t-test vs. z-test: wanneer gebruik je welke

Als dataspecialist analyseer, test en leg je vaak relaties tussen variabelen in een dataset om tot zinvolle conclusies te komen. Een concept dat toetsen van hypothesen heet, samen met verschillende toetsen, waaronder t-tests en z-tests, zijn veelgebruikte instrumenten in analytics om relaties tussen datapunten vast te stellen. 

In deze tutorial leer je het verschil tussen een t-test en een z-test met echte voorbeelden. Ik geef ook extra bronnen voor verdere verdieping.

Een snelle samenvatting: t-tests vs. z-tests

Kiezen tussen een t-test en een z-test kun je samenvatten met deze vuistregels:

• Gebruik een t-test: Wanneer de steekproefomvang klein is (n < 30) en/of de populatievariantie onbekend is.
• Gebruik een z-test: Wanneer de steekproefomvang groot is (n ≥ 30) en de populatievariantie bekend is.

In beide gevallen verwachten we dat de data normaal verdeeld zijn. Lees verder om meer te leren over elke test en hun verschillen in detail. We beginnen met een korte introductie tot hypothesetoetsing.

Een introductie tot hypothesetoetsing

Hypothesetoetsing is een fundamentele statistische methode om populatieparameters af te leiden op basis van steekproefdata. Het biedt een gestructureerde aanpak om beweringen of aannames over een populatie te beoordelen met behulp van empirisch bewijs.

Centraal in hypothesetoetsing staan twee complementaire uitspraken:

• De nulhypothese (H₀) is een uitspraak van geen effect, verschil of relatie. Het vertegenwoordigt de status-quo of de huidige opvatting.
• De alternatieve hypothese (H₁) is een uitspraak die de nulhypothese tegenspreekt. Het vertegenwoordigt de claim of de nieuwe opvatting die de onderzoeker wil aantonen.

Stel bijvoorbeeld dat je wilt bepalen of een nieuwe lesmethode de toetsresultaten van studenten verbetert. Dan kun je de volgende hypothesen opstellen:

• Nulhypothese (H₀): De nieuwe lesmethode heeft geen effect op de toetsresultaten van studenten.
• Alternatieve hypothese (H₁): De nieuwe lesmethode verbetert de toetsresultaten van studenten.

Hypothesetoetsing omvat het verzamelen van steekproefdata, het berekenen van toetsingsstatistieken en het bepalen van de kans om dergelijke resultaten te observeren als de nulhypothese waar is. Op basis van deze kans kunnen we beslissen of we de nulhypothese verwerpen ten gunste van de alternatieve, of dat we deze niet verwerpen.

Afhankelijk van de datatypes en onderzoeksvragen zijn er verschillende statistische toetsen beschikbaar voor hypothesetoetsing. In deze tutorial focussen we op de t-test en de z-test.

Wat is een t-test?

Een t-test is een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verschil is tussen de gemiddelden van twee groepen of tussen een steekproefgemiddelde en een bekende waarde. De toets is vooral nuttig bij kleine steekproeven of wanneer de populatiestandaarddeviatie onbekend is. 

De t-toetsingsgrootheid voor een eenzijdige t-test wordt berekend met de formule:

t-test-vergelijking. Afbeelding door de auteur.

waarbij:

• Xˉ het steekproefgemiddelde is
• μ het populatiegemiddelde is (of het gemiddelde van de vergelijkingsgroep)
• s de steekproefstandaarddeviatie is, en 
• n de steekproefgrootte is.

Soorten t-tests

Er zijn drie hoofdtypen t-tests. Elk vergelijkt gemiddelden onder verschillende omstandigheden:

• Eenzijdige t-test (one-sample): Deze toets vergelijkt het gemiddelde van één steekproef met een bekende waarde of een populatiegemiddelde. Hij bepaalt of het steekproefgemiddelde significant afwijkt van een specifieke norm. Zo kun je met een one-sample t-test beoordelen of de gemiddelde toetsscore van een kleine klas afwijkt van het landelijke gemiddelde.
• Onafhankelijke tweezijdige t-test (two-sample): Deze toets vergelijkt de gemiddelden van twee onafhankelijke groepen om te bepalen of er een statistisch significant verschil tussen zit. Hij wordt vaak gebruikt in experimenten waarin twee groepen verschillende behandelingen of omstandigheden ondergaan. Bijvoorbeeld: we kunnen een onafhankelijke two-sample t-test gebruiken om toetsresultaten te vergelijken tussen studenten die met twee verschillende lesmethoden zijn onderwezen om te zien of één methode effectiever is.
• Gepaard t-test: Deze toets vergelijkt gemiddelden van dezelfde groep op verschillende tijdstippen of onder verschillende omstandigheden. Hij beoordeelt of er een significante verandering is binnen dezelfde groep na een interventie of in de tijd. Een voorbeeld is het meten van studentprestaties vóór en na de invoering van een nieuwe lesstrategie om het effect te beoordelen.

