SARIMA：季节性时间序列预测完整指南

每年 12 月，零售商都会为节日季备货。每到夏季，电网都要为空调用电高峰做准备。这些模式年复一年地重复出现。如果您在构建时间序列预测时忽略了它们，就会白白损失精度。

季节性自回归积分滑动平均模型（简称 SARIMA）在广泛使用的 ARIMA 框架之上扩展，能够在捕捉常规趋势的同时建模重复出现的季节性模式。本文将介绍什么是 SARIMA、其各组件如何工作、何时应优先于 ARIMA 选择 SARIMA，以及如何在 Python 中按步骤构建一个模型。

什么是 SARIMA？

SARIMA 是一种时间序列预测模型，可同时处理数据中的非季节性与季节性模式。它直接建立在 ARIMA 之上，因此如果您已经用过 ARIMA，会发现大多数机制都很熟悉。关键区别在于，SARIMA 额外引入了一组专门用于建模固定间隔重复行为的参数，例如月度、季度或每周周期。

形式上，SARIMA 写作 SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)[S]。第一组参数 (p, d, q) 处理非季节性结构，与标准 ARIMA 相同。第二组 (P, D, Q)[S] 则用于季节性模式，其中 S 表示季节周期长度。对于具有年度季节性的月度数据，S = 12；季度数据则 S = 4。

SARIMA 的关键组成部分

SARIMA 的七个参数一开始可能会让人觉得很多。将它们分为两组会更容易理解：熟悉的 ARIMA 三元组 (p, d, q) 以及与之在季节尺度上相对应的 (P, D, Q, S)。每个季节性参数所起的作用与其非季节性“孪生”完全相同，只是应用在季节性间隔而非相邻时间步上。

自回归（AR）部分

AR 组件使用该序列的过去取值来预测未来。参数 p 指定包含多少个滞后值。如果 p = 2，模型会用前两个时间步作为当前值的预测因子。

在季节性一侧，P 做的是同样的事，但作用在季节性滞后上。如果 P = 1 且 S = 12，模型会查看 12 期前（上一年的同一月份）的取值作为预测因子。这能直接捕捉同比模式。

差分（I）部分

参数 d 控制为消除趋势并使序列平稳化而进行差分的次数。差分即用每个观测减去其前一观测，可去除线性趋势。如果 d = 1，即取一阶差分；若 d = 2，则对已差分的序列再做一次差分。

季节性差分的原理相同，但作用在季节性滞后上。参数 D 指定应用季节性差分的次数。当 D = 1 且 S = 12 时，您将每个观测减去其 12 期前的值。当序列同时存在总体上升趋势和重复性季节性时，常见做法是同时使用 d = 1 与 D = 1。

移动平均（MA）部分

与关注过去取值的 AR 组件不同，MA 组件建模当前观测与过去预测残差之间的关系。参数 q 设定包含多少个滞后误差项。如果 q = 1，模型会用上一步的预测误差来校正当前预测。

季节性对应参数 Q 将同一逻辑应用于季节性滞后。若 Q = 1 且 S = 12，模型会引入 12 期前的预测误差。当季节性冲击（如异常炎热的夏季推高能源需求）往往会延续到下一年的同一时期时，这一点尤为重要。

季节性组件（S）

参数 S 定义季节周期长度，并将三项季节性参数（P、D、Q）关联起来。S 的取值非常关键：如果您的数据是月度且呈现年度模式，S = 12；周度数据的年度周期则 S 约为 52。

季节性有时会有点棘手。一年并非精确等于 52 周，而更接近 52.18。对大多数实际用途而言，取整为 S = 52 足够。但某些数据集具有多个季节周期：如日度用电常同时呈现每周周期（S = 7）与年度周期（S = 365）。标准 SARIMA 仅能处理一个季节周期，若存在多重季节性，则需要使用更高级的方法，如 TBATS 或 Facebook Prophet。

当 S 并不明显时，时间序列分解会有帮助。将序列分解为趋势、季节性与残差组件，可直观看出占主导地位的重复周期。您也可以查看自相关图，是否在规则滞后处出现尖峰。

ARIMA 与 SARIMA：有何区别？

您或许已经在想：实际中什么时候该用 SARIMA 而不是更简单的 ARIMA？

简短的答案是：当数据不存在有意义的季节性模式时用 ARIMA；当存在时用 SARIMA。

ARIMA 建模三件事：序列自身的自相关（AR）、达到平稳所需的差分次数（I），以及过去预测误差对当前值的滞留影响（MA）。它能很好地处理趋势、循环与不规则噪声。但它做不到的是建模以固定季节频率重复的模式。这些会以无法解释的方差形式“漏掉”。

