t 检验 vs. Z 检验：各自的适用场景

作为数据科学专业人士，您经常需要分析、检验并建立数据集中变量之间的关系，以得出有意义的结论。一种称为假设检验的概念，以及包括 t 检验和 z 检验在内的多种检验方法，都是分析中常用来建立数据点之间关系的工具。

本教程将通过真实示例教您 t 检验与 Z 检验的区别。我还将提供更多进阶学习资源。

快速概要：t 检验 vs. Z 检验

在 t 检验与 Z 检验之间做选择，可概括为以下指南：

• 使用 t 检验： 当样本量较小（n < 30）且/或总体方差未知时。
• 使用 Z 检验： 当样本量较大（n ≥ 30）且总体方差已知时。

两种情况下，我们都期望数据服从正态分布。继续阅读以详细了解各个检验及其差异。首先，我们先快速介绍一下假设检验。

假设检验导论

假设检验是一种基于样本数据推断总体参数的基础统计方法。它为使用经验证据评估有关总体的主张或假设提供了结构化的方法。

假设检验的核心是两条相辅相成的陈述：

• 原假设（H₀）表示没有效应、没有差异或没有关系。它代表现状或当前的理解。
• 备择假设（H₁）与原假设相矛盾。它代表研究者希望证明的主张或新的理解。

例如，假设您想确定一种新的教学方法是否能提高学生的考试成绩。您可以构建如下假设：

• 原假设（H₀）：新的教学方法对学生考试成绩没有影响。
• 备择假设（H₁）：新的教学方法能提高学生的考试成绩。

假设检验涉及收集样本数据、计算检验统计量，并在原假设为真时确定观察到此类结果的概率。根据该概率，我们可以决定是拒绝原假设以支持备择假设，还是未能拒绝原假设。

根据被检验的数据类型和研究问题，假设检验可使用多种统计方法。本文将重点介绍 t 检验和 Z 检验。

什么是 t 检验？

t 检验是一种用于确定两组均值之间，或样本均值与已知值之间是否存在显著差异的统计检验。当样本量较小或总体标准差未知时尤其有用。

单样本 t 检验的 t 统计量按如下公式计算：

t 检验公式。作者自制。

其中：

• Xˉ 为样本均值
• μ 为总体均值（或对照组均值）
• s 为样本标准差，且
• n 为样本量。

t 检验的类型

t 检验主要有三种类型，每种在不同条件下比较均值：

• 单样本 t 检验：将单个样本的均值与已知值或总体均值进行比较，判断样本均值是否显著偏离特定基准。例如，可用单样本 t 检验评估某小班级的平均分是否不同于全国平均分。
• 独立双样本 t 检验：比较两个独立组的均值是否存在统计学上的显著差异。常用于两个组接受不同处理或条件的实验中。例如，可用独立双样本 t 检验比较采用两种不同教学方法的学生成绩，以判断哪种方法更有效。
• 配对 t 检验：比较同一组在不同时点或不同条件下的均值。用于评估干预后或随时间在同一组内是否发生显著变化。例如，测量实施新教学策略前后学生表现，以评估其影响。

t 检验的前提假设

t 检验需满足若干假设才能得出有效结果：

• 数据正态性：假设各组数据近似服从正态分布，尤其在样本量较小时更为重要。若数据不服从正态分布，t 检验结果可能不可靠。
• 方差齐性：独立双样本 t 检验假设两组的方差相等。该假设确保检验能正确考虑各组内部变异。若方差不等，会影响检验的准确性。
• 观测独立性：各组内观测彼此独立，即一个观测值不应影响或关联另一个观测值。违反该假设可能导致错误结论。

在任何分析前应用 t 检验，都应检查这些假设，以确保结果有效。阅读我们的R 语言 t 检验教程或Python t 检验入门，学习如何在 R 或 Python 中进行 t 检验。

