OpenAI का अगला मॉडल Astra ने दस दशकों पुराने खुले गणितीय प्रश्न सुलझा दिए

1 अगस्त को OpenAI ने एक रिपोर्ट प्रकाशित की, जिसमें दावा किया गया कि उसका अगला मॉडल, जिसे आंतरिक रूप से Astra कहा जा रहा है, ने गणित के दस अलग-अलग खुले प्रश्नों पर नए परिणाम दिए हैं। (नहीं, ये Millenium Prize समस्याएँ नहीं हैं, लेकिन फिर भी ये महत्वपूर्ण हैं।)

ध्यान देने योग्य बात: ये समाधान समस्याओं पर क्रमिक प्रगति नहीं हैं; ये वास्तविक समाधान हैं, जिन्हें Lean से सत्यापित किया गया है। (Lean एक प्रोग्रामिंग भाषा और प्रूफ असिस्टेंट है, जो किसी गणितीय तर्क के हर चरण को मशीन-पठनीय विस्तार में लिखवाता है।) 

एक साथ बहुत कुछ है। इस लेख में, मैंने समस्याओं को क्षेत्र के अनुसार व्यवस्थित किया है और ऊपरी स्तर पर बताया है कि क्या हुआ, गणित के क्षेत्र के लिए इसका क्या संकेत हो सकता है, और Astra के बारे में हम और क्या जान पाते हैं।

वे दस समस्याएँ क्या हैं?

यहाँ प्रत्येक परिणाम सरल शब्दों में दिया गया है, साथ ही वह गणित या कंप्यूटर विज्ञान का क्षेत्र जिसमें यह आता है।

नॉन-सोफिक समूह

क्षेत्र: समूह सिद्धांत

Astra ने एक ऐसे समूह का स्पष्ट निर्माण दिया जिसे बड़े सीमित स्ट्रक्चर से, चाहे जितना भी पास से, सरलीकृत नहीं किया जा सकता — 1999 में “sofic” समूह की अवधारणा आने के बाद से खुला प्रश्न बंद करते हुए। इस निर्माण के साथ एक प्रमाण भी है कि सीमित सरलीकरणों का कोई क्रम कभी काम नहीं कर सकता; इसे Lean में औपचारिक रूप दिया गया है ताकि तर्क को यांत्रिक रूप से जाँचा जा सके।

Wikipedia पहले ही अपडेट हो चुका है:

गोला पैकिंग

क्षेत्र: उच्च-आयामी ज्यामिति

प्रश्न यह है कि आयाम बढ़ने पर समान, गैर-ओवरलैपिंग गोलों को कितनी सघनता से एक साथ पैक किया जा सकता है। Astra ने उच्च आयामों में उस सघनता के लिए एक और कड़ा ऊपरी बंध सिद्ध किया — 1978 के बाद से इस विशेष बाउंड में पहला सुधार। यह कोई बेहतर पैकिंग विधि नहीं देता — यह केवल यह सीमित करता है कि भविष्य में कोई भी विधि अधिकतम कितनी अच्छी हो सकती है।

बाइनरी और स्फेरिकल कोड्स

क्षेत्र: कोडिंग सिद्धांत

त्रुटि-संशोधन कोड ऐसे काम करते हैं कि वैध संदेशों को इतना दूर रखा जाता है कि छोटी गलतियाँ एक को दूसरे में न बदल दें। Astra ने इस बात पर नाटकीय रूप से अधिक कड़े (घातांकीय रूप से सुधरे) बंध सिद्ध किए कि दिए गए न्यूनतम दूरी पर ऐसे कितने संदेश मौजूद हो सकते हैं, और उच्च-आयामी गोले पर फैले बिंदुओं के लिए इसी के अनुरूप एक परिणाम भी दिया।

