Claude Fable 5 et la conjecture jacobienne : ce qui a été démontré et ce qui ne l’a pas été

Le soir de la finale de la Coupe du monde, la plupart suivaient le football. Un petit coin d’internet a vu l’histoire des maths s’écrire.

Levent Alpöge, chercheur chez Anthropic, a posté un court message sur X. Il annonçait que la conjecture jacobienne était fausse. Un problème resté sans solution depuis 1939. Il a remercié un collègue pour la suggestion et attribué le travail à Claude Fable 5, réalisé pendant le match.

Dès le lendemain, des mathématiciens l’avaient vérifié à la main. Ça tenait la route.

Mais « l’IA résout un problème de maths vieux de 87 ans » circule plus vite que les détails. Prenons le temps. Qu’y a-t-il vraiment de nouveau ? Qu’est-ce qui ne l’est pas ? Et pouvez-vous le vérifier vous-même ?

Oui. En une quinzaine de lignes de Python. On y vient.

La réponse courte

Claude Fable 5 a aidé à construire une application polynomiale de l’espace complexe tridimensionnel vers lui-même, notée ℂ³ → ℂ³. Son déterminant jacobien vaut la constante -2 partout, exactement la condition de la conjecture de Keller (1939), et pourtant l’application envoie trois points d’entrée différents vers la même sortie. Cet unique exemple réfute la conjecture en dimension trois et au-dessus. La version originale à deux variables reste ouverte, et il n’existe pas encore d’article évalué par les pairs, seulement un calcul vérifié et un préprint.

C’est l’essentiel en un paragraphe. Le reste de l’article explique pourquoi chaque point compte.

Qu’est-ce que la conjecture jacobienne ?

Imaginez une fonction qui prend une liste de nombres et en renvoie une autre. C’est une « application » d’un espace vers un autre. Les mathématiciens posent une question simple : peut-on toujours remonter en arrière ? Si vous connaissez la sortie, pouvez-vous retrouver exactement l’entrée qui l’a produite ?

Si vous avez fait un peu d’apprentissage automatique, vous avez déjà croisé l’objet au centre de cette question, sans le drame. Le jacobien est la matrice des dérivées partielles d’une application : celle que la rétropropagation multiplie couche après couche. Les flows normalisés ont aussi besoin de son déterminant pour suivre l’étirement de la masse de probabilité à travers le réseau. Même matrice. Autre contexte.

Le calcul différentiel donne un test local de réversibilité fondé précisément sur cette matrice : le déterminant jacobien. S’il est non nul en un point, l’application est inversible au voisinage de ce point.

Mais « au voisinage » n’est pas « partout ». Voici l’exemple le plus net que je connaisse, en deux lignes :

import numpy as np

f = lambda x, y: (np.exp(x) * np.cos(y), np.exp(x) * np.sin(y))

print(f(0, 0))              # (1.0, 0.0)
print(f(0, 2 * np.pi))      # (1.0, ~0.0) — même sortie, entrée différente

Le déterminant jacobien de cette application est e^²ˣ, jamais nul. Elle réussit le test local en chaque point du plan. Elle n’est pourtant pas inversible, car elle « s’enroule » : deux chemins différents, la même maison.

Remarquez cependant que cet exemple utilise une exponentielle. En 1939, le mathématicien allemand Ott-Heinrich Keller a demandé si les polynômes se comportent mieux. Sa question : si le déterminant jacobien d’une application polynomiale n’est pas seulement non nul partout, mais une constante fixe partout, cela garantit-il enfin une inversibilité globale ?

Pendant 87 ans, personne n’a su répondre. Pas de preuve. Pas non plus de contre-exemple. C’est cette conjecture que Claude Fable 5 vient d’écorner.

Ce que Claude Fable 5 a réellement trouvé

Le post d’Alpöge incluait une application polynomiale explicite de ℂ³ vers ℂ³. Son déterminant jacobien est une constante, -2, en tout point. C’est précisément la condition de Keller. Et pourtant, trois points distincts y entrent et ressortent identiques.

