OpenAI का अगला मॉडल, Astra, ने अभी-अभी दस दशकों-पुरानी खुली गणितीय समस्याएँ सुलझा दीं

1 अगस्त को, OpenAI ने एक रिपोर्ट प्रकाशित की जिसमें दावा किया गया कि उसका अगला मॉडल, जिसे अंदरूनी तौर पर Astra कहा जाता है (अब तक उपलब्ध नहीं), ने गणित की दस अलग-अलग खुली समस्याओं पर नए परिणाम दिए हैं। (नहीं, ये Millennium Prize समस्याएँ नहीं हैं, लेकिन फिर भी ये महत्वपूर्ण हैं।)

ध्यान देने योग्य बात: ये समाधान समस्याओं पर क्रमिक प्रगति नहीं हैं; ये वास्तविक समाधान हैं, जिन्हें Lean से सत्यापित किया गया है। (Lean एक प्रोग्रामिंग भाषा और प्रमाण सहायक है, जो गणितीय तर्क के हर चरण को मशीन-पठनीय विस्तार से लिखवाने के लिए बाध्य करता है।) 

एक साथ यह सब बहुत कुछ है। इस लेख में, मैंने समस्याओं को उनके क्षेत्र के हिसाब से क्रमबद्ध किया है और उच्च-स्तरीय रूप में बताया है कि क्या हुआ, इसका गणित के क्षेत्र के लिए क्या संकेत हो सकता है, और Astra के बारे में और क्या पता चलता है।

वे दस समस्याएँ क्या हैं?

यहाँ प्रत्येक परिणाम साधारण शब्दों में दिया गया है, साथ ही वह गणित या कंप्यूटर विज्ञान का विशिष्ट क्षेत्र जिससे वह संबंधित है।

नॉन-सोफिक समूह

क्षेत्र: समूह सिद्धांत

Astra ने ऐसे समूह का एक स्पष्ट निर्माण प्रस्तुत किया जिसे बड़े सीमित संरचनाओं द्वारा, चाहे जितना भी नज़दीक क्यों न हो, अनुकूलीकृत नहीं किया जा सकता — यह प्रश्न 1999 में "sofic" समूह की अवधारणा के परिचय के बाद से खुला था। यह निर्माण इस प्रमाण के साथ आता है कि सीमित समीपताओं का कोई भी अनुक्रम कभी काम नहीं कर सकता, और इसे Lean में औपचारिक किया गया है ताकि तर्क को यांत्रिक रूप से जाँचा जा सके।

Wikipedia पहले ही अपडेट हो चुका है:

गोला-पैकिंग

क्षेत्र: उच्च-आयामी ज्यामिति

प्रश्न यह है कि समान, आपस में न टकराने वाले गोलों को, आयामों की संख्या बढ़ने पर, कितनी सघनता से एक साथ भरा जा सकता है। Astra ने उच्च आयामों में उस सघनता पर एक अधिक कड़ा ऊपरी सीमा सिद्ध की — 1978 के बाद से इस विशेष बाउंड में यह पहली प्रगति है। यह कोई बेहतर पैकिंग विधि नहीं देता — यह बस यह सीमित करता है कि भविष्य में कोई भी विधि अधिकतम कितनी अच्छी हो सकती है।

बाइनरी और स्फेरिकल कोड

क्षेत्र: कोडिंग सिद्धांत

त्रुटि-सुधार कोड इस तरह काम करते हैं कि वैध संदेशों को इतना दूर रखा जाता है कि छोटी-छोटी गलतियाँ एक संदेश को दूसरे में न बदल सकें। Astra ने ऐसे संदेशों की अधिकतम संख्या पर, दिए गए न्यूनतम दूरी के लिए, नाटकीय रूप से कड़े (घातीय रूप से बेहतर) बाउंड सिद्ध किए, और उच्च-आयामी गोले पर बिखरे बिंदुओं के लिए समान परिणाम दिया।

