El próximo modelo de OpenAI, Astra, acaba de resolver diez problemas abiertos de matemáticas con décadas de antigüedad

El 1 de agosto, OpenAI publicó un informe afirmando que su próximo modelo, denominado internamente Astra (aún no disponible), había obtenido nuevos resultados sobre diez problemas abiertos diferentes en matemáticas. (No, no son los Problemas del Milenio, pero aun así son de gran calado.)

Lo destacable: estas soluciones no son avances incrementales; son resoluciones completas, verificadas con Lean. (Lean es un lenguaje de programación y asistente de demostraciones que obliga a detallar cada paso de un argumento matemático en un formato legible por máquina.) 

Es mucho de asimilar de golpe. En este artículo, he organizado los problemas por área y explico, a alto nivel, qué ha pasado, qué podría implicar esto para las matemáticas como disciplina y qué más podemos inferir sobre Astra.

¿Cuáles son los diez problemas?

Aquí tienes cada resultado, en términos sencillos, junto con el área específica de matemáticas o informática a la que pertenece.

Grupos no sóficos

Área: Teoría de grupos

Astra proporcionó una construcción explícita de un grupo que no puede aproximarse, por muy de cerca que se intente, mediante estructuras finitas grandes —cerrando una cuestión abierta desde que se introdujo el concepto de grupo \"sófico\" en 1999. La construcción viene acompañada de una prueba de que ninguna sucesión de aproximaciones finitas puede funcionar nunca, formalizada en Lean para que la lógica pueda comprobarse de forma mecánica.

Wikipedia ya se ha actualizado:

Empaquetamiento de esferas

Área: Geometría de altas dimensiones

La pregunta es cuán densamente se pueden apilar esferas idénticas y no superpuestas a medida que crece el número de dimensiones. Astra demostró un techo más ajustado para esa densidad en altas dimensiones, la primera mejora de este límite concreto desde 1978. No aporta un mejor método de empaquetamiento —acota cuán bueno podría llegar a ser cualquier método futuro.

Códigos binarios y esféricos

Área: Teoría de la codificación

Los códigos de corrección de errores funcionan manteniendo los mensajes válidos lo bastante separados como para que pequeños fallos no conviertan uno en otro. Astra demostró límites mucho más estrictos (mejoras exponenciales) sobre cuántos mensajes de este tipo pueden existir para una distancia mínima dada, con un resultado análogo para puntos distribuidos en una esfera de alta dimensión.

Conjetura de rigidez de Connes

Área: Álgebras de operadores

Alain Connes conjeturó que ciertos grupos podrían reconstruirse siempre de forma única a partir de una estructura algebraica, llamada álgebra de von Neumann, construida a partir de ellos. Astra refutó esto produciendo dos grupos genuinamente distintos que dan lugar a la misma álgebra, mostrando que la reconstrucción no siempre es uno a uno.

Complejidad de circuitos aritméticos

Área: Teoría de la complejidad computacional

El \"permanente\", un único número calculado a partir de una rejilla de números, es costoso de computar, y los teóricos de la complejidad quieren conocer el mínimo número de pasos aritméticos que cualquier método podría necesitar. Astra demostró una nueva y más fuerte cota inferior para ese mínimo —un tipo de resultado notoriamente difícil de mover siquiera un ápice.

Repetición paralela cuántica

Área: Teoría de la complejidad cuántica

La teoría clásica dice que hacer que dos jugadores que no se comunican repitan muchas veces en paralelo un juego difícil vuelve exponencialmente menos probable que el engaño tenga éxito. Astra demostró que la misma garantía se mantiene incluso cuando los jugadores comparten entrelazamiento cuántico, extendiendo un principio clásico fundamental al ámbito cuántico.

Problema del vector más cercano

Área: Criptografía basada en retículas

Dada una rejilla repetida de puntos (una retícula) y una ubicación objetivo, este problema pide el punto de la rejilla más cercano —un problema que se cree muy difícil en altas dimensiones, razón por la que sustenta parte del cifrado resistente a la computación cuántica. Astra demostró que incluso aproximar la respuesta, dentro de un factor polinómico específico, sigue siendo demostrablemente difícil, reforzando la criptografía construida sobre él.

Conjetura de volumen de Ehrhart

Área: Geometría discreta y convexa

Para una forma convexa cuyo único punto interior de la rejilla se sitúa exactamente en su centro de masas, los matemáticos querían conocer el mayor volumen posible que podría tener en cualquier dimensión dada. Astra calculó ese volumen máximo para cada dimensión, resolviendo la conjetura en toda su generalidad.

Números de Ramsey multicolor

Área: Teoría de Ramsey / combinatoria

Con suficiente gente y suficientes categorías de relación entre ellas, tarde o temprano estás garantizado de encontrar tres personas conectadas por la misma categoría. Astra demostró que el tamaño mínimo del grupo necesario crece más rápido que cualquier tasa exponencial fija a medida que aumentan las categorías, resolviendo el problema 183 de Erdős.

