Tutorial Scipy: Vektor dan Array (Aljabar Linear)

Hal-Hal Esensial dari Objek NumPy ndarray

Secara struktural, array tidak lain adalah pointer. Ini adalah kombinasi dari alamat memori, tipe data, bentuk, dan strides. Ini berisi informasi tentang data mentah, bagaimana menemukan sebuah elemen dan bagaimana menafsirkan sebuah elemen.

Alamat memori dan strides penting ketika Anda menggali lebih dalam detail tingkat rendah dari array, sementara tipe data dan bentuk adalah hal yang pasti harus diketahui dan dipahami pemula. Dua atribut lain yang mungkin ingin Anda pertimbangkan adalah data dan size, yang memungkinkan Anda mengumpulkan lebih banyak informasi tentang array Anda.

Segarkan penggunaan atribut ndarray pada potongan DataCamp Light berikut. Array myArray sudah dimuat. Anda bisa memeriksanya dengan mengetikkannya di shell IPython dan menekan ENTER.

Anda akan melihat pada hasil kode di potongan kode di atas bahwa tipe data myArray adalah int64. Saat Anda intens bekerja dengan array, Anda pasti ingat bahwa ada cara untuk mengonversi array dari satu tipe data ke tipe lain dengan metode astype().

Namun demikian, saat Anda menggunakan SciPy dan NumPy bersama, Anda mungkin juga menemukan fungsi-fungsi NumPy untuk penanganan tipe berikut sangat berguna, terutama saat bekerja dengan bilangan kompleks:

Coba tambahkan pemanggilan print() untuk melihat hasil dari kode di atas. Lalu, Anda akan melihat bahwa bilangan kompleks memiliki bagian real dan imajiner. Fungsi np.real() dan np.imag() dirancang untuk mengembalikan bagian-bagian ini kepada pengguna.

Alternatifnya, Anda juga dapat menggunakan np.cast untuk mengubah objek array ke tipe data lain, seperti float pada contoh di atas.

Satu-satunya hal yang cukup menonjol dari sisi kesulitan pada potongan kode di atas adalah fungsi np.real_if_close(). Ketika Anda memberinya masukan kompleks, seperti myArray, Anda akan mendapatkan array real jika bagian kompleksnya mendekati nol. Bagian terakhir ini, “mendekati 0”, dapat Anda atur sendiri dengan argumen tol yang dapat Anda berikan ke fungsi. Bereksperimenlah dengan ambang batasnya untuk melihat apa yang terjadi!

Pembuatan Array

Anda sekarang telah melihat bagaimana memeriksa array dan melakukan penyesuaian pada tipe datanya, tetapi Anda belum secara eksplisit melihat cara membuat array. Anda seharusnya sudah tahu bahwa Anda dapat menggunakan np.array() untuk melakukannya, tetapi ada juga rutin lain untuk pembuatan array yang perlu Anda ketahui: np.eye() dan np.identity().

Fungsi np.eye() memungkinkan Anda membuat matriks persegi dengan dimensi yang sama dengan bilangan bulat positif yang Anda berikan sebagai argumen ke fungsi. Entri umumnya diisi dengan nol, hanya diagonal matriks yang diisi dengan angka satu. Fungsi np.identity() bekerja dan melakukan hal yang sama serta mengembalikan array identitas.

Namun, perhatikan bahwa np.eye() dapat mengambil argumen tambahan k yang dapat Anda tentukan untuk memilih indeks diagonal yang ingin Anda isi dengan angka satu.

Fungsi pembuatan array lain yang hampir pasti berguna saat Anda bekerja dengan matriks untuk aljabar linear adalah sebagai berikut:

• Fungsi np.arange() membuat array dengan nilai berjarak seragam antara dua angka. Anda dapat menentukan jarak antar elemen,
• Hal yang sama juga berlaku untuk np.linspace(), tetapi dengan fungsi ini Anda menentukan jumlah elemen yang Anda inginkan dalam array.
• Terakhir, fungsi np.logspace() juga membuat array dengan nilai berjarak seragam, tetapi kali ini pada skala logaritmik. Ini berarti jaraknya sekarang logaritmik: dua angka berjarak sama di antara logaritme kedua angka tersebut berbasis 10.