Aannames van de t-test

De t-test berust op bepaalde aannames om geldige resultaten te geven:

• Normaliteit van de data: De t-test gaat ervan uit dat de data in elke groep ongeveer normaal verdeeld zijn. Dit is vooral belangrijk bij kleine steekproeven. Als de data niet normaal verdeeld zijn, kunnen de resultaten van de t-test onbetrouwbaar zijn.
• Homogeniteit van varianties: Voor een onafhankelijke two-sample t-test wordt aangenomen dat de varianties van de twee te vergelijken groepen gelijk zijn. Deze aanname zorgt ervoor dat de t-test correct rekening houdt met variabiliteit binnen elke groep. Als de varianties niet gelijk zijn, kan dat de nauwkeurigheid van de toets beïnvloeden.
• Onafhankelijkheid van waarnemingen: De waarnemingen binnen elke groep moeten onafhankelijk zijn. Dit betekent dat de waarde van de ene waarneming geen invloed mag hebben op, of gerelateerd mag zijn aan, de waarde van een andere waarneming. Schending van deze aanname kan tot onjuiste conclusies leiden.

Het is belangrijk om deze aannames te controleren voordat je de t-test toepast in een analyse, om de geldigheid van de resultaten te waarborgen. Lees onze T-tests in R-tutorial of onze Introductie tot t-tests in Python om te leren hoe je t-tests uitvoert in R of Python. 

Wat is een z-test?

Een z-test is een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verschil is tussen het steekproefgemiddelde en het populatiegemiddelde of tussen de gemiddelden van twee groepen wanneer de populatievariantie bekend is en de steekproefomvang groot is.

De toets wordt vooral gebruikt wanneer de steekproefgrootte groter is dan 30, waardoor de normale verdeling kan worden gebruikt om de verdeling van de toetsingsstatistiek te benaderen.

De z-toetsingsgrootheid voor een one-sample z-test wordt berekend met de formule:

z-test-vergelijking. Afbeelding door de auteur.

waarbij: 

• Xˉ het steekproefgemiddelde is, 
• μ het populatiegemiddelde is, 
• σ de populatiestandaarddeviatie is, en 
• n de steekproefgrootte is.

Soorten z-tests

Er zijn drie hoofdtypen z-tests:

• One-sample z-test: Deze toets vergelijkt het gemiddelde van één steekproef met een bekend populatiegemiddelde. Hij wordt gebruikt wanneer je wilt beoordelen of het steekproefgemiddelde significant afwijkt van het populatiegemiddelde, uitgaande van een bekende populatievariantie. Bijvoorbeeld: een one-sample z-test kan worden gebruikt om te bepalen of de gemiddelde lengte van een groep van meer dan 30 personen afwijkt van de bekende nationale gemiddelde lengte.
• Two-sample z-test: Deze toets vergelijkt de gemiddelden van twee onafhankelijke steekproeven om te bepalen of er een significant verschil tussen zit. Hij wordt gebruikt wanneer beide steekproeven groot zijn en de populatievarianties bekend zijn. Een voorbeeld is het vergelijken van de gemiddelde toetsresultaten van leerlingen van twee verschillende scholen om te zien of er een significant prestatieverschil is tussen de scholen.
• Proportie z-test: Deze toets vergelijkt de proportie van een bepaald kenmerk in een steekproef met een bekende populatieproportie of tussen twee steekproefproporties. Hij wordt gebruikt om te beoordelen of de waargenomen proportie in de steekproef significant afwijkt van wat op basis van de populatieproportie verwacht wordt. Bijvoorbeeld: een proportie z-test kan worden gebruikt om de proportie kiezers die een bepaalde kandidaat steunen in een steekproef te vergelijken met de proportie die in eerdere verkiezingen is waargenomen.

Er zijn aanvullende varianten van de toets, zoals de gepaarde z-test, de z-test voor regressiecoëfficiënten en de z-test voor verschillen in gemiddelden.