什么是 Z 检验？

Z 检验是一种统计检验，用于在总体方差已知且样本量较大时，判断样本均值与总体均值之间，或两组均值之间是否存在显著差异。

它主要用于样本量超过 30 的情形，此时可用正态分布近似检验统计量的分布。

单样本 Z 检验的 Z 统计量按如下公式计算：

Z 检验公式。作者自制。

其中：

• Xˉ 为样本均值，
• μ 为总体均值，
• σ 为总体标准差，且
• n 为样本量。

Z 检验的类型

Z 检验主要有三种类型：

• 单样本 Z 检验：将单个样本的均值与已知的总体均值进行比较，用于评估在总体方差已知的前提下，样本均值是否显著偏离总体均值。例如，可用单样本 Z 检验判断超过 30 人的一组样本的平均身高是否不同于已知的全国平均身高。
• 双样本 Z 检验：比较两个独立样本的均值是否存在显著差异。适用于两个样本均较大且总体方差已知的情形。例如，比较两所不同学校学生的平均考试成绩，以判断两校之间的表现是否存在显著差异。
• 比例 Z 检验：比较样本中某一特征的比例与已知总体比例，或比较两个样本比例。用于评估样本中观察到的比例是否显著不同于基于总体比例的预期。例如，比例 Z 检验可用于比较样本中支持某候选人的选民比例与往届选举中观察到的比例。

此外还有该检验的变体，如配对 Z 检验、回归系数的 Z 检验以及均值差的 Z 检验。

Z 检验的前提假设

Z 检验需满足若干假设才能得出有效结果：

• 总体方差已知：Z 检验假设总体方差已知。这与 t 检验的关键区别在于，t 检验通常未知总体方差。方差已知使得可以使用 z 分布来评估检验统计量的显著性。
• 大样本量：Z 检验假设样本量较大，通常大于 30。根据中心极限定理，随着样本量增大，样本均值的抽样分布趋近于正态分布，即便原始数据并非正态。
• 总体正态分布：假设数据来自正态分布的总体。对于大样本该假设不那么关键，但在样本量中等时仍然重要。

t 检验与 Z 检验的关键差异

t 检验与 Z 检验都用于将样本统计量与总体参数进行比较，但它们在基础假设、适用场景及最佳使用条件上存在差异。下面我们来分析并理解二者的不同之处：

样本量考量

• t 检验：通常用于样本量较小（一般小于 30）时。它在样本量未达到适用中心极限定理阈值时仍具有稳健性。
• Z 检验：用于样本量较大（通常大于 30）时。大样本下，均值的抽样分布近似正态，因而可使用 Z 检验。

总体方差的已知性

• t 检验：在总体方差未知时使用。以样本方差代替总体方差计算检验统计量。t 分布较正态分布尾部更肥，以反映由估计总体方差带来的额外不确定性。
• Z 检验：要求总体方差已知。这一关键假设使得可以使用标准正态分布来计算检验统计量。在总体方差已知时，Z 检验能提供更精确的估计。

分布假设

• t 检验：假设各组数据近似正态分布，尤其在小样本时尤为重要。t 检验中的检验统计量服从 t 分布，其尾部较宽，以反映用小样本估计总体标准差时的额外变异与不确定性。
• Z 检验：假设数据服从正态分布，或样本量足够大以适用中心极限定理。中心极限定理保证对大样本而言，即使底层数据并非完全正态，均值的抽样分布也近似正态。

实际应用与用例

• t 检验：常用于小样本研究，如试点研究，此时总体方差未知。示例包括在小群体中比较两种治疗的有效性，或评估同一组随时间的变化。
• Z 检验：用于大样本研究，或在总体特征已充分掌握且方差已知时。常见于质量控制、问卷调查分析和大规模实验研究。

下表汇总了关键差异：

t 检验与 Z 检验的关键差异。作者自制。

结论

本教程向您介绍了假设检验以及两种常用检验——t 检验与 z 检验。我们学习了每种检验的定义、类型与前提假设，并进一步理解了它们的关键差异。我们还总结了各自最佳的适用情景，从而帮助您在假设检验中更有把握地建立变量之间的关系。

在通过我们的统计学入门课程夯实假设检验背后的统计概念后，建议您通过以下资源，使用任一主流技术来实践这些概念：

• Python 假设检验课程
• R 假设检验课程
• Excel 中的假设检验（卡方检验）教程

学习愉快！