가역행렬: 정의, 성질, 예시

가역행렬이 무엇인지, 행렬이 가역인지 판별하는 방법, 그리고 선형대수와 데이터 사이언스에서 역행렬이 왜 중요한지 알아보세요.

업데이트됨 2026년 8월 12일 · 5분 읽다

AI로 탐색하기

ChatGPT Claude Perplexity

어떤 행렬은 다른 행렬과 곱해 변환을 “되돌릴” 수 있어, 마치 나눗셈이 가능한 수처럼 행동합니다. 이런 행렬을 가역행렬이라 하며, 역행렬을 갖는 정사각행렬을 의미합니다.

이 성질은 선형연립방정식 풀이에서 근본적입니다. 예를 들어, 역행렬이 존재하면 그 시스템의 미지수를 직접 계산할 수 있습니다.

다음 절에서는 정확한 정의, 가역성의 조건, 주요 성질, 계산 방법을 설명하고, 구체적인 예시도 여러 개 제시하겠습니다.

가역행렬이란?

n×n 정사각행렬 A가 있을 때, 같은 크기의 n×n 행렬 B가 존재하여

여기서 I는 같은 크기의 단위행렬(n×n)입니다. 이때 B를 A^-1(거의 A의 -1제곱처럼 표기)이라 하며 A의 역행렬이라 부릅니다.

가역일 수 있는 것은 오직 정사각행렬뿐이며, 비정사각행렬은 역행렬이 없습니다. 이는 선형대수에서의 전단사성 개념에서 비롯됩니다. 다만 이 글에서는 이해를 돕기 위해 이 간단한 규칙만 기억하셔도 충분합니다.

단위행렬이란?

단위행렬 I는 행렬대수에서 곱셈에 대한 항등원 역할을 하는 정사각행렬입니다. 따라서 크기가 맞는 어떤 행렬에 I를 곱해도 그 행렬은 변하지 않습니다. 직관적으로는 ‘중립’ 변환, 더 엄밀히는 항등 변환으로 볼 수 있습니다.

2x2의 경우는 다음과 같습니다:

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

3x3 예시는 다음과 같습니다

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

정의 관계는 다음과 같습니다.

$A A^{-1} = I$

이는 A에 역행렬을 곱하면 시스템이 이 중립적인 시작점으로 돌아감을 보여줍니다. 일반적으로 행렬곱은 교환법칙이 성립하지 않지만, 이 경우에는 A와 A⁻¹가 서로의 역으로 정의되었기 때문에 순서가 중요하지 않습니다: $= I$ .

행렬이 가역일 조건

정사각행렬 A가 가역일 필요충분조건은 다음의 서로 동치인 세 가지입니다.

행렬식이 0이 아니다. 즉, det(A)≠0
행과 열이 선형독립이다. 즉, 어떤 열/행 벡터도 다른 열/행 벡터와 공선(colinear)하지 않는다.
랭크가 차원 n과 같다.

이 중 하나라도 실패하면 역행렬은 존재하지 않습니다.

행렬식과 가역성

행렬식은 직접적인 수치적 판별을 제공합니다. 따라서 det(A)=0이면 A의 랭크는 차원보다 엄Strictly 작으며, A가 나타내는 변환이 적어도 한 차원에서 붕괴하므로 A의 역변환을 구하는 것은 불가능합니다. 즉, A는 역행렬을 갖지 않습니다.

det(A)가 0이 아니면 역행렬이 존재하며 계산할 수 있습니다. 이 동치는 모든 정사각행렬에 대해 성립하며, 실용적으로는 더 이상의 전개가 필요하지 않습니다. 직관적으로 행렬식은 A가 공간의 부피를 얼마나 스케일링하는지를 나타내는 스칼라로 볼 수 있습니다.

따라서 |det(A)| > 1이면 A가 공간을 확장하고, 행렬식이 음수이면 공간의 방향을 뒤집으며, |det(A)| < 1이면 공간을 수축하고, 행렬식이 0이면 A가 나타내는 변환이 그 공간의 차원을 낮춥니다(예: 두 축이 서로 겹쳐지듯이 붕괴).

가역 vs. 비가역(특이) 행렬

역행렬을 갖는 행렬을 가역(또는 비특이)이라 하고, 역행렬이 없는 행렬을 특이(singular)라 합니다.

속성	가역행렬	특이행렬
행렬식	det(A) ≠ 0	det(A)=0
랭크	rank(A)=n	Rank(A)<n
행/열	선형독립	적어도 하나의 선형종속
Ax=b의 해	정확히 한 개	없거나 무한히 많음

역행렬을 구하는 방법

수작업으로는 두 가지 표준 방법이 있으며, 소프트웨어로는 직접 계산할 수 있습니다.

2×2 행렬 공식

다음과 같은 경우

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

det(A)=ad-bc≠0이면,

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

행 소거(가우스-조던)

확대행렬 [A| I]를 만든 뒤, 기본 행 연산을 적용해 왼쪽 절반을 I로 만듭니다. 그러면 오른쪽 절반이 A^-1가 됩니다.

소프트웨어 사용(Python 등)

Python의 NumPy에서는 det(A) ≠ 0을 확인한 후 numpy.linalg.inv(A)로 역행렬을 구합니다.

가역행렬의 예

다음 2x2 행렬을 생각해 봅시다.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

먼저 행렬식을 계산합니다.

$\det(A) = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 \neq 0.$

따라서 A는 가역입니다. 2x2 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

이제 결과를 검산해 봅시다.

$A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$