โมเดลถัดไปของ OpenAI ชื่อ Astra แก้ปัญหาคณิตศาสตร์เปิดที่ยืนยาวมาหลายสิบปีได้สิบข้อ

เมื่อวันที่ 1 สิงหาคม OpenAI เผยแพร่รายงานอ้างว่าโมเดลถัดไปของบริษัทซึ่งภายในเรียกว่า Astra ได้สร้างผลลัพธ์ใหม่บนปัญหาเปิดสิบข้อในคณิตศาสตร์ (ไม่ใช่ปัญหา Millenium Prize แต่ก็มีนัยสำคัญอย่างยิ่ง)

จุดที่น่าสังเกต: คำตอบเหล่านี้ไม่ใช่ความคืบหน้าแบบค่อยเป็นค่อยไป แต่เป็นการแก้ปัญหาอย่างสมบูรณ์ โดยมีการตรวจพิสูจน์ด้วย Lean (Lean เป็นภาษาโปรแกรมและเครื่องช่วยพิสูจน์ที่บังคับให้แจกแจงทุกขั้นของข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นรายละเอียดที่เครื่องอ่านได้)

ข้อมูลมีมากและมาในคราวเดียว บทความนี้จึงจัดกลุ่มปัญหาตามสาขา อธิบายภาพรวมว่าเกิดอะไรขึ้น อะไรที่อาจส่งผลต่อวงการคณิตศาสตร์ และพยายามสรุปว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับ Astra อีกบ้าง

ปัญหาทั้งสิบมีอะไรบ้าง?

นี่คือผลแต่ละข้อในภาษาธรรมดา พร้อมระบุสาขาคณิตศาสตร์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

กลุ่ม non-sofic

สาขา: ทฤษฎีกรุป

Astra ให้การก่อสร้างที่เป็นรูปธรรมของกรุปชนิดหนึ่งที่ไม่อาจประมาณได้ด้วยโครงสร้างจำกัดขนาดใหญ่ ไม่ว่าจะใกล้แค่ไหนก็ตาม ปิดคำถามที่ค้างมาตั้งแต่แนวคิดกรุป "sofic" ถูกเสนอในปี 1999 งานสร้างนี้มาพร้อมข้อพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับการประมาณด้วยโครงสร้างจำกัดใดใช้การได้เลย โดยได้ทำให้เป็นทางการใน Lean เพื่อให้ตรรกะถูกตรวจเช็คเชิงกลได้

วิกิพีเดียอัปเดตแล้ว:

การบรรจุลูกทรงกลม (Sphere packing)

สาขา: เรขาคณิตมิติสูง

คำถามคือเราจะบรรจุลูกทรงกลมที่เหมือนกันและไม่ทับซ้อนกันได้หนาแน่นเพียงใดเมื่อจำนวนมิติเพิ่มขึ้น Astra พิสูจน์เพดานบนของความหนาแน่นในมิติสูงให้แคบลง เป็นการปรับปรุงขอบเขตแบบนี้ครั้งแรกนับตั้งแต่ปี 1978 ผลลัพธ์นี้ไม่ได้มอบวิธีบรรจุที่ดีกว่า แต่เป็นการจำกัดว่าต่อให้มีวิธีใหม่ก็จะดีได้มากสุดแค่ไหน

รหัสแบบไบนารีและบนทรงกลม

สาขา: ทฤษฎีรหัส

รหัสแก้ไขข้อผิดพลาดทำงานโดยเว้นระยะข้อความที่ถูกต้องให้ห่างพอ จนข้อผิดพลาดเล็กน้อยไม่ทำให้สับสนกันได้ Astra พิสูจน์ขีดจำกัดที่แน่นขึ้นอย่างมาก (ดีขึ้นระดับเอ็กซ์โปเนนเชียล) ของจำนวนข้อความที่เป็นไปได้สำหรับระยะขั้นต่ำที่กำหนด พร้อมผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับจุดที่กระจายบนทรงกลมมิติสูง

