El próximo modelo de OpenAI, Astra, acaba de resolver diez problemas abiertos de matemáticas con décadas de antigüedad

El 1 de agosto, OpenAI publicó un informe afirmando que su próximo modelo, llamado internamente Astra, había obtenido nuevos resultados en diez problemas abiertos distintos de matemáticas. (No, no son los del Millennium Prize, pero aun así son de gran calado.)

Lo destacable: estas soluciones no son un avance incremental; son resoluciones completas, verificadas con Lean. (Lean es un lenguaje de programación y asistente de demostraciones que obliga a detallar cada paso de un argumento matemático en un formato legible por máquina.) 

Es mucha información de golpe. En este artículo, he organizado los problemas por áreas y explico a grandes rasgos qué ha pasado, qué podría implicar para las matemáticas como disciplina y qué más podemos deducir sobre Astra.

¿Cuáles son los diez problemas?

Aquí tienes cada resultado, explicado en términos sencillos, junto con el área concreta de matemáticas o informática teórica a la que pertenece.

Grupos no sóficos

Área: Teoría de grupos

Astra produjo una construcción explícita de un grupo que no puede aproximarse, por muy de cerca que se intente, mediante estructuras finitas grandes, zanjando una cuestión abierta desde que se introdujo el concepto de grupo \"sófico\" en 1999. La construcción va acompañada de una demostración de que ninguna sucesión de aproximaciones finitas puede funcionar jamás, formalizada en Lean para que la lógica pueda comprobarse de forma mecánica.

Wikipedia ya se ha actualizado:

Empaquetamiento de esferas

Área: Geometría de alta dimensión

La pregunta es cuán densamente se pueden empaquetar esferas idénticas y no superpuestas a medida que crece el número de dimensiones. Astra demostró un techo más ajustado para esa densidad en dimensiones altas, la primera mejora de esta cota concreta desde 1978. No aporta un método de empaquetamiento mejor: acota cuán bueno podría llegar a ser cualquier método futuro.

Códigos binarios y esféricos

Área: Teoría de códigos

Los códigos de corrección de errores funcionan manteniendo los mensajes válidos lo suficientemente separados como para que pequeños fallos no conviertan uno en otro. Astra demostró límites mucho más estrictos (mejoras exponenciales) sobre cuántos mensajes de este tipo pueden existir para una distancia mínima dada, con un resultado equivalente para puntos distribuidos sobre una esfera de alta dimensión.

Conjetura de rigidez de Connes

Área: Álgebras de operadores

Alain Connes conjeturó que ciertos grupos podían reconstruirse siempre de forma única a partir de una estructura algebraica, llamada álgebra de von Neumann, construida a partir de ellos. Astra rebatió esto produciendo dos grupos genuinamente distintos que dan lugar a la misma álgebra, mostrando que la reconstrucción no siempre es biyectiva.

Complejidad de circuitos aritméticos

Área: Teoría de la complejidad computacional

El \"permanente\", un único número calculado a partir de una rejilla de números, es costoso de computar, y los teóricos de la complejidad quieren conocer el número mínimo de pasos aritméticos que cualquier método podría necesitar. Astra demostró una nueva cota inferior, más fuerte, para ese mínimo, un tipo de resultado notoriamente difícil de mover.

Repetición paralela cuántica

Área: Teoría de la complejidad cuántica

La teoría clásica dice que hacer que dos jugadores que no se comunican repitan muchas veces en paralelo un juego difícil hace que hacer trampas sea exponencialmente menos probable. Astra demostró que la misma garantía se mantiene incluso cuando los jugadores comparten entrelazamiento cuántico, extendiendo un principio clásico fundamental al ámbito cuántico.

Problema del vector más cercano

Área: Criptografía basada en retículos

Dada una rejilla repetitiva de puntos (un retículo) y una ubicación objetivo, este problema pide el punto de la rejilla más cercano, un problema que se cree muy difícil en altas dimensiones y que sustenta parte del cifrado resistente a la computación cuántica. Astra demostró que incluso aproximar la respuesta, dentro de un factor polinómico concreto, sigue siendo demostrablemente difícil, reforzando la criptografía que se apoya en él.

Conjetura del volumen de Ehrhart

Área: Geometría discreta y convexa

Para una figura convexa cuyo único punto interior de la rejilla se sitúa exactamente en su centro de masas, los matemáticos querían saber el mayor volumen posible que puede tener en una dimensión dada. Astra determinó ese volumen máximo para cualquier dimensión, resolviendo la conjetura con total generalidad.

Números de Ramsey multicolor

Área: Teoría de Ramsey / combinatoria

Con suficiente gente y suficientes categorías de relación entre ellas, tarde o temprano estás condenado a encontrar tres personas todas conectadas por la misma categoría. Astra demostró que el tamaño mínimo del grupo necesario crece más rápido que cualquier tasa exponencial fija a medida que aumentan las categorías, resolviendo el problema 183 de Erdős.