Fungsi-fungsi ini membuat array dalam bentuk kisi, yang dapat digunakan untuk membuat mesh grid, yang telah Anda baca sebelumnya di pos ini.

Catatan bahwa numpy sudah diimpor sebagai np pada potongan kode di bawah!

Sekarang setelah Anda menyegarkan ingatan dan tahu cara menangani tipe data array, saatnya membahas topik pengindeksan dan pemotongan (slicing).

Instal SciPy

Tentu saja pertama-tama Anda harus memastikan bahwa Anda telah menginstal Python. Kunjungi halaman ini jika Anda masih perlu melakukannya :) Jika Anda bekerja di Windows, pastikan Anda telah menambahkan Python ke variabel lingkungan PATH. Selain itu, jangan lupa menginstal package manager, seperti pip, yang akan memastikan Anda dapat menggunakan pustaka open-source Python.

Catatan bahwa versi Python 3 terbaru sudah menyertakan pip, jadi periksa ulang apakah Anda memilikinya dan jika ya, lakukan upgrade sebelum menginstal paket lainnya:

 pip install pip --upgrade pip --version

Tetapi hanya menginstal package manager tidak cukup; Anda juga perlu mengunduh wheel untuk pustakanya: pergi ke sini untuk mendapatkan SciPy wheel Anda. Setelah diunduh, buka terminal pada direktori unduhan di PC Anda dan instal. Selain itu, Anda dapat memeriksa apakah instalasi berhasil dan mengonfirmasi versi paket yang Anda gunakan:

# Install the wheel install "scipy‑0.18.1‑cp36‑cp36m‑win_amd64.whl"# Confirm successful installimport scipy# Check package versionscipy.__version__

Setelah langkah-langkah ini, Anda siap jalan!

Tip: instal paket dengan mengunduh distribusi Anaconda Python. Ini cara mudah untuk cepat memulai, karena Anaconda tidak hanya menyertakan 100 paket Python, R, dan Scala terpopuler untuk data science, tetapi juga menyertakan beberapa lingkungan pengembangan kursus terbuka seperti Jupyter dan Spyder. Jika Anda ingin mulai bekerja dengan Jupyter Notebook, lihat tutorial Jupyter notebook ini.

Jika Anda belum mengunduhnya, pergi ke sini untuk mendapatkannya.

Vektor dan Matriks: Dasar-Dasar

Sekarang setelah Anda memastikan workspace siap, Anda akhirnya dapat mulai dengan aljabar linear di Python. Intinya, disiplin ini berkaitan dengan studi ruang vektor dan pemetaan linear yang ada di antaranya. Pemetaan linear ini dapat dideskripsikan dengan matriks, yang juga memudahkan perhitungan.

Ingat bahwa ruang vektor adalah konsep fundamental dalam aljabar linear. Ini adalah ruang di mana Anda memiliki kumpulan objek (vektor) dan di mana Anda dapat menambahkan atau menskalakan dua vektor tanpa membuat vektor hasil keluar dari ruang tersebut. Ingat juga bahwa vektor adalah baris (atau kolom) dari sebuah matriks.

Tetapi bagaimana ini bekerja di Python?

Anda dapat dengan mudah membuat vektor dengan fungsi np.array(). Demikian pula, Anda dapat memberikan struktur matriks pada setiap ndarray satu atau dua dimensi dengan perintah np.matrix() atau np.mat().

Cobalah pada potongan kode berikut:

Jadi array dan matriks sama, selain dari pemformatan?

Tidak persis. Ada beberapa perbedaan:

• Matriks bersifat 2-D, sementara array biasanya berdimensi n,
• Seperti yang sudah disiratkan fungsi di atas, matriks adalah subclass dari ndarray,
• Baik array maupun matriks memiliki .T(), tetapi hanya matriks yang memiliki .H() dan .I(),
• Perkalian matriks bekerja berbeda dari perkalian elemen demi elemen pada array, dan
• Selain itu, operasi ** memiliki hasil yang berbeda untuk matriks dan array

Saat bekerja dengan matriks, Anda terkadang memiliki matriks di mana sebagian besar elemennya nol. Matriks ini disebut “sparse matrix”, sedangkan yang sebagian besar elemennya bukan nol disebut “dense matrix”.

