Claude Fable 5 y la conjetura jacobiana: qué se demostró y qué no

La noche de la final del Mundial, casi todo el mundo veía fútbol. Un pequeño rincón de internet veía moverse la historia de las matemáticas.

El investigador de Anthropic Levent Alpöge publicó un breve mensaje en X. Afirmaba que la conjetura jacobiana era falsa. Es un problema que llevaba sin resolverse desde 1939. Atribuyó a un colega la sugerencia del problema. Atribuyó a Claude Fable 5 el trabajo durante el partido.

Al día siguiente, matemáticos la comprobaron a mano. Aguantó el escrutinio.

Pero "la IA resuelve un problema de 87 años" es un titular que viaja más rápido que los matices que hay detrás. Así que vamos por partes. ¿Qué hay realmente de nuevo? ¿Qué no lo es? ¿Y puedes comprobarlo tú mismo?

Sí puedes. En unas quince líneas de Python. Llegaremos a ello.

La respuesta corta

Claude Fable 5 ayudó a construir una aplicación polinómica del espacio complejo tridimensional en sí mismo, escrita ℂ³ → ℂ³. Su determinante jacobiano es la constante -2 en todas partes, que es exactamente la condición de la conjetura de Keller de 1939, y aun así el mapa envía tres puntos de entrada distintos al mismo resultado. Ese único ejemplo refuta la conjetura en dimensión tres y superiores. La versión original de dos variables del problema sigue abierta, y aún no hay un artículo revisado por pares, solo un cálculo verificado y un preprint.

Esa es la historia completa en un párrafo. El resto del artículo desglosa por qué cada parte importa.

¿Qué es la conjetura jacobiana?

Imagina una función que recibe una lista de números y devuelve otra lista. Es un "mapa" de un espacio a otro. Los matemáticos se hacen una pregunta sencilla sobre mapas así: ¿siempre puedes deshacer el camino? Si conoces la salida, ¿puedes recuperar exactamente la entrada que la generó?

Si has hecho algo de machine learning, ya te has cruzado con el objeto en el centro de esta cuestión, probablemente sin dramatismos. El jacobiano es la matriz de derivadas parciales de un mapa: lo que backpropagation multiplica capa a capa. Los normalizing flows también necesitan su determinante para seguir cómo se estira la masa de probabilidad al pasar por la red. Misma matriz. Distinto barrio.

El cálculo te da una prueba local de reversibilidad basada precisamente en esta matriz: el determinante jacobiano. Si no es cero en un punto, el mapa es reversible cerca de ese punto.

Pero cerca de un punto no es lo mismo que en todas partes. Aquí va el ejemplo más limpio que conozco, y ocupa dos líneas:

import numpy as np

f = lambda x, y: (np.exp(x) * np.cos(y), np.exp(x) * np.sin(y))

print(f(0, 0))              # (1.0, 0.0)
print(f(0, 2 * np.pi))      # (1.0, ~0.0) — same output, different input

El determinante jacobiano de este mapa es e^²ˣ, que nunca es cero. Supera la prueba local en cada punto del plano. Aun así no puede invertirse, porque se enrolla: dos caminos diferentes, misma casa.

Fíjate, eso sí, en que este ejemplo usa una exponencial. En 1939, el matemático alemán Ott-Heinrich Keller preguntó si los polinomios se portan mejor. Su pregunta: si el determinante jacobiano de un mapa polinómico no solo es no nulo en todas partes, sino una constante fija en todas partes, ¿garantiza por fin la reversibilidad total, global?

Durante 87 años, nadie pudo responder. No hubo prueba. Tampoco contraejemplo. Esa es la conjetura a la que Claude Fable 5 acaba de dar un golpe.

Qué encontró realmente Claude Fable 5

La publicación de Alpöge incluía un mapa polinómico explícito de ℂ³ en sí mismo. Su determinante jacobiano resulta ser una constante, -2, en cada punto. Esa es la condición exacta de Keller. Y aun así entran tres puntos distintos y los tres salen igual.

