Model Berikutnya dari OpenAI, Astra, Baru Saja Memecahkan Sepuluh Masalah Matematika Terbuka Berusia Puluhan Tahun

Pada 1 Agustus, OpenAI menerbitkan laporan yang menyatakan model berikutnya, yang secara internal disebut Astra (belum tersedia), menghasilkan hasil baru pada sepuluh masalah terbuka berbeda di bidang matematika. (Bukan, ini bukan masalah Millennium Prize, tetapi tetap signifikan.)

Yang patut dicatat: Solusi-solusi ini bukan kemajuan bertahap atas masalah tersebut; melainkan penyelesaian yang sesungguhnya, diverifikasi dengan Lean. (Lean adalah bahasa pemrograman dan asisten pembuktian yang memaksa setiap langkah argumen matematis dijabarkan secara rinci agar dapat dibaca mesin.) 

Ini banyak untuk dicerna sekaligus. Dalam artikel ini, saya mengelompokkan masalah-masalahnya menurut bidang dan menjelaskan secara garis besar apa yang terjadi, apa implikasinya bagi matematika sebagai disiplin, dan apa saja yang bisa kita simpulkan tentang Astra.

Apa Saja Sepuluh Masalah Itu?

Berikut setiap hasilnya, dalam istilah sederhana, beserta bidang matematika atau ilmu komputer yang menaunginya.

Grup non-sofik

Bidang: Teori grup

Astra menghasilkan konstruksi eksplisit dari sebuah grup yang tidak dapat diaproksimasi, seketat apa pun, oleh struktur hingga yang besar — menutup sebuah pertanyaan yang terbuka sejak konsep grup "sofik" diperkenalkan pada 1999. Konstruksi ini disertai bukti bahwa tidak ada urutan aproksimasi hingga yang pernah bisa berhasil, diformalkan di Lean sehingga logikanya dapat diperiksa secara mekanis.

Wikipedia sudah diperbarui:

Pengemasan bola (sphere packing)

Bidang: Geometri berdimensi tinggi

Pertanyaannya adalah sepadat apa bola-bola identik yang tidak saling tumpang tindih dapat dikemas bersama saat jumlah dimensi bertambah. Astra membuktikan batas atas yang lebih ketat atas kerapatan itu di dimensi tinggi, peningkatan pertama pada batas khusus ini sejak 1978. Ini tidak menghadirkan metode pengemasan yang lebih baik — melainkan mempersempit seberapa baik metode apa pun di masa depan bisa jadi.

Kode biner dan sferis

Bidang: Teori pengkodean

Kode koreksi kesalahan bekerja dengan menjaga pesan-pesan valid cukup berjauhan sehingga kesalahan kecil tidak bisa mengubah satu pesan menjadi yang lain. Astra membuktikan batas yang jauh lebih ketat (meningkat secara eksponensial) atas berapa banyak pesan semacam itu yang bisa ada untuk jarak minimum tertentu, dengan hasil serupa untuk titik-titik yang tersebar di permukaan bola berdimensi tinggi.

Konjektur kekakuan Connes

Bidang: Aljabar operator

Alain Connes berhipotesis bahwa grup-grup tertentu selalu dapat direkonstruksi secara unik dari suatu struktur aljabar, yang disebut aljabar von Neumann, yang dibangun darinya. Astra menyangkal ini dengan menghasilkan dua grup yang benar-benar berbeda namun menghasilkan aljabar yang sama, menunjukkan bahwa rekonstruksi tidak selalu satu-ke-satu.

Kompleksitas sirkuit aritmetika

Bidang: Teori kompleksitas komputasional

"Permanent", sebuah angka tunggal yang dihitung dari kisi angka, mahal untuk dihitung, dan para ahli kompleksitas ingin mengetahui jumlah minimum langkah aritmetika yang mungkin diperlukan metode apa pun. Astra membuktikan batas bawah baru yang lebih kuat atas minimum tersebut — jenis hasil yang terkenal sulit untuk digeser sama sekali.