Connes का रिगिडिटी अनुमान

क्षेत्र: ऑपरेटर बीजगणित

Alain Connes ने अनुमान लगाया था कि कुछ समूहों को हमेशा एक बीजगणितीय संरचना — जिसे von Neumann बीजगणित कहते हैं — से अद्वितीय रूप से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, जो उन्हीं से बनी होती है। Astra ने दो वास्तविक रूप से भिन्न समूह निर्मित करके इसे गलत साबित किया, जो एक ही बीजगणित देते हैं, यह दिखाते हुए कि पुनर्निर्माण हमेशा एक-से-एक नहीं है।

Arithmetic circuit complexity

क्षेत्र: संगणकीय जटिलता सिद्धांत

“Permanent” — जो संख्याओं के एक ग्रिड से निकाला जाने वाला एकल मान है — की गणना महँगी पड़ती है, और जटिलता सिद्धांतकार जानना चाहते हैं कि किसी भी विधि को न्यूनतम कितने अंकगणितीय चरणों की आवश्यकता हो सकती है। Astra ने उस न्यूनतम पर एक नया, अधिक सशक्त निम्न बंध सिद्ध किया — इस तरह के परिणामों को आगे बढ़ाना कुख्यात रूप से कठिन होता है।

क्वांटम पैरलल रिपीटिशन

क्षेत्र: क्वांटम जटिलता सिद्धांत

शास्त्रीय सिद्धांत कहता है कि दो गैर-संचार करने वाले खिलाड़ियों से किसी कठिन खेल को समानांतर में कई बार दोहरवाने से धोखा देना घातांकीय रूप से कम सफल होता है। Astra ने सिद्ध किया कि यही गारंटी तब भी लागू होती है जब खिलाड़ी क्वांटम एंटैंगलमेंट साझा करते हैं, यानी एक बुनियादी शास्त्रीय सिद्धांत का विस्तार क्वांटम परिदृश्य में हो गया।

क्लोज़ेस्ट वेक्टर समस्या

क्षेत्र: लैटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफी

बिंदुओं के एक दोहराते ग्रिड (लैटिस) और एक लक्ष्य स्थान के दिए जाने पर, यह समस्या निकटतम ग्रिड बिंदु पूछती है — जो उच्च आयामों में बहुत कठिन मानी जाती है, इसलिए यह कुछ क्वांटम-प्रतिरोधी एन्क्रिप्शन का आधार है। Astra ने सिद्ध किया कि उत्तर का सन्निकटन करना भी, एक विशिष्ट बहुपदीय गुणक के भीतर, सिद्ध रूप से कठिन रहता है, और इस पर आधारित क्रिप्टोग्राफी को और मज़बूत करता है।

Ehrhart का वॉल्यूम अनुमान

क्षेत्र: डिस्क्रीट और उत्तल ज्यामिति

ऐसे उत्तल आकार के लिए जिसका एकमात्र आंतरिक ग्रिड बिंदु उसके द्रव्यमान केंद्र पर ही हो, गणितज्ञ जानना चाहते थे कि किसी भी दिए गए आयाम में ऐसे आकार का अधिकतम संभव आयतन क्या हो सकता है। Astra ने हर आयाम के लिए उस अधिकतम आयतन का निर्धारण किया, और इस अनुमान को पूर्ण सामान्यता में सुलझा दिया।

मल्टीकलर Ramsey संख्याएँ

क्षेत्र: Ramsey सिद्धांत / संयोज्य

पर्याप्त लोगों और उनके बीच पर्याप्त श्रेणियों के संबंध होने पर, अंततः आपको तीन लोग मिलेंगे जो सभी उसी श्रेणी से जुड़े होंगे। Astra ने सिद्ध किया कि आवश्यक न्यूनतम समूह आकार, श्रेणियों की संख्या बढ़ने पर, किसी भी तय घातांकीय दर से तेज़ी से बढ़ता है, और Erdős समस्या 183 को सुलझा दिया।