SARIMA 正是为此而生。当您的数据中出现清晰的季节性峰谷时，拟合普通 ARIMA 会将这些模式“挤进”残差，从而导致更差的预测，且残差并非白噪声。SARIMA 则可直接捕捉这些模式。

一个实用法则：绘制数据，观察是否存在固定间隔的重复模式。如果看到了，比如节日销售高峰、冬季能源激增、季度财报规律，请选用 SARIMA。如果序列不规则或主要由趋势驱动且无固定周期，ARIMA 更简单且足够用。

我们的Python 中的 ARIMA 模型课程同时涵盖两种框架，并提供上手机会，帮助您建立何时应用各自模型的直觉。

如何在 Python 中构建 SARIMA 模型

构建 SARIMA 遵循一个清晰的流程：收集数据、检查平稳性、识别参数、拟合模型、进行诊断并开展预测。以下使用 Python 的 statsmodels 库说明各步骤在实践中的做法。

数据收集

要建模季节性，需要足够长的历史数据，至少能观察到两次该模式，最好是多个周期。典型示例包括月度零售销售、气温记录、能源消耗数据和客运量统计。可公开获取的来源包括美国联邦储备经济数据库（FRED）、美国人口普查局或 Kaggle，都是不错的起点。

该流程的标准教学数据集是航空旅客数量：1949 至 1960 年的月度数据，具有清晰的上升趋势和强烈的年度季节性。可通过 statsmodels 的 get_rdataset() 从 Rdatasets 集合获取。建议先用此数据集熟悉流程，再应用到您自己的数据上。

数据预处理

在拟合任何 SARIMA 之前，需要一个平稳序列，即其均值与方差不会随时间变化。增强型 Dickey-Fuller（ADF）检验可进行形式化检查：p 值低于 0.05 表明序列平稳。

若不平稳，可通过差分修正。对趋势使用常规差分（d = 1），对季节性非平稳使用季节性差分（D = 1，滞后 S），必要时两者皆用。在此步骤前先处理缺失值。对时间序列而言，前向填充或插值是常见做法，因为直接删除行会破坏时间结构。

模型识别

在获得平稳序列后，可使用自相关函数（ACF）与偏自相关函数（PACF）图来识别模型参数。重点关注：

• ACF 显示序列与其滞后的相关性。q 滞后后的急剧截断提示 MA 阶数。季节性滞后处的尖峰（如月度数据的 12、24、36）提示 Q。
• PACF 显示在去除中间滞后影响后的偏相关。p 滞后后的急剧截断提示 AR 阶数。季节性尖峰提示 P。

实际操作中，这些图会给出候选取值，您可以用信息准则比较少量模型（诊断部分会详述）。如果更倾向于自动化搜索，pmdarima 包的 auto_arima() 会对参数组合进行网格搜索并选择拟合最佳的模型。

参数估计

确定候选参数后，statsmodels 会使用极大似然估计（MLE）进行估计，即寻找使在该模型下观测数据最可能出现的系数值。相比普通 ARIMA，SARIMA 的估计计算量更大，因为优化器需同时拟合非季节性与季节性组件。

拟合过程偶尔会收敛到局部最优而非全局最优，因此当结果看起来不对劲时，值得尝试不同的初始值或参数组合。

模型拟合

以下是在 Python 中使用航空旅客数据集拟合 SARIMA 模型的方法：

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Load the classic airline dataset
airline_data = sm.datasets.get_rdataset("AirPassengers", "datasets").data
airline_data.index = pd.date_range(start="1949-01", periods=len(airline_data), freq="MS")
passengers = airline_data["value"]

# Fit SARIMA(1,1,1)(1,1,1)[12]
sarima_model = sm.tsa.statespace.SARIMAX(
    passengers,
    order=(1, 1, 1),
    seasonal_order=(1, 1, 1, 12),
    enforce_stationarity=False,
    enforce_invertibility=False
)

sarima_result = sarima_model.fit(disp=False)
print(sarima_result.summary())	技术支持

order 参数用于非季节部分，取 (p, d, q)；seasonal_order 取 (P, D, Q, S)。将 enforce_stationarity=False 与 enforce_invertibility=False 设为 False，可为优化器提供更大的自由度，往往有助于在真实世界数据上收敛。