Connes's rigidity conjecture

สาขา: พีชคณิตตัวดำเนินการ

Alain Connes เสนอสมมุติฐานว่ากลุ่มบางชนิดสามารถสร้างกลับได้อย่างเอกฐานจากโครงสร้างพีชคณิตที่เรียกว่า von Neumann algebra ซึ่งสร้างขึ้นจากกลุ่มนั้น Astra หักล้างสิ่งนี้โดยสร้างกลุ่มที่แตกต่างกันจริงสองกลุ่มซึ่งก่อให้เกิดพีชคณิตเดียวกัน แสดงว่าการสร้างกลับไม่จำเป็นต้องหนึ่งต่อหนึ่งเสมอไป

ความซับซ้อนของวงจรเลขคณิต

สาขา: ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงคำนวณ

"Permanent" ซึ่งเป็นจำนวนเดียวที่คำนวณจากตารางตัวเลข เป็นสิ่งที่คำนวณแพง นักทฤษฎีความซับซ้อนต้องการรู้ว่าต่ำสุดของจำนวนก้าวเชิงเลขคณิตที่วิธีใด ๆ จำเป็นต้องใช้คือเท่าไร Astra พิสูจน์ขอบเขตล่างใหม่ที่แรงขึ้นบนค่านี้ ซึ่งเป็นชนิดของผลลัพธ์ที่เลื่อนให้ดีขึ้นได้ยากมาก

Quantum parallel repetition

สาขา: ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงควอนตัม

ทฤษฎีแบบคลาสสิกกล่าวว่าการให้ผู้เล่นสองคนที่สื่อสารกันไม่ได้ เล่นเกมที่ยากซ้ำหลายครั้งแบบขนาน จะทำให้การโกงมีโอกาสสำเร็จน้อยลงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล Astra พิสูจน์ว่าการรับประกันเดียวกันนี้ยังคงถือแม้ผู้เล่นจะแชร์การพัวพันเชิงควอนตัม ขยายหลักการคลาสสิกพื้นฐานเข้าสู่บริบทควอนตัม

ปัญหาเวกเตอร์ที่ใกล้ที่สุด (CVP)

สาขา: สารรหัสเชิงตาข่าย (lattice-based cryptography)

เมื่อกำหนดตาข่ายของจุดที่ซ้ำเป็นแพทเทิร์นและตำแหน่งเป้าหมาย ปัญหาคือหาจุดตาข่ายที่ใกล้ที่สุด ซึ่งเชื่อว่าเป็นปัญหาที่ยากมากในมิติสูง จึงเป็นฐานของการเข้ารหัสที่ทนทานต่อควอนตัม Astra พิสูจน์ว่าแม้เพียงการประมาณคำตอบภายในปัจจัยพหุนามที่ระบุ ก็ยังยากอย่างพิสูจน์ได้ เสริมความแข็งแกร่งให้การเข้ารหัสที่อิงปัญหานี้

สมมุติฐานปริมาตรของ Ehrhart

สาขา: เรขาคณิตเชิงไม่ต่อเนื่องและเชิงนูน

สำหรับรูปนูนที่มีจุดตาข่ายภายในเพียงจุดเดียวซึ่งอยู่ตรงจุดศูนย์ถ่วง นักคณิตศาสตร์ต้องการทราบว่าปริมาตรมากสุดที่รูปดังกล่าวมีได้ในมิติที่กำหนดคือเท่าไร Astra คำนวณปริมาตรมากสุดนั้นได้สำหรับทุกมิติ ปิดสมมุติฐานนี้โดยสมบูรณ์

จำนวน Ramsey แบบหลายสี

สาขา: ทฤษฎี Ramsey / คอมบิเนตอริกส์

เมื่อมีคนจำนวนมากพอและมีหมวดหมู่ของความสัมพันธ์มากพอ ในที่สุดจะต้องพบคนสามคนที่เชื่อมโยงกันด้วยหมวดหมู่เดียวกัน Astra พิสูจน์ว่าเมื่อจำนวนหมวดหมู่เพิ่มขึ้น ขนาดกลุ่มน้อยสุดที่ต้องการจะเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลใด ๆ ที่ตายตัว แก้ปัญหา Erdős หมายเลข 183