Pengulangan paralel kuantum

Bidang: Teori kompleksitas kuantum

Teori klasik menyatakan bahwa membuat dua pemain yang tidak berkomunikasi mengulangi sebuah permainan sulit berkali-kali secara paralel membuat kecurangan menjadi eksponensial lebih kecil kemungkinannya untuk berhasil. Astra membuktikan jaminan yang sama tetap berlaku bahkan ketika para pemain berbagi keterikatan kuantum, memperluas prinsip klasik mendasar ke ranah kuantum.

Masalah vektor terdekat

Bidang: Kriptografi berbasis kisi

Diberikan kisi titik berulang (lattice) dan suatu lokasi target, masalah ini menanyakan titik kisi terdekat — masalah yang diyakini sangat sulit di dimensi tinggi, itulah sebabnya ia menopang sebagian enkripsi tahan kuantum. Astra membuktikan bahwa bahkan mengaproksimasi jawabannya, dalam faktor polinomial tertentu, tetap terbukti sulit, memperkuat kriptografi yang dibangun di atasnya.

Konjektur volume Ehrhart

Bidang: Geometri diskret dan konveks

Untuk sebuah bentuk konveks yang satu-satunya titik kisi di interiornya tepat berada di pusat massanya, para matematikawan ingin mengetahui volume terbesar yang mungkin dimiliki bentuk seperti itu pada dimensi berapa pun. Astra menghitung volume maksimum tersebut untuk setiap dimensi, menuntaskan konjektur itu secara umum.

Bilangan Ramsey multicolor

Bidang: Teori Ramsey / kombinatorika

Dengan cukup banyak orang dan cukup banyak kategori hubungan di antara mereka, pada akhirnya Anda dijamin akan menemukan tiga orang yang semuanya terhubung oleh kategori yang sama. Astra membuktikan bahwa ukuran kelompok minimum yang diperlukan tumbuh lebih cepat daripada laju eksponensial tetap mana pun ketika jumlah kategori meningkat, menyelesaikan masalah Erdős 183.

Konjektur bilangan ekstremal

Bidang: Teori graf ekstremal

Cabang matematika ini menanyakan berapa banyak koneksi yang dapat dimiliki sebuah jaringan sambil tetap menghindari pola kecil tertentu yang dilarang. Astra menuntaskan dua konjektur terkait di sini, yang sesuai dengan masalah Erdős 146 dan 180, menetapkan seberapa rapat jaringan semacam itu bisa menjadi sebelum pola-pola itu tak terhindarkan.

Masing-masing masalah ini telah terbuka setidaknya selama satu dekade; beberapa telah bertahan selama tiga puluh tahun atau lebih, termasuk masalah yang dikerjakan oleh penerima Turing Award di sisi ilmu komputer teoretis.

Tunggu, Apakah Kontraexample Itu Jenis Bukti yang "Mudah"?

Siapalah saya untuk mengatakan hal negatif di sini, tetapi saya tahu ini pertanyaan atau reaksi yang umum, terutama dari orang-orang yang paham matematika.

Hal yang paling sering dikatakan orang sebagai kritik: Beberapa hasil ini adalah kontraexample, bukan teori umum baru. Gagasan ini penting karena sebuah kontraexample menjawab pertanyaan ya/tidak tetapi tidak, dengan sendirinya, memberi tahu Anda mengapa polanya patah atau memberikan keluarga objek serupa untuk dipelajari selanjutnya, sementara hal lain, seperti teorema klasifikasi atau teknik baru, membuka lebih banyak pintu.

Menurut saya kritik ini berlaku secara umum, tetapi tidak bisa serta-merta meniadakan seluruh kumpulan masalah ini. Pertama, hasil grup non-sofik bukan perubahan kecil pada upaya yang nyaris berhasil — ini adalah konstruksi pertama dari jenisnya setelah 27 tahun tanpa ada satu pun, dan teknik di baliknya diperkirakan dapat digeneralisasi untuk menemukan yang lain.

Kedua, beberapa dari sembilan hasil lainnya, termasuk batas pengemasan bola dan hasil kesulitan CVP, sama sekali bukan kontraexample; ini adalah perbaikan langsung pada batas yang ada. 