模型统计与诊断

拟合完成后，使用 sarima_result.plot_diagnostics() 运行内置诊断图。您需要关注四点：

• 标准化残差： 应该呈白噪声，无明显模式。
• 残差直方图： 应大致接近正态分布。
• 正态 Q-Q 图： 点应接近对角线。
• 相关图（残差的 ACF）： 不应有显著尖峰，否则说明存在未解释的自相关。

特别关注相关图中的季节性滞后。若在 12、24 等滞后处出现尖峰，说明季节性部分尚未充分捕捉。使用 AIC（赤池信息准则）与 BIC（贝叶斯信息准则）比较不同设定：值越低代表拟合越好，且 BIC 对复杂度的惩罚更重。

预测

在模型通过验证后，生成预测就很直接了。将数据划分为训练集和测试集，以获得对预测精度更客观的评估：

# Train on first 11 years, test on final year
train = passengers[:"1959"]
test = passengers["1960":]

# Refit on training data and forecast
sarima_train = sm.tsa.statespace.SARIMAX(
    train,
    order=(1, 1, 1),
    seasonal_order=(1, 1, 1, 12),
    enforce_stationarity=False,   # add this
    enforce_invertibility=False   # add this
).fit(disp=False)

forecast = sarima_train.get_forecast(steps=12)
forecast_mean = forecast.predicted_mean
conf_int = forecast.conf_int()技术支持

get_forecast() 方法会返回点预测以及置信区间，随着预测步数的增加，区间会逐渐变宽。这并非缺陷，而是模型对不确定性的如实表达。请在留出的测试集上使用 RMSE（均方根误差）或 MAPE（平均绝对百分比误差）评估准确性。

SARIMA 的实际应用

现实世界中的许多信号都具有季节性，因此 SARIMA 在任何时间序列工具箱中都应占据一席之地。以下是跨行业的一些示例：

• 零售： 预测月度销售量用于库存规划，尤其是在节假日等需求高峰期，这些高峰可预测，但其幅度会逐年变化。
• 能源消耗： 预测电力与天然气需求，其既有日度季节性也有年度季节性，由气温与活动模式驱动。
• 金融： 建模与会计年度同步的季度盈利或成交量模式。
• 天气预报： 预测气温、降水等呈现强年度周期的气候变量。

在这些场景中，重复结构就是信号，而 SARIMA 正是为捕捉它而设计的。

SARIMA 的局限性

了解工具在哪些方面表现出色只是问题的一半。SARIMA 是季节性时间序列的可靠基线，但了解其局限，才能区分善用模型与盲目用模型的人。

它一次只处理一个季节周期。如果您的数据存在多重季节性，如日度、周度与年度模式相互叠加，SARIMA 无法同时建模全部频率。TBATS、Prophet 或 LSTM 等方法更适合处理多重季节频率。

SARIMA 也假设线性关系。它建模过去取值、过去误差与未来观测之间的线性关系。非线性动力学（在金融时间序列或混沌系统中较常见）需要其他工具。与 ARIMA 一样，SARIMA 仅依赖序列自身的历史。如果您的预测受外部驱动因素影响（如促销、天气事件、经济指标），请考虑 SARIMAX，它在 SARIMA 框架上引入外生变量。

最后，参数选择确实可能很难。需要调的参数有七个，搜索空间很大，且在长序列上拟合可能很慢。pmdarima 的 auto_arima() 有助于自动化这一过程。但理解参数的实际含义没有捷径可走，这也是我们在写任何代码前先讲组件的原因。

结语

我一直认为，SARIMA 在入门级预测课程中被低估了。它常被教作“加了季节性的 ARIMA”，这让人觉得只是小幅扩展。事实并非如此。季节性参数不是附加的装饰；它们在做实打实的结构性建模，捕捉的是 ARIMA 根本触及不到的那一层数据行为。

让 SARIMA 在实践中“通透”的关键在于意识到非季节性与季节性组件并非各自为政的并行模型，而是相互作用。AR 与 MA 项与其季节性“孪生项”协同工作，分别处理不同时标上的自相关。一旦理解了这一点，阅读 ACF 与 PACF 图就不再像在“找图形”，而更像是在真正理解您的数据。

如果您处理的是月度、季度或任何规则周期的数据，SARIMA 是正确的起点。这不是因为它总是最终答案，而是因为它迫使您清晰地思考序列的结构。在此基础上，SARIMAX 可引入外部预测因子，而 TBATS 或 Prophet 则能处理更复杂的多季节性情况。我们的时间序列预测教程以及Python 中的 ARIMA 模型课程，都是不错的下一步。