Cualquiera con una herramienta de álgebra computacional puede introducirlos y comprobarlo. Eso fue exactamente lo que pasó: en cuestión de horas, matemáticos hicieron los cálculos y la aritmética cuadró.

Como el contraejemplo vive en tres dimensiones, también rompe la conjetura en cualquier dimensión superior. Toma el mapa 3D, añádele variables extra que no toques, y tendrás un contraejemplo funcional en cuatro dimensiones, cinco o cien. Ese relleno solo funciona hacia arriba. No puede comprimir un contraejemplo 3D a dos variables, y por eso existe la última sección de este artículo.

Compruébalo tú mismo en Python

Aquí una historia sobre IA de vanguardia se convierte en un ejercicio que puedes ejecutar en un notebook. Merece la pena hacerlo. Ver el contraejemplo sostenerse con aritmética exacta en tu propio equipo es muy clarificador. Solo necesitas sympy, nada más.

Primero, define el mapa y confirma el determinante:

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols("x y z")

# The map Claude Fable 5 helped construct, from C^3 to C^3
f1 = (1 + x * y) ** 3 * z + y**2 * (1 + x * y) * (4 + 3 * x * y)
f2 = y + 3 * x * (1 + x * y) ** 2 * z + 3 * x * y**2 * (4 + 3 * x * y)
f3 = 2 * x - 3 * x**2 * y - x**3 * z

# Keller's condition: the Jacobian determinant must be a nonzero constant
jacobian = sp.Matrix([f1, f2, f3]).jacobian([x, y, z])
print(sp.simplify(jacobian.det()))

-2

No "aproximadamente -2". Exactamente -2, de forma simbólica, para cada punto de ℂ³. Primera condición superada.

Ahora, la colisión. Encontré estos tres puntos pidiéndole a SymPy que resolviera F(v) = F(1, 1, 1). La publicación original de Alpöge da otro conjunto, y cualquiera de los dos vale:

s = sp.sqrt(53)

points = [
    (1, 1, 1),
    (sp.Rational(-1, 2) - 7 * s / 106, 25 - 3 * s, -134090 + 18420 * s),
    (sp.Rational(-1, 2) + 7 * s / 106, 25 + 3 * s, -134090 - 18420 * s),
]

for p in points:
    image = [sp.simplify(f.subs({x: p[0], y: p[1], z: p[2]}))
             for f in (f1, f2, f3)]
    print(image)

[22, 34, -2]
[22, 34, -2]
[22, 34, -2]

Tres entradas realmente distintas. Una única salida. Si tres entradas dan una sola respuesta, no puede existir inversa, y la conjetura de Keller cae. Acabas de verificar, con aritmética exacta, el cálculo que resolvió un problema de 87 años.

Si te saltaste el código, aquí va el resumen: las dos mitades de la afirmación, determinante constante y puntos que colisionan, pasan la verificación simbólica. No hace falta confiar en coma flotante.

Espera, ¿esto no se había refutado ya?

Antes de seguir, merece la pena aclarar algo que quizá hayas visto en las respuestas a la publicación de Alpöge, porque hay un resultado anterior en este ámbito que aparece una y otra vez y la distinción importa.

En 1994, Sergey Pinchuk encontró un mapa polinómico de dos variables y valores reales que era localmente reversible en todas partes, pero no globalmente reversible. Es una construcción conocida, y es tentador asumir que la versión de Fable 5 es esa misma idea estirada a una tercera dimensión.

No lo es. El mapa de Pinchuk solo exige que su determinante jacobiano sea no nulo. Se permite que el valor cambie de un punto a otro, y todo funciona solo sobre los números reales. Eso responde a una pregunta más débil, a veces llamada la "conjetura jacobiana real fuerte". La original de Keller pide números complejos y una constante fija, un listón que la construcción de Pinchuk nunca buscó superar. Los matemáticos conocen esta diferencia desde hace tres décadas.