สมมุติฐานจำนวนเชิงสุดโต่ง

สาขา: ทฤษฎีกราฟเชิงสุดโต่ง

แขนงนี้ถามว่าโครงข่ายจะมีการเชื่อมต่อได้มากเพียงใด ในขณะที่ยังหลีกเลี่ยงแพทเทิร์นเล็ก ๆ บางแบบที่ต้องห้าม Astra แก้สมมุติฐานที่เกี่ยวข้องสองข้อ ซึ่งตรงกับปัญหา Erdős หมายเลข 146 และ 180 ระบุชัดว่าความหนาแน่นของโครงข่ายจะไปได้ไกลแค่ไหนก่อนที่แพทเทิร์นต้องห้ามจะหลีกเลี่ยงไม่ได้

แต่ละข้อเปิดมามากกว่าทศวรรษ หลายข้อยืนยาวกว่า 30 ปี รวมถึงปัญหาที่ผู้ได้รับรางวัลทัวริงในสายวิชาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีเคยทำงานด้วย

เดี๋ยวก่อน การโต้แย้งด้วยตัวอย่างหักล้างเป็นพิสูจน์แบบ "ง่าย" ใช่ไหม?

ไม่กล้าพูดในเชิงลบ แต่รู้ว่านี่เป็นคำถามหรือปฏิกิริยาที่พบบ่อย โดยเฉพาะจากคนที่พอรู้คณิตศาสตร์

คำวิจารณ์ที่พบบ่อยที่สุดคือ หลายผลลัพธ์เป็นตัวอย่างหักล้างมากกว่าทฤษฎีทั่วไปใหม่ ประเด็นนี้สำคัญเพราะตัวอย่างหักล้างตอบคำถามแบบใช่/ไม่ใช่ แต่ไม่ได้บอกด้วยตัวมันเองว่าทำไมรูปแบบจึงพัง หรือมอบครอบครัวของวัตถุคล้ายกันให้ศึกษา ในขณะที่สิ่งอื่น เช่น ทฤษฎีการจัดจำแนกหรือเทคนิคใหม่ ๆ เปิดประตูมากกว่า

ผมคิดว่าคำวิจารณ์นี้มีน้ำหนักโดยทั่วไป แต่ก็ไม่อาจใช้ปัดทิ้งผลงานชุดนี้ทั้งหมดได้ ประการแรก ผลลัพธ์เรื่องกรุป non-sofic ไม่ใช่การปรับเล็กน้อยจากสิ่งที่เกือบสำเร็จอยู่แล้ว แต่เป็นการก่อสร้างชนิดแรกในรอบ 27 ปีที่ก่อนหน้านี้ไม่มีใครทำได้เลย และเทคนิคเบื้องหลังคาดว่าจะขยายผลไปหาตัวอย่างอื่นได้

ประการที่สอง ผลลัพธ์อีกหลายข้อ เช่น ขอบเขตการบรรจุลูกทรงกลมและความยากของ CVP ไม่ใช่ตัวอย่างหักล้างเลย แต่เป็นการปรับปรุงขอบเขตที่มีอยู่โดยตรง

สิ่งที่ยังไม่คลี่คลาย

มีบางอย่างที่ควรติดตามเมื่อวงการเริ่มขุดคุ้ยในอีกหลายวัน สัปดาห์ และเดือนข้างหน้า:

• ยังไม่มีการทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ (peer review). มีการตรวจด้วย Lean และมีนักคณิตศาสตร์ที่เห็น preprint ช่วยทบทวนแบบไม่เป็นทางการ แต่ยังไม่มีชิ้นไหนผ่านกระบวนการวารสารแบบมีผู้ทรงคุณวุฒิ
• สถานภาพผู้เขียนยังอยู่ระหว่างการเจรจา OpenAI ระบุว่าบริษัทรับผิดชอบต้นฉบับและการทำให้เป็นทางการใน Lean ขณะที่ให้เครดิตเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์แก่โมเดล การทำซ้ำกระบวนการอย่างอิสระ (ต่างจากการยืนยันข้อพิสูจน์) ยังทำได้ยากในตอนนี้

เรื่องนี้หมายความว่าอย่างไรต่อวงการคณิตศาสตร์

ความเปลี่ยนแปลงที่ชัดที่สุดคือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์จะใช้เวลาไปกับมัน หากปัญหาเปิดที่นิยามดีสามารถส่งให้โมเดลและตรวจใน Lean ได้ คอขวดจะย้ายจาก "มีใครแก้ได้ไหม" ไปเป็น "เราถามคำถามถูกจุดและทำให้เป็นทางการถูกต้องไหม" ทักษะการตั้งปัญหาดี ๆ และรู้ว่าปัญหาไหนคุ้มค่าแก่การโจมตีเป็นทักษะจริงที่พัฒนาได้จากประสบการณ์

