อนุกรมเรขาคณิต: สูตร เงื่อนไขการลู่เข้า และตัวอย่าง

เคยสงสัยไหมว่า 1 + 2 + 4 + 8 + ... จะเขียนให้อยู่ในสูตรเดียวที่กระชับได้อย่างไร

อนุกรมคือผลบวกของพจน์จากลำดับ เมื่อพจน์แต่ละพจน์เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) ด้วยการคูณด้วยจำนวนเดิมซ้ำๆ เราเรียกว่าอนุกรมเรขาคณิต ค่าคงที่ที่คูณซ้ำนี้เรียกว่าอัตราส่วนร่วม และนั่นคือสิ่งที่ทำให้องค์ประกอบทั้งหมดทำงานได้

อนุกรมเรขาคณิตพบได้ทั่วไป ตั้งแต่การผ่อนชำระเงินกู้ การเสื่อมถอยของสัญญาณ ไปจนถึงการวิเคราะห์อัลกอริทึม การรู้วิธีจัดการกับมันเป็นทักษะคณิตศาสตร์สำคัญสำหรับงานด้านข้อมูล

บทความนี้จะสรุปสูตรสำคัญ อธิบายว่าเมื่อใดที่อนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวกจำกัด และพาไล่ดูตัวอย่างจริง

ถ้าพื้นฐาน Python แน่น ก็พร้อมต่อยอดแล้ว ลงทะเบียนเรียนคอร์สความยาว 16 ชั่วโมง Machine Learning Fundamentals in Python ได้เลย

อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร?

อนุกรมเรขาคณิตคือผลบวกของพจน์ที่แต่ละพจน์ได้มาจากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยอัตราส่วนคงที่

ตัวอย่างเช่น 1 + 2 + 4 + 8 + 16 แต่ละพจน์มีค่าเป็นสองเท่าของพจน์ก่อนหน้า ตัวคูณนั้นเองที่ทำให้เป็นเรขาคณิต

มีสองค่าสำคัญที่กำหนดอนุกรมเรขาคณิตทุกชุด:

• พจน์แรก (a) - ค่าตั้งต้นของอนุกรม
• อัตราส่วนร่วม (r) - ตัวคูณคงที่ที่ใช้กับแต่ละพจน์เพื่อได้พจน์ถัดไป

ถ้า a = 1 และ r = 2 จะได้ 1 + 2 + 4 + 8 + ... ถ้า a = 3 และ r = 0.5 จะได้ 3 + 1.5 + 0.75 + ... โครงสร้างเหมือนเดิมเสมอ

นี่แหละใจความสำคัญ อนุกรมเรขาคณิตเป็นเพียงการคูณซ้ำ โดยเริ่มจาก a และสเกลด้วย r ในแต่ละขั้น

ลำดับเรขาคณิต vs อนุกรมเรขาคณิต

สองคำนี้มักถูกสลับกัน แต่ต่างกันอธิบายได้ในประโยคเดียว

ลำดับเรขาคณิตคือรายการตัวเลข: 1, 2, 4, 8, 16 ส่วนอนุกรมเรขาคณิตคือผลรวมของมัน: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

ตัวเลขเหมือนกันทุกประการ แต่กระบวนการต่างกัน ลำดับคือการเรียงรายการ อนุกรมคือการบวก

สูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัดพจน์

ผลบวกของพจน์แรก n พจน์ของอนุกรมเรขาคณิตนิยามด้วยสูตรนี้:

สูตรผลบวกของ n พจน์แรก

โดยที่:

• a = พจน์แรก

• r = อัตราส่วนร่วม

• n = จำนวนพจน์

มาลองตัวอย่างง่ายๆ สมมติอยากบวกรวม 4 พจน์แรกของ 1 + 2 + 4 + 8 ที่นี่ a = 1, r = 2 และ n = 4

ตัวอย่างอนุกรมเรขาคณิตแบบง่าย

ตรวจด้วยมือได้: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 ใช้สูตรก็ได้ผลในขั้นตอนเดียว ซึ่งสำคัญเมื่อ n ใหญ่ขึ้น