Connes का रिगिडिटी अनुमान

क्षेत्र: ऑपरेटर बीजगणित

Alain Connes ने अनुमान लगाया था कि कुछ समूहों को हमेशा एक बीजीय संरचना — जिसे उनसे निर्मित एक von Neumann बीजगणित कहा जाता है — से अद्वितीय रूप से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। Astra ने दो वास्तविक रूप से भिन्न समूह बनाकर, जो एक ही बीजगणित को जन्म देते हैं, इसे खारिज कर दिया, यह दिखाते हुए कि पुनर्निर्माण हमेशा एक-से-एक नहीं होता।

अंकगणित परिपथ जटिलता

क्षेत्र: संगणनात्मक जटिलता सिद्धांत

"पर्मानेंट" — संख्याओं की एक ग्रिड से गणना किया जाने वाला एक एकल मान — निकालना महँगा पड़ता है, और जटिलता सिद्धांतकार जानना चाहते हैं कि किसी भी विधि को न्यूनतम कितने अंकगणितीय चरणों की आवश्यकता हो सकती है। Astra ने उस न्यूनतम पर एक नया, अधिक सशक्त निम्न बाउंड सिद्ध किया — इस तरह के परिणामों को आगे बढ़ाना बदनाम रूप से कठिन होता है।

क्वांटम पैरेलल रिपटीशन

क्षेत्र: क्वांटम जटिलता सिद्धांत

शास्त्रीय सिद्धांत कहता है कि दो गैर-संचार करने वाले खिलाड़ियों से किसी कठिन खेल को कई बार समानांतर में दोहरवाने से धोखा देने की सफलता की संभावना घातीय रूप से घटती है। Astra ने सिद्ध किया कि यही गारंटी तब भी लागू होती है जब खिलाड़ी क्वांटम एंटैंगलमेंट साझा करते हों, यानी एक मौलिक शास्त्रीय सिद्धांत को क्वांटम परिप्रेक्ष्य तक बढ़ाया।

निकटतम वेक्टर समस्या

क्षेत्र: लैटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफी

बिंदुओं के एक आवर्ती ग्रिड (लैटिस) और एक लक्ष्य स्थान के दिए होने पर, यह समस्या निकटतम ग्रिड बिंदु ढूँढ़ने को कहती है — जो उच्च आयामों में अत्यंत कठिन मानी जाती है, और इसी वजह से यह कुछ क्वांटम-प्रतिरोधी एन्क्रिप्शन का आधार है। Astra ने सिद्ध किया कि उत्तर के सन्निकटन तक पहुँचना भी, एक विशिष्ट बहुपद गुणक के भीतर, प्रमाणित रूप से कठिन बना रहता है, जिससे उस पर आधारित क्रिप्टोग्राफी और मजबूत होती है।

Ehrhart का वॉल्यूम अनुमान

क्षेत्र: असतत और उत्तल ज्यामिति

ऐसे उत्तल आकार के लिए, जिसका एकमात्र आंतरिक ग्रिड बिंदु ठीक उसके द्रव्यमान केंद्र पर बैठता हो, गणितज्ञ जानना चाहते थे कि किसी भी दिए गए आयाम में ऐसे आकार का अधिकतम संभावित आयतन क्या हो सकता है। Astra ने हर आयाम के लिए उस अधिकतम आयतन की गणना कर दी, और इस अनुमान को पूर्ण सामान्यता में सुलझा दिया।

मल्टीकलर Ramsey संख्याएँ

क्षेत्र: Ramsey सिद्धांत / संयोजनिकी

पर्याप्त लोगों और उनके बीच संबंधों की पर्याप्त श्रेणियाँ होने पर, अंततः आपको तीन ऐसे लोग ज़रूर मिलेंगे जो सभी एक ही श्रेणी से जुड़े हों। Astra ने सिद्ध किया कि आवश्यक न्यूनतम समूह आकार श्रेणियों की संख्या बढ़ने के साथ किसी भी निश्चित घातीय दर से तेज़ी से बढ़ता है, और इस प्रकार Erdős समस्या 183 का समाधान किया।

