OpenAIs nästa modell, Astra, löste just tio decennier gamla öppna matematikproblem

Den 1 augusti publicerade OpenAI en rapport där de hävdar att deras nästa modell, internt kallad Astra, har tagit fram nya resultat för tio olika öppna problem inom matematiken. (Nej, det är inte Millenniepris-problemen, men de är betydande ändå.)

Värt att notera: Dessa lösningar är inte stegvisa framsteg på problemen; de är faktiska lösningar, verifierade med Lean. (Lean är ett programmeringsspråk och ett bevisassistentverktyg som tvingar varje steg i ett matematiskt resonemang att specificeras i maskinläsbar detalj.) 

Det är mycket att ta in på en gång. I den här artikeln har jag ordnat problemen efter område och beskriver på en övergripande nivå vad som hände, vad detta kan innebära för matematik som fält, och vad mer vi kan sluta oss till om Astra.

Vilka är de tio problemen?

Här är varje resultat, i vardagliga ord, tillsammans med det specifika området inom matematik eller datavetenskap det tillhör.

Icke-sofiska grupper

Område: Gruppteori

Astra tog fram en explicit konstruktion av en grupp som inte kan approximeras, oavsett hur noggrant, av stora ändliga strukturer — vilket stänger en fråga som varit öppen sedan begreppet \"sofisk\" grupp introducerades 1999. Konstruktionen åtföljs av ett bevis att ingen sekvens av ändliga approximationer någonsin kan fungera, formaliserat i Lean så att logiken kan kontrolleras maskinellt.

Wikipedia har redan uppdaterats:

Sfärpackning

Område: Högdimensionell geometri

Frågan är hur tätt identiska, icke-överlappande sfärer kan packas när antalet dimensioner växer. Astra bevisade ett skarpare tak för den tätheten i höga dimensioner, den första förbättringen av just denna gräns sedan 1978. Det ger inte en bättre packningsmetod — det inskränker hur bra någon framtida metod överhuvudtaget kan bli.

Binära och sfäriska koder

Område: Kodningsteori

Felkorrigerande koder fungerar genom att hålla giltiga meddelanden tillräckligt långt ifrån varandra så att små fel inte kan förvandla ett till ett annat. Astra bevisade dramatiskt skarpare (exponentiellt förbättrade) gränser för hur många sådana meddelanden som kan finnas för ett givet minsta avstånd, med ett matchande resultat för punkter utspridda över en högdimensionell sfär.

Connes rigiditetsförmodan

Område: Operatoralgebror

Alain Connes förmodade att vissa grupper alltid skulle kunna återskapas entydigt från en algebraisk struktur, kallad en von Neumann-algebra, byggd utifrån dem. Astra motbevisade detta genom att ta fram två genuint olika grupper som ger upphov till samma algebra, vilket visar att återskapandet inte alltid är en entydig avbildning.

Aritmetisk kretskomplexitet

Område: Teoretisk beräkningskomplexitet

\"Permanenten\", ett enda tal beräknat från ett rutnät av tal, är dyrt att beräkna, och komplexitetsteoretiker vill veta det minsta antalet aritmetiska steg som någon metod överhuvudtaget kan behöva. Astra bevisade en ny, starkare undre gräns för det minimumet — en notorisk svår typ av resultat att rubba överhuvudtaget.

Kvantal parallell upprepning

Område: Kvantkomplexitetsteori

Klassisk teori säger att om två icke-kommunicerande spelare får upprepa ett svårt spel många gånger parallellt blir fusk exponentiellt mindre sannolikt att lyckas. Astra bevisade att samma garanti gäller även när spelarna delar kvantsammanflätning, vilket utvidgar en grundläggande klassisk princip till den kvantmekaniska miljön.

Närmaste vektor-problemet

Område: Gitterbaserad kryptografi

Givet ett återkommande rutnät av punkter (ett gitter) och en målpunkts placering, frågar detta problem efter den närmaste gitterpunkten — ett problem som anses vara mycket svårt i höga dimensioner, vilket är varför det ligger till grund för viss kvantresistent kryptering. Astra bevisade att även att approximera svaret, inom en specifik polynomfaktor, förblir bevisat svårt, vilket stärker kryptografin som bygger på detta.

Ehrharts volymförmodan

Område: Diskret och konvex geometri

För en konvex form vars enda inre gitterpunkt ligger exakt i dess masscentrum ville matematiker veta den största möjliga volym en sådan form kan ha i en given dimension. Astra räknade ut den maximala volymen för varje dimension och avgjorde därmed förmodan i full allmänhet.

Ramsey-tal med flera färger

Område: Ramseyteori / kombinatorik

Med tillräckligt många personer och tillräckligt många kategorier av relationer mellan dem är du till slut garanterad att hitta tre personer som alla är förbundna med samma kategori. Astra bevisade att den minsta gruppstorleken som krävs växer snabbare än någon fast exponentiell takt när antalet kategorier ökar, vilket löser Erdős problem 183.