Apa yang Masih Belum Terselesaikan

Beberapa hal layak dipantau saat bidang ini membedahnya dalam hari, pekan, dan bulan mendatang:

• Belum ada telaah sejawat. Hasil-hasil ini diverifikasi dengan Lean dan ditinjau secara informal oleh para matematikawan yang telah melihat pracetak, tetapi belum ada yang melalui proses jurnal bereferensi. 
• Kepenulisan masih dinegosiasikan. OpenAI menyatakan bertanggung jawab atas naskah dan formalisasi Lean, sementara mengatribusikan argumen matematis itu sendiri kepada model. Replikasi independen atas proses (berbeda dari verifikasi bukti) sulit dilakukan saat ini.

Apa Artinya Ini bagi Matematika

Perubahan paling langsung adalah pada apa yang mungkin benar-benar dikerjakan para matematikawan. Jika sebuah masalah terbuka yang dirumuskan dengan baik dapat diserahkan kepada model dan diperiksa di Lean, kemacetan berpindah dari "apakah ada yang bisa menyelesaikannya" ke "apakah kita mengajukan pertanyaan yang tepat dan memformalkannya dengan benar." Keterampilan merumuskan masalah yang baik dan mengetahui mana yang layak diserang adalah keterampilan nyata yang dikembangkan para matematikawan dari pengalaman. 

Ada juga pertanyaan pendanaan dan kredibilitas yang mengemuka. Hibah riset, kasus kepangkatan akademik, dan penghargaan secara historis dibangun di atas kelangkaan: masalah-masalah ini cukup sulit sehingga menyelesaikan satu saja menyiratkan sesuatu tentang pemecahnya. Jika hasil yang dibantu AI menjadi hal biasa, bidang ini perlu cara baru untuk menandai mana yang benar-benar sulit versus yang kini dapat dijangkau dengan biaya inferensi beberapa ribu dolar. Tentu, orang kebanyakan tidak sepenuhnya memahami masalah-masalah ini. Mereka yang memiliki pelatihan nyata memahaminya, dan itu tidak berubah. Jadi pengetahuan matematika justru makin berharga. 

Bagaimana Orang Bereaksi

Reaksi di media sosial lebih terbelah bukan pada apakah buktinya sah, melainkan pada apa yang mereka buktikan.

Sebagian melihat kecepatannya sendiri sebagai inti cerita: sepuluh masalah berusia puluhan tahun terselesaikan sekaligus, lintas bidang yang tidak saling terkait, lebih cepat daripada yang bisa ditinjau para ahli. Pertanyaan untuk masa depan: "Akankah kita bisa mengikuti untuk memeriksa semua ini?"

Yang lain menanggapi bahwa ini tidak serta-merta berbicara banyak tentang AI secara umum. Matematika adalah ranah langka di mana karya model dapat diperiksa secara otomatis dan menyeluruh. Kebanyakan masalah dunia nyata tidak menawarkan kunci jawaban otomatis yang tertanam seperti itu. Dari sudut pandang ini, pencapaiannya nyata, tetapi mungkin lebih mencerminkan bahwa matematika sangat cocok untuk AI.

Aliran komentar ketiga: Bukti yang benar namun belum diaudit atau dipahami sepenuhnya belum benar-benar dimengerti, hanya diverifikasi. Menemukan teorema dan memahami maknanya, dalam pandangan ini, adalah dua pekerjaan yang berbeda.

Penutup

Para matematikawan mengatakan hasil grup non-sofik tampaknya nyata: sebuah pertanyaan terbuka otentik berusia puluhan tahun dalam teori grup, ditutup oleh konstruksi eksplisit yang dianggap serius oleh para matematikawan di bidangnya. Sembilan hasil lainnya, secara keseluruhan, mewakili kumpulan kemajuan yang luas dan secara teknis substansial di matematika murni.

Yang belum terjadi adalah bagian yang lebih lambat: telaah sejawat, replikasi proses pencarian, dan bidang ini benar-benar membangun di atas hasil-hasil ini. Bagian itu memakan waktu lebih lama daripada sebuah postingan blog, dan di sanalah kita benar-benar akan tahu seberapa besar peristiwanya. Kami akan terus memberi kabar.