एक्स्ट्रीमल संख्या अनुमाने

क्षेत्र: एक्स्ट्रीमल ग्राफ सिद्धांत

गणित की यह शाखा पूछती है कि कोई नेटवर्क कितने कनेक्शन रख सकता है जबकि कुछ छोटे, निषिद्ध पैटर्नों से अब भी बचा रहे। Astra ने यहाँ दो संबंधित अनुमानों को सुलझा दिया, जो Erdős समस्याएँ 146 और 180 के अनुरूप हैं, और यह तय कर दिया कि ऐसे नेटवर्क कितने घने हो सकते हैं, इससे पहले कि वे पैटर्न अपरिहार्य हो जाएँ।

इनमें से प्रत्येक कम से कम एक दशक से खुला था; कई तीस साल या उससे अधिक से टिके हुए थे, जिनमें सैद्धांतिक CS पक्ष की समस्याएँ भी शामिल हैं जिन पर Turing Award विजेताओं ने काम किया था।

रुकिए, क्या प्रतिवाद देना "आसान" किस्म का प्रमाण है?

मैं यहाँ कुछ नकारात्मक कहने वाला कौन होता हूँ, लेकिन मुझे पता है कि यह एक सामान्य सवाल या प्रतिक्रिया है, खासकर उन लोगों की जो गणित के बारे में कुछ जानते हैं।

लोग सबसे आम तौर पर जो आलोचना करते हैं, वह यह है: इनमें से कई परिणाम सामान्य सिद्धांत के बजाय प्रतिउदाहरण हैं। यह बात इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रतिउदाहरण किसी हाँ/ना सवाल का जवाब देता है, लेकिन अपने आप में यह नहीं बताता कि पैटर्न क्यों टूटता है या आपको अध्ययन के लिए मिलते-जुलते ऑब्जेक्ट्स का कोई परिवार सौंपता है; जबकि कोई वर्गीकरण प्रमेय या नई तकनीक कई दरवाज़े खोल देती है।

मैं कहूँगा कि यह आलोचना सामान्य रूप से सही ठहरती है, लेकिन यह पूरे इस बैच को एक झटके में नकार देने जैसी बात नहीं बनती। पहली बात, नॉन-सोफिक समूहों का परिणाम किसी मौजूदा, लगभग-सफल प्रयास में छोटा-सा सुधार नहीं है — यह 27 वर्षों में अपने तरह का पहला निर्माण है, जब किसी के पास एक भी नहीं था, और इसके पीछे की तकनीक से अन्य उदाहरण भी मिलने की उम्मीद है।

दूसरी बात, बाकी नौ में से कई, जैसे गोला-पैकिंग बाउंड और CVP की कठिनता का परिणाम, प्रतिउदाहरण हैं ही नहीं; वे मौजूदा बाउंड्स में सीधे सुधार हैं। 

अब भी क्या अनसुलझा है

आने वाले दिनों, हफ्तों और महीनों में, जब यह समुदाय द्वारा परखा जाएगा, कुछ बातें देखने लायक हैं:

• अभी सहकर्मी-समीक्षा नहीं हुई है। ये Lean से सत्यापित हैं और प्रीप्रिंट देखने वाले गणितज्ञों द्वारा अनौपचारिक रूप से समीक्षा की गई है, लेकिन इनमें से किसी ने भी संचालित पत्रिका की औपचारिक समीक्षा प्रक्रिया नहीं देखी है। 
• लेखकत्व अब भी तय हो रहा है। OpenAI कहता है कि वह पांडुलिपियों और Lean औपचारीकीकरणों की जिम्मेदारी लेता है, जबकि गणितीय तर्कों का श्रेय मॉडल को देता है। प्रक्रिया की स्वतंत्र पुनरावृत्ति (यानी प्रमाणों के सत्यापन के विपरीत) फिलहाल करना कठिन है।