Aannames van de z-test

De z-test berust op bepaalde aannames om geldige resultaten te geven:

• Bekende populatievariantie: De z-test gaat ervan uit dat de populatievariantie bekend is. Dit is een belangrijk verschil met de t-test, waar de populatievariantie doorgaans onbekend is. De bekende variantie maakt het mogelijk om de z-verdeling te gebruiken om de significantie van de toetsingsstatistiek te beoordelen.
• Grote steekproefgrootte: De z-test gaat uit van een grote steekproefgrootte, doorgaans groter dan 30. Bij grotere steekproeven nadert de steekproefverdeling van het gemiddelde een normale verdeling, zelfs als de oorspronkelijke data niet normaal verdeeld zijn, volgens de Centrale Limietstelling.
• Normale verdeling van de populatie: Er wordt aangenomen dat de data afkomstig zijn uit een normaal verdeelde populatie. Deze aanname is minder cruciaal bij grote steekproeven, maar blijft belangrijk wanneer de steekproefgrootte middelgroot is.

Belangrijkste verschillen tussen t-tests en z-tests

De t-test en de z-test worden gebruikt om steekproefstatistieken te vergelijken met populatieparameters, maar verschillen in onderliggende aannames, toepassingen en de omstandigheden waarin ze het meest geschikt zijn. Laten we de verschillen tussen beide toetsen analyseren en begrijpen:

Overwegingen rond steekproefgrootte

• t-test: De t-test wordt doorgaans gebruikt wanneer de steekproefgrootte klein is, in het algemeen kleiner dan 30. Hij is ontworpen om robuust te zijn wanneer de steekproefgrootte niet voldoet aan de drempel voor toepassing van de Centrale Limietstelling.
• z-test: De z-test wordt gebruikt wanneer de steekproefgrootte groot is, doorgaans groter dan 30. Bij grote steekproeven is de steekproefverdeling van het gemiddelde ongeveer normaal, wat het gebruik van de z-test rechtvaardigt.

Kennis van populatievariantie

• t-test: De t-test wordt gebruikt wanneer de populatievariantie onbekend is. In plaats van de populatievariantie wordt de steekproefvariantie gebruikt om de toetsingsstatistiek te berekenen. De t-verdeling, die zwaardere staarten heeft dan de normale verdeling, houdt rekening met de extra onzekerheid door het schatten van de populatievariantie.
• z-test: De z-test vereist dat de populatievariantie bekend is. Dit is een belangrijke aanname omdat het het gebruik van de standaard normale verdeling mogelijk maakt om de toetsingsstatistiek te berekenen. Wanneer de populatievariantie bekend is, levert de z-test nauwkeurigere schattingen op.

Verdelingsaannames

• t-test: De t-test gaat ervan uit dat de data binnen elke groep ongeveer normaal verdeeld zijn. Dit is met name belangrijk bij kleine steekproeven. De toetsingsgrootheid in een t-test volgt een t-verdeling, die bredere staarten heeft dan de normale verdeling. Dit houdt rekening met de extra variabiliteit en onzekerheid bij het schatten van de populatiestandaarddeviatie uit een kleine steekproef.
• z-test: De z-test gaat ervan uit dat de data normaal verdeeld zijn of dat de steekproefgrootte groot genoeg is om de Centrale Limietstelling toe te passen. De Centrale Limietstelling garandeert dat bij grote steekproeven de steekproefverdeling van het gemiddelde ongeveer normaal is, zelfs als de onderliggende data niet perfect normaal zijn.

Praktische toepassingen en use-cases

• t-test: De t-test wordt vaak gebruikt in studies met kleine steekproeven, zoals pilotstudies, waar de populatievariantie onbekend is. Voorbeelden zijn het vergelijken van de effectiviteit van twee behandelingen in een kleine groep of het beoordelen van veranderingen binnen dezelfde groep in de tijd.
• z-test: De z-test wordt gebruikt in studies met grote steekproeven of bij goed beschreven populaties waar de variantie bekend is. Hij wordt vaak toegepast in kwaliteitscontrole, enquêteanalyse en grootschalige experimentele studies.

Hier is een tabel met de belangrijkste verschillen:

Belangrijkste verschillen tussen t-test en z-test. Afbeelding door de auteur.

Conclusie

Deze tutorial introduceerde je in hypothesetoetsing en twee veelgebruikte toetsen—t-tests en z-tests. We hebben ook de definities, verschillende typen en aannames van elke toets behandeld en hun belangrijkste verschillen verder verduidelijkt. We sloten af met welke toets je het beste gebruikt in welke situatie, zodat je met vertrouwen relaties tussen variabelen kunt vaststellen via hypothesetoetsing.

Nadat je de statistische concepten achter hypothesetoetsing hebt verstevigd met onze cursus Introductie tot Statistiek, raad ik je aan deze concepten in de praktijk te brengen met een van de populaire technologieën via de volgende bronnen:

• Hypothesetoetsing in Python-cursus
• Hypothesetoetsing in R-cursus
• Hypothesetoetsing (chi-kwadraattoets) in Excel-tutorial

Veel leerplezier!