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์และการลู่เข้า

นี่คือแนวคิดที่ชวนงงเล็กน้อย: อนุกรมอนันต์อาจมีผลบวกจำกัดได้

พิจารณา 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ... แม้จะบวกต่อไปได้ไม่รู้จบ แต่ผลรวมไม่เกิน 2 เพราะแต่ละพจน์มีค่าน้อยลงพอจนผลรวมโน้มเข้าใกล้ค่าคงที่แทนที่จะโตไม่สิ้นสุด

พฤติกรรมนี้เรียกว่าการลู่เข้า และเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขเดียว: |r| < 1

เมื่ออัตราส่วนร่วมอยู่ระหว่าง -1 และ 1 (ไม่รวมปลาย) พจน์แต่ละพจน์จะหดเล็กลงตามลำดับ พจน์เข้าใกล้ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าการบวกเพิ่มมีส่วนต่อผลรวมลดลงเรื่อยๆ ผลรวมจึงนิ่ง

ถ้า |r| ≥ 1 พจน์จะไม่หด อาจคงเดิมหรือโตขึ้น และผลรวมก็จะเพิ่มต่อไป นั่นคืออนุกรมลู่ออก ซึ่งไม่มีผลบวกจำกัด

จงสังเกตเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์รอบ r ด้วย อัตราส่วน -0.5 ก็ลู่เข้าเช่นกัน เพราะสัญลักษณ์สลับบวก–ลบแต่ขนาดยังหดเข้าใกล้ศูนย์

สูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์

เมื่อ |r| < 1 สามารถหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ด้วยสูตรเดียว:

สูตรอนุกรมเรขาคณิตอนันต์

โดยที่ a คือพจน์แรก และ r คืออัตราส่วนร่วม แค่นั้นเอง — ไม่ต้องมี n เพราะอนุกรมไม่สิ้นสุด

ใช้ตัวอย่างจากส่วนก่อน: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ... ที่นี่ a = 1 และ r = 0.5

ตัวอย่างอนุกรมเรขาคณิตอนันต์

ผลบวกอนันต์มีค่าเท่ากับ 2 พอดี จะบวกต่อไปเท่าไรก็ไม่เกินค่านี้

สำคัญมากว่าสูตรนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ |r| < 1 หากอนุกรมลู่ออก สูตรจะใช้ไม่ได้และให้ผลลัพธ์ที่ไร้ความหมาย ตรวจเงื่อนไขการลู่เข้าทุกครั้งก่อนใช้สูตร

ทำไมการลู่เข้าจึงสำคัญ

ไม่ใช่อนุกรมอนันต์ทุกชุดจะมีผลบวกจำกัด บางชุดเติบโตต่อเนื่อง

พิจารณา 1 + 2 + 4 + 8 + ... ที่นี่ r = 2 แปลว่าแต่ละพจน์ใหญ่กว่าพจน์ก่อนหน้า ผลรวมไม่มีขีดจำกัด โตไม่หยุด นี่คืออนุกรมลู่ออก และการใช้สูตรผลบวกอนันต์กับมันจะให้ผลลัพธ์ที่ไร้ความหมาย

กรณี r = 1 ก็เช่นกัน อนุกรม 3 + 3 + 3 + 3 + ... สะสมต่อไปเรื่อยๆ จึงไม่มีผลบวกจำกัด

ดังนั้นการตรวจว่า |r| < 1 ก่อนใช้สูตรจึงเป็นเรื่องจำเป็น หากอนุกรมลู่ออก สูตรไม่ได้พังแบบเห็นชัด — มันจะให้ตัวเลขที่ดูสมเหตุสมผลแต่ผิดทั้งหมด

อนุกรมเรขาคณิตใน Python

มาลองแปลงสิ่งที่กล่าวไปเป็นโค้ด จะเขียนทั้งสูตรผลบวกแบบจำกัดและแบบอนันต์ ตรวจสอบผลลัพธ์ และแสดงภาพว่าผลบวกระหว่างทางเปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อเพิ่มพจน์

อนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัด

นี่คือโค้ด Python เท่าที่ต้องใช้ในการใช้สูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัด:

def finite_geometric_sum(a, r, n):
    if r == 1:
        return a * n
    return a * (1 - r**n) / (1 - r)

result = finite_geometric_sum(a=1, r=2, n=4)
print(f"Finite sum (a=1, r=2, n=4): {result}")

อนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัดใน Python

อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์

แนวคิดคล้ายกันสำหรับอนุกรมอนันต์ เพียงต้องโยนข้อผิดพลาดเมื่อเงื่อนไขถูกละเมิด:

def infinite_geometric_sum(a, r):
    if abs(r) >= 1:
        raise ValueError(f"Series diverges for |r| >= 1. Got r={r}.")
    return a / (1 - r)

# Example: 1 + 0.5 + 0.25 + ... (a=1, r=0.5)
result = infinite_geometric_sum(a=1, r=0.5)
print(f"Infinite sum (a=1, r=0.5): {result}")

อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์ใน Python

ฟังก์ชันจะยกข้อผิดพลาดเมื่อ |r| >= 1 เพื่อป้องกันไม่ให้ได้คำตอบผิดโดยไม่รู้ตัว

การแสดงภาพการลู่เข้า

ส่วนนี้น่าสนใจ สำหรับอนุกรมที่ลู่เข้า ผลบวกระหว่างทางควรเข้าใกล้ค่าขีดจำกัดตามทฤษฎีเมื่อ n เพิ่มขึ้น มาลองพล็อตกัน

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

COLOR_DARK = "#1a1a2e"
COLOR_GREEN = "#03EF62"
COLOR_LIGHT_GRAY = "#cccccc"

a, r = 1, 0.5
n_terms = 30
theoretical_limit = infinite_geometric_sum(a, r)

# Compute partial sums
terms = a * r ** np.arange(n_terms)
partial_sums = np.cumsum(terms)

# Plot
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5), facecolor=COLOR_DARK)
ax.set_facecolor(COLOR_DARK)

ax.plot(range(1, n_terms + 1), partial_sums, color=COLOR_GREEN, linewidth=2, label="Partial sums")
ax.axhline(y=theoretical_limit, color=COLOR_LIGHT_GRAY, linewidth=1, linestyle="--", label=f"Limit = {theoretical_limit}")

ax.scatter(range(1, n_terms + 1), partial_sums, color=COLOR_LIGHT_GRAY, s=30, zorder=3)

# Style
for spine in ax.spines.values():
    spine.set_visible(False)
ax.spines["bottom"].set_visible(True)
ax.spines["bottom"].set_color(COLOR_LIGHT_GRAY)
ax.spines["bottom"].set_alpha(0.3)

ax.tick_params(colors=COLOR_LIGHT_GRAY)
ax.xaxis.label.set_color(COLOR_LIGHT_GRAY)
ax.yaxis.label.set_color(COLOR_LIGHT_GRAY)
ax.set_xlabel("Number of terms")
ax.set_ylabel("Partial sum")
ax.set_title("Convergence of geometric series (a=1, r=0.5)", color=COLOR_LIGHT_GRAY, pad=15)

legend = ax.legend(facecolor=COLOR_DARK, edgecolor=COLOR_LIGHT_GRAY, labelcolor=COLOR_LIGHT_GRAY)
legend.get_frame().set_alpha(0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

ภาพการลู่เข้าของอนุกรม

ผลบวกระหว่างทางมุ่งไปที่ 2.0 และแบนราบลง ซึ่งตรงกับภาพของการลู่เข้าในทางปฏิบัติ พจน์ที่เพิ่มเข้ามาแต่ละพจน์มีส่วนต่อน้อยกว่าพจน์ก่อนหน้า และกราฟเข้าใกล้ค่าขีดจำกัดตามทฤษฎี

การประยุกต์ใช้อนุกรมเรขาคณิตที่พบบ่อย

อนุกรมเรขาคณิตใช้จำลองรูปแบบจริงที่พบในการเงิน ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์

ด้านการเงินเป็นตัวอย่างที่คุ้นเคย เมื่อคุณลงทุนด้วยอัตราดอกเบี้ยคงที่ ยอดคงเหลือในแต่ละงวดเท่ากับงวดก่อนหน้าคูณด้วยตัวคูณคงที่ มูลค่ารวมของผลตอบแทนทบต้นตลอดเวลามีโครงสร้างเป็นอนุกรมเรขาคณิต โครงสร้างเดียวกันนี้ใช้กับการผ่อนชำระเงินกู้และการคำนวณเงินงวด