गणित के लिए इसका क्या अर्थ है

सबसे त्वरित बदलाव यह होगा कि गणितज्ञ वास्तव में अपना समय किस पर लगाएँगे। यदि कोई सुव्यवस्थित खुली समस्या किसी मॉडल को सौंपी जा सकती है और Lean में जाँची जा सकती है, तो बाधा "क्या कोई इसे सुलझा सकता है" से हटकर "क्या हमने सही सवाल पूछा और उसे ठीक से औपचारिक किया" पर आ जाती है। अच्छा सवाल गढ़ने और यह समझने का कौशल कि किस पर वार करना सार्थक होगा, अनुभव से विकसित होने वाली असली कौशल है। 

वित्तपोषण और विश्वसनीयता का एक सवाल भी उभर रहा है। शोध अनुदान, टेन्योर के मामले, और पुरस्कार ऐतिहासिक रूप से कमी पर आधारित रहे हैं: ये समस्याएँ इतनी कठिन थीं कि उन्हें सुलझाने से सुलझाने वाले के बारे में कुछ कहा जा सकता था। यदि AI-सहायित परिणाम सामान्य हो जाते हैं, तो क्षेत्र को यह संकेत देने के नए तरीके चाहिए होंगे कि क्या वास्तव में कठिन है और क्या अब कुछ हज़ार डॉलर की इन्फरेंस की पहुँच में है। बेशक, आम व्यक्ति इन समस्याओं को पूरी तरह नहीं समझता। जिनके पास वास्तविक प्रशिक्षण है वे समझते हैं, और यह नहीं बदलता। इसलिए गणित का ज्ञान पहले से ज्यादा मूल्यवान है। 

लोग कैसे प्रतिक्रिया दे रहे हैं

सोशल मीडिया पर प्रतिक्रिया इस पर कम बंटी कि प्रमाण सही हैं या नहीं, और ज्यादा इस पर कि वे किस बात के साक्ष्य हैं।

कुछ लोग गति को ही असली कहानी मानते हैं: असंबद्ध क्षेत्रों में, एक साथ, दशकों पुरानी दस समस्याओं का समाधान, विशेषज्ञों की समीक्षा करने की रफ्तार से भी तेज़। भविष्य का एक सवाल: "क्या हम यह सब जाँचने की गति बनाए रख पाएँगे?"

दूसरों का कहना है कि इससे सामान्य रूप से AI के बारे में उतना नहीं पता चलता जितना प्रतीत होता है। गणित दुर्लभ क्षेत्र है जहाँ किसी मॉडल के काम को स्वचालित और पूर्णतः जाँचा जा सकता है। अधिकांश वास्तविक दुनिया की समस्याएँ ऐसा अंतर्निहित, स्वचालित उत्तरकुंजी नहीं देतीं। इस दृष्टि से, उपलब्धि वास्तविक है, लेकिन यह शायद अधिक बताती है कि गणित AI के लिए असाधारण रूप से उपयुक्त है।

टिप्पणी का तीसरा रुख: एक सही प्रमाण जिसे किसी ने पूरी तरह जाँचा या आत्मसात नहीं किया है, वह अभी वास्तव में समझा नहीं गया, बस सत्यापित हुआ है। एक प्रमेय की खोज करना और उसका अर्थ समझना, इस दृष्टि में, दो अलग काम हैं।

अंतिम विचार

गणितज्ञों का कहना है कि नॉन-सोफिक समूहों का परिणाम असली लगता है: समूह सिद्धांत में दशकों पुराना एक खुला प्रश्न, जिसे एक स्पष्ट निर्माण द्वारा बंद किया गया है, और क्षेत्र के गणितज्ञ इसे गंभीरता से ले रहे हैं। बाकी नौ परिणाम, एक साथ लिए जाने पर, शुद्ध गणित में व्यापक और तकनीकी रूप से ठोस प्रगति का बैच प्रस्तुत करते हैं।

जो अभी नहीं हुआ है, वह धीमा हिस्सा है: सहकर्मी-समीक्षा, खोज प्रक्रिया की पुनरावृत्ति, और क्षेत्र का वास्तव में इन परिणामों पर निर्माण करना। यह हिस्सा ब्लॉग पोस्ट से ज्यादा समय लेता है, और यही हमें सच में बताएगा कि यह कितना बड़ा था। हम आपको अपडेट देते रहेंगे।