एक्स्ट्रीमल संख्या अनुमानों

क्षेत्र: अतिवादी ग्राफ सिद्धांत

गणित की यह शाखा पूछती है कि कोई नेटवर्क कितने संबंध रख सकता है जबकि अभी भी कुछ छोटे, निषिद्ध पैटर्न से बचा रह सके। Astra ने यहाँ दो संबंधित अनुमानों को सुलझाया, जो Erdős समस्याएँ 146 और 180 के अनुरूप हैं, और यह निर्धारित किया कि ऐसे नेटवर्क कितने घने हो सकते हैं, इससे पहले कि वे पैटर्न अनिवार्य हो जाएँ।

इनमें से प्रत्येक कम से कम एक दशक से खुला था; कई तीस साल या उससे अधिक समय से, जिनमें से कुछ पर सैद्धांतिक CS पक्ष के Turing Award विजेताओं ने भी काम किया था।

रुकिए, क्या प्रतिवाद “आसान” तरह का प्रमाण है?

मैं यहाँ कुछ नकारात्मक कहने वाला कौन हूँ, लेकिन मैं जानता हूँ कि यह एक सामान्य प्रश्न या प्रतिक्रिया है, खासकर उन लोगों से जो गणित के बारे में कुछ जानते हैं।

लोग सबसे आम तौर पर आलोचना में यह कहते हैं: इन परिणामों में से कई प्रतिवाद हैं, न कि नया सामान्य सिद्धांत। यह बात इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रतिवाद एक हाँ/ना प्रश्न का उत्तर देता है, लेकिन अपने आप में यह नहीं बताता कि पैटर्न क्यों टूटता है या आगे अध्ययन के लिए आपको समान वस्तुओं का कोई परिवार थमा देता है; जबकि कुछ और, जैसे कोई वर्गीकरण प्रमेय या नई तकनीक, अधिक दरवाजे खोलती है।

मैं कहूँगा यह आलोचना सामान्य रूप में ठीक है, लेकिन यह इन सभी समस्याओं को एक झटके में खारिज नहीं करती। पहला, नॉन-सोफिक समूहों का परिणाम किसी मौजूदा लगभग-समाधान में छोटा-सा बदलाव नहीं है — 27 साल में पहली बार ऐसा निर्माण मिला है जब किसी के पास था ही नहीं, और इसके पीछे की तकनीक से और उदाहरण मिलने की उम्मीद है।

दूसरा, बाकी नौ में से कई, जैसे स्फीयर-पैकिंग बाउंड और CVP हार्डनेस का परिणाम, प्रतिवाद नहीं हैं; वे प्रचलित बाउंड्स में सीधे सुधार हैं। 

अब भी क्या अनसुलझा है

कुछ बातें हैं जिन पर आने वाले दिनों, हफ्तों और महीनों में इस क्षेत्र द्वारा बारीकी से नज़र रखी जानी चाहिए:

• अभी पीयर रिव्यू नहीं हुआ है। ये Lean से सत्यापित हैं और प्रीप्रिंट देखने वाले गणितज्ञों द्वारा अनौपचारिक रूप से समीक्षा की गई हैं, लेकिन कोई भी रेफ़रीड जर्नल प्रक्रिया से नहीं गुजरी है। 
• लेखकत्व पर अभी बातचीत चल रही है। OpenAI कहता है कि वह पांडुलिपियों और Lean औपचारिकताओं की ज़िम्मेदारी लेता है, जबकि गणितीय तर्कों का श्रेय मॉडल को देता है। प्रक्रिया की स्वतंत्र पुनरावृत्ति (इसके विपरीत कि प्रमाणों का सत्यापन) फिलहाल करना कठिन है।

गणित के लिए इसका क्या अर्थ है

सबसे तात्कालिक बदलाव यह है कि गणितज्ञ अपना समय वास्तव में किस पर लगाएँगे। यदि कोई सुस्पष्ट खुला प्रश्न किसी मॉडल को सौंपा जा सकता है और Lean में जाँचा जा सकता है, तो बाधा “क्या कोई इसे हल कर सकता है” से “क्या हमने सही प्रश्न पूछा और उसे ठीक से औपचारिक किया” में खिसक जाती है। अच्छा प्रश्न गढ़ने और यह जानने का कौशल कि किसे साधना सार्थक है, अनुभव से विकसित होता है। 