Hal ini tampak sepele, tetapi saat Anda bekerja dengan SciPy untuk aljabar linear, ini terkadang dapat membedakan modul yang Anda gunakan untuk menyelesaikan sesuatu. Secara lebih konkret, Anda dapat menggunakan scipy.linalg untuk matriks dense, tetapi saat bekerja dengan matriks sparse, Anda juga perlu mempertimbangkan modul scipy.sparse, yang juga memiliki scipy.sparse.linalg sendiri.

Untuk matriks sparse, ada cukup banyak opsi untuk membuatnya. Potongan kode di bawah mendaftar beberapa di antaranya:

Selain itu, ada juga beberapa fungsi lain yang dapat Anda gunakan untuk membuat matriks sparse: Block Sparse Row matrices dengan bsr_matrix(), matriks sparse format COOrdinate dengan coo_matrix(), matriks sparse penyimpanan DIAgonal dengan dia_matrix(), dan matriks sparse berbasis daftar tertaut per baris dengan lil_matrix().

Ada banyak opsi, tetapi mana yang harus Anda pilih jika Anda membuat matriks sparse sendiri?

Tidak sulit.

Pada dasarnya, ini bermuara pertama pada bagaimana Anda akan menginisialisasinya. Selanjutnya, pertimbangkan apa yang ingin Anda lakukan dengan matriks sparse Anda.

Secara lebih konkret, Anda dapat melalui daftar periksa berikut untuk memutuskan jenis matriks sparse yang ingin digunakan:

• Jika Anda berencana mengisi matriks dengan angka satu per satu, pilih coo_matrix() atau dok_matrix() untuk membuat matriks Anda.
• Jika Anda ingin menginisialisasi matriks dengan sebuah array sebagai diagonal, pilih dia_matrix() untuk menginisialisasi matriks Anda.
• Untuk matriks berbasis potongan (sliced-based), gunakan lil_matrix().
• Jika Anda menyusun matriks dari blok-blok matriks yang lebih kecil, pertimbangkan menggunakan bsr_matrix().
• Jika Anda ingin akses cepat ke baris dan kolom, konversi matriks Anda dengan menggunakan fungsi csr_matrix() dan csc_matrix(), masing-masing. Dua fungsi terakhir tidak ideal dipilih saat Anda perlu menginisialisasi matriks, tetapi saat melakukan perkalian, Anda pasti akan merasakan perbedaan kecepatannya.

Mudah sekali!

Nilai dan Vektor Eigen

Topik pertama yang akan Anda bahas adalah nilai dan vektor eigen.

Nilai eigen adalah cara baru untuk melihat ke inti sebuah matriks. Namun sebelum membahas lebih jauh, mari jelaskan terlebih dahulu apa itu vektor eigen. Hampir semua vektor berubah arah ketika dikalikan oleh sebuah matriks. Namun, vektor tertentu yang istimewa hasilnya searah dengan vektor yang merupakan hasil perkalian. Inilah vektor eigen.

Dengan kata lain, kalikan sebuah vektor eigen dengan matriks, maka vektor hasil perkalian tersebut sama dengan perkalian vektor eigen asli dengan \(\lambda\), nilai eigen: \[Ax = \lambda x. \]

Ini berarti nilai eigen memberi Anda informasi yang sangat berharga: ini memberi tahu apakah salah satu vektor eigen diregangkan, diciutkan, dibalik, atau dibiarkan tidak berubah — saat dikalikan oleh matriks.

Anda menggunakan fungsi eig() dari modul SciPy linalg untuk menyelesaikan masalah nilai dan vektor eigen biasa atau ters-general untuk matriks persegi.

Perhatikan bahwa fungsi eigvals() adalah cara lain untuk membongkar nilai eigen dari sebuah matriks.

Saat bekerja dengan matriks sparse, Anda dapat kembali ke modul scipy.sparse untuk menyediakan fungsi yang tepat guna menemukan nilai dan vektor eigen:

la, v = sparse.linalg.eigs(myMatrix,1)

Catatan bahwa kode di atas menentukan jumlah nilai dan vektor eigen yang harus diambil, yaitu 1.