Conjeturas de números extremales

Área: Teoría extremal de grafos

Esta rama de las matemáticas pregunta cuántas conexiones puede tener una red evitando aún ciertos patrones pequeños prohibidos. Astra resolvió dos conjeturas relacionadas aquí, correspondientes a los problemas 146 y 180 de Erdős, acotando con precisión cuán densas pueden ser tales redes antes de que esos patrones sean inevitables.

Cada uno de estos problemas llevaba abierto al menos una década; varios llevaban más de treinta años, incluidos problemas en el lado de la informática teórica en los que han trabajado ganadores del Premio Turing.

Espera, ¿un contraejemplo es la forma \"fácil\" de demostrar?

¿Quién soy yo para criticar aquí? Aun así, sé que es una duda o reacción común, especialmente entre quienes saben algo de matemáticas.

Lo que más se oye como crítica: varios de estos resultados son contraejemplos más que nueva teoría general. La idea importa porque un contraejemplo responde a una pregunta de sí/no pero no te dice, por sí mismo, por qué se rompe el patrón ni te entrega una familia de objetos similares para estudiar a continuación, mientras que algo como un teorema de clasificación o una nueva técnica abre más puertas.

Diría que esta crítica se sostiene en general, pero no sirve para descartar en bloque todo este conjunto de problemas. Primero, el resultado de los grupos no sóficos no es un pequeño ajuste sobre algo que casi funcionaba —es la primera construcción de su clase tras 27 años sin ninguna, y se espera que la técnica detrás de ella se generalice para encontrar otras.

Segundo, varios de los otros nueve resultados, incluido el límite de empaquetamiento de esferas y la dureza del CVP, no son contraejemplos en absoluto; son mejoras directas de cotas existentes. 

Lo que sigue abierto

Hay algunas cosas que conviene seguir de cerca a medida que la comunidad vaya diseccionando esto durante los próximos días, semanas y meses:

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• Todavía no hay revisión por pares. Los resultados están verificados en Lean y revisados de forma informal por matemáticos que han visto los preprints, pero ninguno ha pasado aún por un proceso de revista con arbitraje. 
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• La autoría aún se está negociando. OpenAI dice asumir la responsabilidad de los manuscritos y las formalizaciones en Lean, mientras atribuye los argumentos matemáticos en sí al modelo. La reproducción independiente del proceso (en contraposición a la verificación de las pruebas) es difícil por ahora.
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Qué significa esto para las matemáticas

El cambio más inmediato afecta a en qué podrían dedicar realmente su tiempo los matemáticos. Si un problema abierto bien planteado puede entregarse a un modelo y comprobarse en Lean, el cuello de botella pasa de \"¿puede alguien resolver esto?\" a \"¿hemos hecho la pregunta adecuada y la hemos formalizado correctamente?\". La habilidad de plantear un buen problema y saber cuál merece la pena atacar es algo que se desarrolla con experiencia. 

También hay una cuestión latente de financiación y credenciales. Las ayudas a la investigación, las plazas permanentes y los premios se han construido históricamente en torno a la escasez: estos problemas eran lo bastante difíciles como para que resolver uno dijera algo del autor. Si los resultados asistidos por IA se vuelven rutinarios, el campo necesitará nuevas formas de señalar qué es realmente difícil frente a lo que ahora está al alcance con unos miles de dólares en inferencia. Por supuesto, la persona media no comprende del todo estos problemas. Quienes sí tienen formación, sí, y eso no cambia. Así que el conocimiento matemático es más valioso que nunca. 

Cómo está reaccionando la gente

Las reacciones en redes sociales se dividen menos sobre si las pruebas cuadran y más sobre de qué son evidencia.

Algunos ven en el propio ritmo la noticia: diez problemas con décadas a sus espaldas resueltos de golpe, en campos no relacionados, más rápido de lo que los expertos pueden revisarlos. Una pregunta para el futuro: \"¿Seremos capaces de ponernos al día para comprobar todo esto?\"

Otros replican que esto dice menos de la IA en general de lo que parece. Las matemáticas son un dominio raro en el que el trabajo de un modelo puede comprobarse de forma automática y completa. La mayoría de problemas del mundo real no ofrecen ese tipo de clave de respuestas incorporada. Desde esa perspectiva, el logro es real, pero quizá diga más de que las matemáticas se prestan excepcionalmente bien a la IA.

Una tercera línea de comentarios: una demostración correcta que nadie ha auditado o asimilado por completo aún no se ha entendido, solo se ha verificado. Descubrir un teorema y comprender qué significa, en esta visión, son dos tareas distintas.

Reflexiones finales

Los matemáticos señalan que el resultado de los grupos no sóficos parece sólido: una cuestión abierta de décadas en teoría de grupos, cerrada mediante una construcción explícita que los especialistas se están tomando muy en serio. Los otros nueve resultados, en conjunto, representan un lote amplio y técnicamente sustancial de progreso en matemáticas puras.

Lo que aún no ha ocurrido es la parte más lenta: revisión por pares, reproducción del proceso de búsqueda y que el campo empiece realmente a construir sobre estos resultados. Esa parte lleva más que una entrada de blog, y será la que nos diga de verdad cuán grande ha sido esto. Te mantendremos al día.