¿Por qué los números complejos elevan el listón? A grandes rasgos: sobre los reales, un polinomio puede esquivar problemas simplemente no teniendo soluciones reales en los puntos conflictivos. x² + 1 nunca vale cero en la recta real, pero sobre ℂ debe hacerlo. El espacio complejo no deja al mapa lugar donde esconderse, así que sobrevivir a la condición de Keller allí es una exigencia mucho mayor. El mapa exponencial anterior ya apuntaba a esto, porque el enrollamiento que lo rompía es un fenómeno profundamente complejo.

Los dos resultados sí comparten aire de familia. Ambos explotan la brecha entre "reversible en cada vecindario" y "reversible en todo el espacio". Eso es una muestra de cómo se construye la matemática, no prueba de que aquí no haya pasado nada nuevo.

Lo que sigue sin resolverse

El caso de dos variables sigue abierto. Es la versión original y más estudiada de la conjetura, para mapas del plano en sí mismo, y como ya se dijo, ningún relleno baja un contraejemplo 3D a él. Varios matemáticos consideran el caso del plano el problema más difícil y más central. Ahora es el núcleo superviviente de la conjetura, no una versión reducida de la que acaba de resolverse.

Tampoco ha pasado por revisión por pares. Ahora mismo es un cálculo verificado y un preprint, no un artículo arbitrado. Dado que todo se reduce a los dos cómputos que acabas de ejecutar, probablemente la verificación no sea el escollo, pero conviene dejar constancia de lo que hay.

Hay otra brecha más profunda. Nadie puede explicar del todo por qué funciona el contraejemplo. Una comprobación simbólica confirma que la colisión es real; no te da la historia que hay detrás, el tipo de explicación con la que un matemático podría reconstruirlo desde cero. Akhil Mathew, el matemático de la Universidad de Chicago que sugirió el problema, lo dijo bien: puedes verificar la respuesta, pero sería mejor tener una historia que contar.

El propio proceso de descubrimiento sigue algo borroso. Una persona planteó la pregunta, una IA hizo el trabajo, una persona verificó y anunció el resultado. Esa línea de crédito no muestra los prompts, los intentos fallidos ni cuánto pilotaje hubo. Es una cuestión real sobre cómo se atribuyen las pruebas asistidas por IA, y distinta de si las matemáticas se sostienen. Se sostienen.

Reflexiones finales

Las matemáticas son sólidas. Una conjetura abierta durante décadas tiene un agujero real en dimensión tres y superiores, confirmado de forma independiente con herramientas estándar, y no es un refrito del resultado de Pinchuk de 1994. Lo que no es, es una resolución completa de "la conjetura jacobiana". El caso del plano sigue en pie, y el resultado llega sin el tipo de explicación que la matemática suele valorar tanto como la propia respuesta.

También encaja en un patrón. Los modelos de vanguardia han ido arañando problemas abiertos de larga data a lo largo de 2026, tanto en combinatoria como en teoría de números. Léelo como un dato más en esa tendencia, no como una excepción aislada.

Para cualquiera que esté aprendiendo a trabajar con IA en problemas técnicos, la lección no es "la IA ya hace investigación matemática". Es más acotada: estos modelos se están volviendo buenos al producir objetos concretos en dominios donde el éxito tiene un verificador exacto y, como viste arriba, tú puedes ser ese verificador con un pip install sympy. La generación corre. La verificación mantiene el ritmo. La comprensión aún tiene que alcanzarla.

Álgebra lineal y Python simbólico son las dos habilidades que merece la pena trabajar aquí: determinantes, invertibilidad y el hábito de comprobar afirmaciones con aritmética exacta en lugar de darlas por buenas. La próxima vez que aparezca un resultado así, estarás listo para pasar la verificación tú mismo antes de que acabe el día.