู้เชี่ยวชาญจะตรวจทัน คำถามสำหรับอนาคต: “เราจะตามตรวจทั้งหมดนี้ทันไหม?”

อีกฝ่ายโต้ว่า สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับ AI โดยรวมได้น้อยกว่าที่คิด คณิตศาสตร์เป็นโดเมนหายากที่งานของโมเดลตรวจเช็กได้อัตโนมัติและสมบูรณ์ ปัญหาในโลกจริงส่วนใหญ่ไม่มี “กุญแจคำตอบ” อัตโนมัติในตัว มุมมองนี้จึงเห็นว่าความสำเร็จเป็นเรื่องจริง แต่สะท้อนว่าคณิตศาสตร์เหมาะกับ AI เป็นพิเศษมากกว่า

อีกสายหนึ่งของความเห็น: บทพิสูจน์ที่ถูกต้องซึ่งยังไม่มีใครตรวจและทำความเข้าใจอย่างครบถ้วน ยังไม่ถือว่า “เข้าใจ” จริง ๆ เพียงแค่ “ยืนยัน” การค้นพบทฤษฎีกับการเข้าใจว่ามันหมายความว่าอะไร ในมุมนี้คือสองงานที่ต่างกัน

ข้อคิดทิ้งท้าย

นักคณิตศาสตร์ระบุว่าผลกลุ่ม non-sofic ดูเป็นของจริง: คำถามเปิดในทฤษฎีกรุ๊ปที่คาราคาซังมาหลายสิบปี ถูกปิดด้วยการก่อสร้างชัดเจนที่ผู้เชี่ยวชาญในสาขาให้ความสำคัญ ผลอีกเก้าข้อเมื่อรวมกัน แสดงถึงความก้าวหน้ากว้างขวางและเข้มข้นทางเทคนิคทั่วคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

สิ่งที่ยังไม่เกิดคือช่วงเวลาที่ช้ากว่า: การทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ การทำซ้ำกระบวนการค้นหา และการที่วงการต่อยอดจากผลลัพธ์เหล่านี้ ช่วงนี้ใช้เวลานานกว่าบทความบล็อก และจะเป็นตัวบอกจริง ๆ ว่ามันยิ่งใหญ่แค่ไหน จะคอยอัปเดตให้ทราบ