Conjeturas de números extremales

Área: Teoría extremal de grafos

Esta rama de las matemáticas pregunta cuántas conexiones puede tener una red evitando aún ciertos patrones pequeños prohibidos. Astra resolvió dos conjeturas relacionadas aquí, correspondientes a los problemas 146 y 180 de Erdős, acotando cuán densas pueden ser esas redes antes de que esos patrones se vuelvan inevitables.

Cada uno de estos problemas llevaba abierto al menos una década; varios llevaban treinta años o más, incluidos problemas en el lado de la informática teórica trabajados por ganadores del Premio Turing.

Espera, ¿un contraejemplo es la vía \"fácil\" de demostrar algo?

No soy quién para restarle mérito, pero sé que esta es una duda o reacción habitual, sobre todo entre quienes saben algo de matemáticas.

La crítica más común es: varios de estos resultados son contraejemplos más que teoría general nueva. Esto importa porque un contraejemplo responde a una pregunta de sí/no, pero no te dice por sí mismo por qué se rompe el patrón ni te entrega una familia de objetos similares para estudiar después; mientras que algo como un teorema de clasificación o una técnica nueva abre más puertas.

Diría que esta crítica se sostiene en general, pero no sirve para descalificar en bloque todo este conjunto de problemas. Primero, el resultado sobre grupos no sóficos no es un pequeño ajuste sobre un casi-acierto previo: es la primera construcción de su clase tras 27 años sin ninguna, y se espera que la técnica detrás de ella se generalice para encontrar otras.

Segundo, varios de los otros nueve resultados, como la cota de empaquetamiento de esferas y la dureza del CVP, no son contraejemplos; son mejoras directas de cotas existentes. 

Lo que sigue en el aire

Hay varias cosas a vigilar a medida que el campo vaya analizando esto en los próximos días, semanas y meses:

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• Todavía sin revisión por pares. Están verificadas con Lean y han sido revisadas informalmente por matemáticos que vieron los preprints, pero ninguna ha pasado aún por un proceso de revista con arbitraje. 
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• La autoría sigue en negociación. OpenAI afirma asumir la responsabilidad de los manuscritos y las formalizaciones en Lean, mientras atribuye los argumentos matemáticos en sí al modelo. La replicación independiente del proceso (en contraposición a la verificación de las pruebas) es difícil de realizar por ahora.
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Qué significa esto para las matemáticas

El cambio más inmediato es en qué podrían dedicar realmente su tiempo los matemáticos. Si un problema abierto bien planteado puede entregarse a un modelo y comprobarse en Lean, el cuello de botella pasa de \"¿alguien puede resolver esto?\" a \"¿hemos formulado bien la pregunta y la hemos formalizado correctamente?\". La habilidad de plantear un buen problema y saber cuál merece la pena atacar es una competencia real que los matemáticos desarrollan con la experiencia. 

También hay un debate latente sobre financiación y credenciales. Las subvenciones de investigación, las evaluaciones para la titularidad y los premios históricamente se han construido alrededor de la escasez: estos problemas eran lo bastante difíciles como para que resolver uno dijera algo sobre quien lo resolvía. Si los resultados asistidos por IA se vuelven habituales, el campo necesitará nuevas formas de señalar qué es realmente difícil frente a lo que ahora está al alcance de unos miles de dólares en inferencia. Por supuesto, la mayoría de la gente no entiende a fondo estos problemas. Quienes tienen formación de verdad sí, y eso no cambia. Así que el conocimiento matemático es más valioso que nunca. 

Cómo está reaccionando la gente

En redes sociales, el debate se divide menos sobre si las pruebas son correctas y más sobre qué demuestran realmente.

Algunos ven en el propio ritmo la gran noticia: diez problemas con décadas de antigüedad resueltos a la vez, en áreas no relacionadas, más rápido de lo que los expertos pueden revisarlos. Una pregunta para el futuro: \"¿Seremos capaces de ponernos al día para comprobar todo esto?\"

Otros responden que esto dice menos sobre la IA en general de lo que parece. Las matemáticas son un ámbito raro en el que el trabajo de un modelo puede comprobarse automática y completamente. La mayoría de problemas del mundo real no ofrecen ese tipo de clave de respuestas incorporada y automática. Desde ese punto de vista, el logro es real, pero quizá diga más sobre que las matemáticas se adaptan especialmente bien a la IA.

Una tercera línea de comentarios: una demostración correcta que nadie ha auditado o asimilado por completo todavía no se ha entendido; solo se ha verificado. Descubrir un teorema y comprender qué significa, desde este punto de vista, son dos tareas distintas.

Reflexión final

Matemáticos señalan que el resultado sobre grupos no sóficos parece sólido: una pregunta abierta de décadas en teoría de grupos, resuelta por una construcción explícita que la comunidad especializada se está tomando en serio. Los otros nueve resultados, en conjunto, suponen un avance amplio y técnicamente sustancial en matemáticas puras.

Lo que aún no ha ocurrido es la parte más lenta: la revisión por pares, la replicación del proceso de búsqueda y que el campo empiece realmente a construir sobre estos resultados. Esa fase lleva más que una entrada de blog, y es la que de verdad nos dirá cuán grande ha sido esto. Te mantendremos al día.