Quiconque dispose d’un logiciel d’algèbre peut les tester. C’est ce qui s’est passé : des mathématiciens ont fait tourner les calculs en quelques heures, et l’arithmétique est correcte.

Parce que le contre-exemple vit en trois dimensions, il invalide aussi la conjecture en toute dimension supérieure. Prenez l’application 3D, ajoutez des variables supplémentaires laissées intactes, et vous obtenez un contre-exemple en quatre dimensions, cinq, ou cent. Cet « ajout » ne marche qu’en montant. On ne peut pas comprimer un contre-exemple 3D en deux variables, d’où la dernière section de cet article.

Vérifiez-le vous-même en Python

Voici où une histoire d’IA de pointe devient un exercice reproductible dans un notebook. Cela vaut la peine de le faire. Voir le contre-exemple tenir en arithmétique exacte sur votre propre machine est éclairant. Vous aurez besoin de sympy, rien de plus.

D’abord, définissez l’application et confirmez le déterminant :

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols("x y z")

# L'application construite avec l'aide de Claude Fable 5, de C^3 vers C^3
f1 = (1 + x * y) ** 3 * z + y**2 * (1 + x * y) * (4 + 3 * x * y)
f2 = y + 3 * x * (1 + x * y) ** 2 * z + 3 * x * y**2 * (4 + 3 * x * y)
f3 = 2 * x - 3 * x**2 * y - x**3 * z

# Condition de Keller : le déterminant jacobien doit être une constante non nulle
jacobian = sp.Matrix([f1, f2, f3]).jacobian([x, y, z])
print(sp.simplify(jacobian.det()))

-2

Pas « approximativement -2 ». Exactement -2, symboliquement, pour chaque point de ℂ³. Une condition validée.

Passons à la collision. J’ai trouvé ces trois points en demandant à SymPy de résoudre F(v) = F(1, 1, 1). Le post d’Alpöge fournit un autre triplet, et les deux conviennent :

s = sp.sqrt(53)

points = [
    (1, 1, 1),
    (sp.Rational(-1, 2) - 7 * s / 106, 25 - 3 * s, -134090 + 18420 * s),
    (sp.Rational(-1, 2) + 7 * s / 106, 25 + 3 * s, -134090 - 18420 * s),
]

for p in points:
    image = [sp.simplify(f.subs({x: p[0], y: p[1], z: p[2]}))
             for f in (f1, f2, f3)]
    print(image)

[22, 34, -2]
[22, 34, -2]
[22, 34, -2]

Trois entrées réellement différentes. Une seule sortie. Si trois entrées donnent une même réponse, aucun inverse ne peut exister, et la conjecture de Keller tombe. Vous venez de vérifier, en arithmétique exacte, le calcul qui a tranché un problème vieux de 87 ans.

Si vous avez sauté le code, retenez ceci : les deux volets de l’affirmation — déterminant constant et points qui se confondent — passent la vérification symbolique. Aucun flottant à « croire sur parole ».

Attendez, quelqu’un n’avait pas déjà réfuté ça ?

Avant d’aller plus loin, évoquons un point souvent mentionné dans les réponses au post d’Alpöge : un résultat plus ancien revient régulièrement, et la distinction est importante.

En 1994, Sergey Pinchuk a construit une application polynomiale à deux variables réelles, localement inversible partout mais pas globalement. C’est bien connu, et il est tentant de penser que la version de Fable 5 n’est que cette idée étendue à trois dimensions.

Ce n’est pas le cas. L’application de Pinchuk exige seulement que le déterminant jacobien soit non nul. Sa valeur peut varier d’un point à l’autre, et toute la construction ne fonctionne que sur les réels. Cela répond à une question plus faible, parfois appelée la « forte conjecture jacobienne réelle ». Celle de Keller demande des nombres complexes et une constante fixe — une barre que la construction de Pinchuk n’a jamais visé à franchir. Les mathématiciens connaissent cet écart depuis trois décennies.