Extremala tal-förmodanden

Område: Extremal grafteori

Denna gren av matematiken frågar hur många kopplingar ett nätverk kan ha samtidigt som det undviker vissa små, förbjudna mönster. Astra avgjorde två relaterade förmodanden här, motsvarande Erdős problem 146 och 180, och fastställde hur täta sådana nätverk kan bli innan dessa mönster blir oundvikliga.

Var och en av dessa hade varit öppna i minst ett decennium; flera hade stått i trettio år eller mer, inklusive problem som arbetats på av Turingpris-vinnare på den teoretiska datavetenskapssidan av listan.

Vänta, är ett motexempel den \"enkla\" sortens bevis?

Vem är jag att säga något negativt här, men jag vet att detta är en vanlig fråga eller reaktion, särskilt från personer som kan något om matematik.

Det vanligaste folk säger, som en kritik: Flera av dessa resultat är motexempel snarare än ny allmän teori. Denna tanke är viktig eftersom ett motexempel besvarar en ja/nej-fråga men i sig inte berättar varför mönstret bryts eller ger dig en familj av liknande objekt att studera härnäst, medan något annat, som en klassificeringssats eller en ny teknik, öppnar fler dörrar.

Jag skulle säga att denna kritik håller i allmänhet, men den fungerar inte som en svepande avfärdande dom över hela denna omgång problem. För det första är resultatet om icke-sofiska grupper inte en liten justering av en befintlig nästan-lösning — det är den första konstruktionen i sitt slag efter 27 år där ingen hade någon överhuvudtaget, och tekniken bakom förväntas generaliseras till att hitta andra.

För det andra är flera av de övriga nio resultaten, inklusive sfärpackningsgränsen och CVP-svårighetsresultatet, inte motexempel alls; de är direkta förbättringar av gällande gränser. 

Vad som fortfarande är oklart

Några saker är värda att följa när detta nagelfars av fältet under de kommande dagarna, veckorna och månaderna:

\n
• Ingen peer review ännu. Dessa är Lean-verifierade och har granskats informellt av matematiker som sett preprints, men inga har gått igenom en referentgranskad tidskriftsprocess. 
\n
• Författarskap förhandlas fortfarande. OpenAI säger att de tar ansvar för manuskripten och Lean-formaliseringarna, samtidigt som de tillskriver de matematiska argumenten själva till modellen. Oberoende replikation av processen (till skillnad från verifiering av bevisen) är svår att göra just nu.
\n

Vad detta betyder för matematiken

Den mest omedelbara förändringen gäller vad matematiker faktiskt kan komma att lägga sin tid på. Om ett välformulerat öppet problem kan lämnas till en modell och kontrolleras i Lean, flyttas flaskhalsen från \"kan någon lösa detta\" till \"ställde vi rätt fråga och formaliserade den korrekt\". Förmågan att formulera ett bra problem och veta vilket som är värt att angripa är en verklig färdighet som matematiker utvecklar med erfarenhet. 

Det finns också en fråga om finansiering och trovärdighet som pyr. Forskningsanslag, tillsvidareanställningar och priser har historiskt byggt på knapphet: dessa problem var tillräckligt svåra för att lösningen sa något om problemlösaren. Om AI-assisterade resultat blir rutin, kommer fältet att behöva nya sätt att signalera vad som verkligen är svårt kontra vad som nu ligger inom räckhåll för några tusen dollar i inferenskostnad. Visserligen förstår genomsnittspersonen inte dessa problem fullt ut. De med riktig utbildning gör det, och det förändras inte. Så matematikkunskap är mer värdefull än någonsin. 

Hur folk reagerar

Reaktionerna i sociala medier var mindre splittrade kring huruvida bevisen stämmer, och mer kring vad de är bevis på.

Vissa läste själva tempot som den verkliga storyn: tio decennier gamla problem som landar samtidigt, över obesläktade områden, snabbare än experter ens kan granska dem. En fråga för framtiden: \"Kommer vi att kunna hänga med i att kontrollera allt detta?\"

Andra invände att detta säger mindre om AI i allmänhet än det verkar. Matematik är ett sällsynt område där en modells arbete kan kontrolleras automatiskt och fullständigt. De flesta verkliga problem erbjuder inte den typen av inbyggd, automatisk facit. Ur den synvinkeln är prestationen verklig, men den kan säga mer om att matematiken är ovanligt väl lämpad för AI.

En tredje kommentartråd: Ett korrekt bevis som ingen fullt ut har granskat eller tagit till sig har ännu inte verkligen förståtts, bara verifierats. Att upptäcka en sats och att förstå vad den betyder är, enligt denna syn, två olika jobb.

Avslutande tankar

Matematiker säger att resultatet om icke-sofiska grupper ser ut att vara på riktigt: en genuin, decennier gammal öppen fråga i gruppteori, löst genom en explicit konstruktion som matematiker inom fältet tar på allvar. De övriga nio resultaten, sammantaget, representerar en bred och tekniskt substantiell omgång framsteg inom ren matematik.

Det som ännu inte har hänt är den långsammare delen: peer review, replikation av sökprocessen och att fältet faktiskt bygger vidare på dessa resultat. Den delen tar längre tid än ett blogginlägg, och det är den delen som verkligen kommer att visa hur stort detta var. Vi håller dig uppdaterad.