ยังมีคำถามเรื่องเงินทุนและความน่าเชื่อถือปะทุอยู่ ทุนวิจัย ตำแหน่งทางวิชาการ และรางวัลต่าง ๆ ในอดีตตั้งอยู่บนความขาดแคลน: ปัญหาเหล่านี้ยากพอที่การแก้ได้นั้นบอกอะไรบางอย่างเกี่ยวกับคนแก้ หากผลลัพธ์ที่มี AI ช่วยกลายเป็นเรื่องปกติ วงการจะต้องหารูปแบบใหม่ในการส่งสัญญาณว่าอะไรยากจริงเทียบกับอะไรที่ตอนนี้เข้าถึงได้ด้วยค่า inference ไม่กี่พันดอลลาร์ แน่นอนว่าคนทั่วไปไม่เข้าใจปัญหาเหล่านี้ทั้งหมด แต่ผู้ที่มีการฝึกฝนจริงเข้าใจ และสิ่งนั้นไม่เปลี่ยน ดังนั้นความรู้คณิตศาสตร์ยิ่งมีค่ายิ่งขึ้น

ผู้คนตอบสนองอย่างไร

ปฏิกิริยาบนโซเชียลมีเดียแตกต่างกันน้อยกว่าที่เรื่องความถูกต้องของข้อพิสูจน์ แต่ต่างกันมากว่าเรื่องนี้เป็นหลักฐานของอะไร

บางคนอ่านความเร็วเป็นประเด็นหลัก: ปัญหาที่ค้างมาหลายทศวรรษสิบข้อ ถูกปิดพร้อมกันในสาขาที่ไม่เกี่ยวกัน เร็วกว่าที่ผู้เชี่ยวชาญจะตรวจทานทัน คำถามสำหรับอนาคต: "เราจะตามตรวจทั้งหมดนี้ทันไหม?"

อีกฝ่ายโต้แย้งว่านี่สะท้อนถึง AI โดยรวมได้น้อยกว่าที่คิด คณิตศาสตร์เป็นโดเมนหายากที่งานของโมเดลตรวจสอบอัตโนมัติและครบถ้วนได้ ปัญหาในโลกจริงส่วนใหญ่ไม่ได้มีเฉลยอัตโนมัติในตัว มุมมองนี้จึงเห็นว่าความสำเร็จเป็นของจริง แต่สะท้อนมากกว่าว่าคณิตศาสตร์เหมาะกับ AI อย่างผิดปกติ

อีกสายหนึ่งของความเห็นคือ ข้อพิสูจน์ที่ถูกต้องแต่ยังไม่มีใครตรวจและทำความเข้าใจอย่างถ่องแท้ แท้จริงแล้วยังไม่ถูก "เข้าใจ" เพียงแค่ถูกตรวจยืนยัน การค้นพบทฤษฎีกับการเข้าใจว่ามันหมายความว่าอะไร ในมุมมองนี้เป็นงานคนละอย่างกัน

บทส่งท้าย

นักคณิตศาสตร์ระบุว่าผลลัพธ์เรื่องกรุป non-sofic ดูเป็นของจริง: ปัญหาเปิดเก่าแก่ในทฤษฎีกรุปที่ปิดได้ด้วยการก่อสร้างอย่างชัดเจน ซึ่งนักคณิตศาสตร์ในสาขาให้ความสำคัญ ผลลัพธ์อีกเก้าข้อเมื่อรวมกัน แสดงถึงความก้าวหน้ากว้างขวางและมีน้ำหนักทางเทคนิคในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

สิ่งที่ยังไม่เกิดขึ้นคือส่วนที่ช้ากว่า: การทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ การทำซ้ำกระบวนการค้นหา และการที่วงการต่อยอดจากผลลัพธ์เหล่านี้ ส่วนนี้ใช้เวลานานกว่าบทความบล็อก และเป็นส่วนที่จะบอกเราได้จริง ๆ ว่านี่ใหญ่แค่ไหน ติดตามความคืบหน้าได้ เราจะอัปเดตให้ทราบ