Pourquoi les complexes relèvent-ils la barre ? En bref : sur les réels, un polynôme peut esquiver les ennuis en n’ayant tout simplement pas de solutions réelles aux « mauvais » endroits. x² + 1 n’atteint jamais zéro sur la droite réelle, mais sur ℂ il le doit. L’espace complexe ne laisse nulle part où se cacher, donc satisfaire la condition de Keller y est bien plus exigeant. L’exponentielle vue plus haut le suggérait déjà, l’« enroulement » qui la casse est un phénomène résolument complexe.

Les deux résultats ont un air de famille. Ils exploitent l’écart entre « inversible dans chaque voisinage » et « inversible sur tout l’espace ». C’est le signe d’une mathématique qui se construit par strates, pas la preuve qu’il n’y a rien de neuf ici.

Ce qui reste en suspens

Le cas à deux variables reste ouvert. C’est la version originale, la plus étudiée, pour des applications du plan vers lui-même, et comme indiqué plus haut, aucun « padding » 3D ne redescend à deux variables. Plusieurs mathématiciens considèrent le cas du plan comme le plus difficile et le plus central. C’est désormais le noyau survivant de la conjecture, pas une version « réduite » de celle qui vient d’être réglée.

Cela n’a pas non plus été évalué par les pairs. À ce stade, il s’agit d’un calcul vérifié et d’un préprint, pas d’un article arbitré. Comme tout se ramène aux deux calculs que vous venez d’exécuter, la vérification ne sera sans doute pas le point bloquant, mais il faut être précis sur l’état des lieux.

Il y a aussi un vide plus profond. Personne ne peut pleinement expliquer pourquoi le contre-exemple fonctionne. Un contrôle symbolique confirme la collision ; il ne fournit pas l’histoire qui la sous-tend, celle qu’un mathématicien pourrait reconstruire de zéro. Akhil Mathew, le mathématicien de l’Université de Chicago qui a suggéré le problème, le résume bien : on peut vérifier la réponse, mais ce serait mieux d’avoir une histoire à raconter.

Le processus de découverte reste lui aussi un peu opaque. Un humain a posé la question, une IA a produit le résultat, un humain l’a vérifié et annoncé. Cette ligne de crédit ne montre ni les prompts, ni les impasses, ni l’ampleur du pilotage. C’est une vraie question pour l’attribution des preuves assistées par IA, distincte de la validité mathématique. Cette dernière, elle, tient.

Dernières réflexions

Les maths sont réelles. Une conjecture ouverte depuis des décennies présente une brèche en dimension trois et plus, confirmée indépendamment avec des outils standards, et ce n’est pas un recyclage du résultat de Pinchuk (1994). Ce que ce n’est pas, c’est une résolution complète de « la conjecture jacobienne ». Le cas du plan tient toujours, et le résultat arrive sans l’explication narrative que les mathématiques apprécient autant que la réponse elle-même.

C’est aussi un signe des temps. En 2026, des modèles de pointe ont grignoté plusieurs problèmes ouverts de longue date, en combinatoire comme en théorie des nombres. Considérez ceci comme un point de plus sur cette trajectoire, pas une exception isolée.

Pour celles et ceux qui apprennent à travailler avec l’IA sur des sujets techniques, la leçon n’est pas « l’IA fait de la recherche en maths ». Elle est plus précise : ces modèles deviennent très bons pour produire des objets concrets dans des domaines où la réussite dispose d’un vérificateur exact, et comme vous l’avez vu, vous pouvez être ce vérificateur avec un pip install sympy. La génération va vite. La vérification suit. La compréhension a encore un peu de chemin à faire.

L’algèbre linéaire et Python symbolique sont les deux compétences à renforcer ici : déterminants, inversibilité, et le réflexe de vérifier en arithmétique exacte plutôt que de faire confiance. La prochaine fois qu’un résultat de ce type tombe, vous serez prêt à le contrôler vous-même dans la journée.