Nilai dan vektor eigen adalah konsep penting dalam banyak teknik computer vision dan machine learning, seperti Principal Component Analysis (PCA) untuk reduksi dimensi dan EigenFaces untuk pengenalan wajah.

Singular Value Decomposition (SVD)

Selanjutnya, Anda perlu mengetahui SVD jika ingin benar-benar belajar data science. Singular value decomposition dari sebuah matriks \(A\) adalah dekomposisi atau faktorisasi \(A\) menjadi hasil kali tiga matriks: \(A = U * \Sigma * V^t\).

Ukuran masing-masing matriks adalah sebagai berikut jika Anda tahu bahwa matriks \(A\) berukuran \(M\) x \(N\):

• Matriks \(U\) berukuran \(M\) x \(M\)
• Matriks \(V\) berukuran \(N\) x \(N\)
• Matriks \(\Sigma\) berukuran \(M\) x \(N\)

Tanda \(*\) menunjukkan bahwa matriks dikalikan dan \(^t\) yang Anda lihat pada \(V^t\) berarti matriks ditranspos, yang berarti baris dan kolom dipertukarkan.

Sederhananya, singular value decomposition menyediakan cara untuk memecah sebuah matriks menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana dan bermakna. Bagian-bagian ini mungkin berisi sebagian data yang kita minati.

Catatan bahwa untuk matriks sparse, Anda dapat menggunakan fungsi sparse.linalg.svds() untuk melakukan dekomposisi.

Jika Anda baru di data science, dekomposisi matriks mungkin cukup tidak jelas: Anda mungkin belum langsung melihat kasus penggunaan untuk menerapkannya. Namun SVD berguna dalam banyak tugas, seperti kompresi data, pengurangan noise, dan analisis data. Berikutnya, Anda akan melihat bagaimana SVD dapat digunakan untuk mengompresi gambar:

# Import the necessary packagesimport numpy as npfrom scipy import linalgfrom skimage import dataimport matplotlib.pyplot as plt# Get an image from `skimage`img= data.camera()# Check number of singular valueslinalg.svdvals(img)# Singular Value DecompositionU, s, Vh = linalg.svd(img)# Use only 32 singular valuesA = np.dot(U[:,0:32],           np.dot(np.diag(s[0:32]), Vh[0:32,:]))fig = plt.figure(figsize=(8, 3))# Add a subplot to the figureax = fig.add_subplot(121)# Plot `img` on grayscaleax.imshow(img, cmap='gray')# Add a second subplot to the figureax2 = fig.add_subplot(122)# Plot `A` in the second subplotax2.imshow(A)# Add a titlefig.suptitle('Image Compression with SVD', fontsize=14, fontweight='bold')# Show the plotplt.show()

Yang akan memberi Anda hasil berikut:

Pertimbangkan juga contoh-contoh berikut di mana SVD digunakan:

• SVD sangat terkait dengan Principal Component Analysis (PCA), yang digunakan untuk reduksi dimensi: keduanya menghasilkan sekumpulan “sumbu baru” yang dibangun dari kombinasi linear sumbu ruang fitur dari data Anda. “Sumbu baru” ini menguraikan varians pada titik data berdasarkan kontribusi setiap arah terhadap varians dalam data. Untuk melihat contoh konkret bagaimana PCA bekerja pada data, kunjungi Scikit-Learn Tutorial kami.
• Kaitan lainnya adalah dengan data mining dan natural language processing (NLP): Latent Semantic Indexing (LSI). Ini adalah teknik yang digunakan dalam pengambilan dokumen dan kemiripan kata. Latent semantic indexing menggunakan SVD untuk mengelompokkan dokumen ke konsep yang dapat terdiri dari kata-kata berbeda yang ditemukan dalam dokumen-dokumen tersebut. Berbagai kata dapat dikelompokkan menjadi sebuah konsep. Di sini juga, SVD mengurangi korelasi berisik antara kata dan dokumennya, dan menurunkan jumlah dimensi yang dimiliki data asli.

Anda lihat, SVD adalah konsep penting dalam perjalanan data science Anda yang harus dipelajari. Itu sebabnya Anda perlu mempertimbangkan untuk mendalami SVD melampaui cakupan tutorial ini: misalnya, kunjungi halaman ini untuk membaca lebih lanjut tentang dekomposisi matriks ini.