साथ ही फंडिंग और विश्वसनीयता का प्रश्न भी सुलग रहा है। शोध अनुदान, टेन्योर केस, और पुरस्कार ऐतिहासिक रूप से दुर्लभता पर टिके रहे हैं: ये समस्याएँ इतनी कठिन थीं कि किसी एक को हल करना समाधानकर्ता के बारे में कुछ कहता था। यदि AI-सहायता प्राप्त परिणाम नियमित हो जाएँ, तो क्षेत्र को यह संकेत देने के नए तरीके चाहिए होंगे कि क्या सचमुच कठिन है और क्या अब कुछ हज़ार डॉलर के इन्फ़रेंस की पहुँच में है। बेशक, आम व्यक्ति इन समस्याओं को पूरी तरह नहीं समझता। जिनके पास वास्तविक प्रशिक्षण है, वे समझते हैं, और यह नहीं बदलता। इसलिए गणित का ज्ञान पहले से भी अधिक मूल्यवान है। 

लोग कैसे प्रतिक्रिया दे रहे हैं

सोशल मीडिया पर प्रतिक्रिया इस पर कम बंटी कि प्रमाण सही हैं या नहीं, और इस पर अधिक कि वे किस बात के संकेत हैं।

कुछ लोगों ने गति को ही असली कहानी माना: असंबद्ध क्षेत्रों में एक साथ दस दशकों पुराने प्रश्न, इतनी तेजी से कि विशेषज्ञ उनकी समीक्षा भी न कर पाएँ। भविष्य के लिए एक सवाल: “क्या हम इसे जाँचने की रफ्तार पकड़ पाएँगे?”

दूसरे लोग यह कहते हुए एतराज़ करते हैं कि यह AI के बारे में उतना नहीं बताता जितना लगता है। गणित एक दुर्लभ क्षेत्र है जहाँ किसी मॉडल के काम को स्वतः और पूर्णतः जाँचा जा सकता है। अधिकांश वास्तविक दुनिया की समस्याएँ ऐसी अंतर्निहित, स्वतः उत्तर कुंजी नहीं देतीं। इस नज़रिए से, उपलब्धि वास्तविक है, मगर यह बताती शायद अधिक है कि गणित AI के लिए असाधारण रूप से उपयुक्त है।

तीसरी तरह की टिप्पणी: एक सही प्रमाण जिसे किसी ने पूरी तरह ऑडिट या आत्मसात नहीं किया, अभी सच में समझा नहीं गया — केवल सत्यापित किया गया है। इस नज़रिये में, किसी प्रमेय की खोज करना और उसका अर्थ समझना, दो अलग काम हैं।

अंतिम विचार

गणितज्ञ कह रहे हैं कि नॉन-सोफिक समूहों का परिणाम वास्तविक चीज़ जैसा लगता है: समूह सिद्धांत में दशकों पुराना खुला प्रश्न, एक स्पष्ट निर्माण से बंद हुआ, जिसे क्षेत्र के गणितज्ञ गंभीरता से ले रहे हैं। बाकी नौ परिणाम, समेकित रूप से देखें, तो शुद्ध गणित के कई क्षेत्रों में व्यापक और तकनीकी रूप से ठोस प्रगति दर्शाते हैं।

जो अभी नहीं हुआ है, वह धीमा चरण है: पीयर रिव्यू, खोज प्रक्रिया की पुनरावृत्ति, और क्षेत्र द्वारा वास्तव में इन परिणामों पर आगे निर्माण करना। यह हिस्सा ब्लॉग पोस्ट से अधिक समय लेता है, और वही हमें सच में बताएगा कि यह कितना बड़ा था। हम आपको अपडेट देते रहेंगे।