ฟิสิกส์ใช้อนุกรมเรขาคณิตเพื่อจำลองกระบวนการเสื่อมถอย การสลายกัมมันตรังสี การลดทอนสัญญาณ และการสูญเสียพลังงาน ล้วนเป็นแบบที่แต่ละขั้นลดลงด้วยอัตราส่วนคงที่ จะมองว่าปริมาณสารที่สลายไปตลอดกาลเวลาเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่ลู่เข้าก็ได้

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ อนุกรมเรขาคณิตปรากฏในการวิเคราะห์อัลกอริทึม อัลกอริทึมแบบเวียนเกิดที่ลดขนาดปัญหาลงครึ่งหนึ่งทุกขั้น เช่น binary search หรือ merge sort จะเกิดอนุกรมเรขาคณิตเมื่อรวมงานทั้งหมดทุกระดับ นอกจากนี้ยังพบในแผนการจองหน่วยความจำและกลยุทธ์กำหนดขนาดโครงสร้างข้อมูลที่ความจุเพิ่มขึ้นด้วยตัวคูณคงที่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับอนุกรมเรขาคณิต

ส่วนใหญ่เกิดจากการตีความนิยามผิดไม่กี่ข้อและการใช้สูตรผิดบริบทหนึ่งข้อ

สับสนระหว่างลำดับกับอนุกรม

พบได้บ่อยที่สุด ลำดับคือรายการ อนุกรมคือผลบวก ถ้ามีคนถามหา "อนุกรมเรขาคณิต" แต่คุณไล่พจน์เรียงแทนการบวก ก็ผิดโจทย์ ความต่างนี้สำคัญเป็นพิเศษเมื่อคำตอบคาดหวังเป็นจำนวนเดียว

ใช้สูตรผลบวกอนันต์เมื่อ |r| ≥ 1

นี่คือข้อผิดพลาดที่มาแบบเงียบๆ สูตร S = a / (1 - r) ใช้ได้เฉพาะเมื่ออนุกรมลู่เข้า หากตั้ง r = 2 แล้วได้ตัวเลขดูดี ตัวเลขนั้นก็ไร้ความหมาย ตรวจ |r| < 1 เสมอก่อน

ระบุอัตราส่วนร่วมผิด

ข้อนี้ยากกว่าที่คิด อัตราส่วน r คือค่าที่ใช้คูณเพื่อได้พจน์ถัดไป — ไม่ใช่ความต่างระหว่างพจน์ และไม่ใช่พจน์แรกหารพจน์ที่สอง สำหรับ 3 + 6 + 12 + 24 อัตราส่วนคือ 2 ไม่ใช่ 3 ให้หารพจน์ใดๆ ด้วยพจน์ก่อนหน้าเพื่อหา r และตรวจสองสามคู่เพื่อให้แน่ใจว่าค่าคงที่จริง

สรุป

อนุกรมเรขาคณิตคือการคูณซ้ำๆ แล้วนำมาบวกรวม แต่ละพจน์ตามจากพจน์ก่อนหน้าด้วยอัตราส่วนเดียวกัน ทำให้รูปแบบคาดเดาได้และสูตรตีความง่าย

เงื่อนไขการลู่เข้า — |r| < 1 — คือสิ่งที่ต้องจำ เป็นตัวแบ่งระหว่างอนุกรมที่มีผลบวกจำกัดที่มีความหมายกับอนุกรมที่โตไม่หยุด ถ้าตรวจผิด ผลลัพธ์ที่ได้ก็ไร้ความหมาย

ก็มีแค่นี้เอง มองหาอัตราส่วน ตรวจเงื่อนไขการลู่เข้า แล้วใช้สูตรที่ถูกต้อง เท่านั้น

ถ้าอนุกรมเรขาคณิตเป็นเรื่องง่าย ลองอ่านบล็อกล่าสุดของเรา Taylor Series: From Approximations to Optimization — คณิตอาจไม่ง่ายเท่า แต่คำอธิบายชัดเจนไม่แพ้กัน