Matrice invertibile: definizione, proprietà ed esempi

Alcune matrici si comportano come numeri che si possono dividere, perché la trasformazione può essere “annullata” moltiplicando per un'altra matrice. Una matrice invertibile è quindi una matrice quadrata che ammette una matrice inversa, detta appunto inversa.

Questa proprietà è fondamentale, ad esempio, nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari, dove l'inversa consente di calcolare direttamente le variabili incognite del sistema.

Nelle sezioni seguenti presenterò le definizioni precise, le condizioni di invertibilità, le principali proprietà, i metodi di calcolo e, naturalmente, molti esempi concreti.

Che cos'è una matrice invertibile?

Una matrice quadrata A di dimensioni n×n è invertibile se esiste un'altra matrice n×n B tale che 

dove I è la matrice identità della stessa dimensione (n×n). La matrice B si indica con A^-1 (quasi come A alla potenza -1) ed è chiamata inversa di A. 

È molto importante notare che solo le matrici quadrate possono essere invertibili e che le matrici non quadrate non hanno inversa. Ciò deriva dalla biiettività in algebra lineare. Ma, per mantenere intuitivo questo articolo, ci accontenteremo di questa semplice regola.

Che cos'è la matrice identità?

La matrice identità I è la matrice quadrata che funge da identità moltiplicativa nell'algebra delle matrici. Moltiplicare qualsiasi matrice compatibile per I la lascia invariata. Puoi pensarla come una trasformazione neutra, o più rigorosamente, come una trasformazione identità.

Nel caso 2x2, è:

Un esempio 3x3 è

La relazione definitoria è 

Questo mostra che moltiplicare A per la sua inversa riporta il sistema a questo punto di partenza neutro. Sebbene il prodotto tra matrici in generale non sia commutativo, in questo caso particolare l'ordine non conta: $=I$, perché A e A⁻¹ sono definite come inverse l'una dell'altra.

Condizioni perché una matrice sia invertibile

Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se soddisfa tre condizioni equivalenti:

• Il suo determinante è diverso da zero, cioè det(A)≠0.
• Le sue righe o colonne sono linearmente indipendenti, quindi nessun vettore colonna/riga è colineare con un altro vettore colonna/riga.
• Ha rango pieno uguale alla sua dimensione n.

Se una qualsiasi di queste condizioni fallisce, l'inversa non esiste.

Determinante e invertibilità

Il determinante fornisce un test numerico diretto. Quindi, se det(A)=0, il rango di A è strettamente minore del numero di dimensioni; di conseguenza la trasformazione descritta da A collassa almeno in una dimensione, il che da solo rende impossibile recuperare la trasformazione inversa di A: formalmente, A non ha inversa.

Se det(A) è diverso da zero, allora un'inversa esiste e può essere calcolata. Questa equivalenza vale per ogni matrice quadrata e non richiede ulteriori dimostrazioni per scopi pratici. Intuitivamente, puoi pensare al determinante come a uno scalare che rappresenta come A scala il volume dello spazio.

Pertanto, un valore |det(A)| > 1 significa che A espande lo spazio; un determinante negativo significa che A inverte l'orientazione dello spazio; per |det(A)| < 1, A contrae lo spazio; e, naturalmente, un determinante nullo significa che la trasformazione descritta da A riduce la dimensionalità di quello spazio (come far collassare due assi insieme).

Matrici invertibili vs non invertibili (singolari)

Una matrice che possiede un'inversa si dice invertibile (o non singolare). Una matrice senza inversa si dice singolare.

Come trovare l'inversa di una matrice

Esistono due metodi manuali standard, più un calcolo diretto via software.

Formula per matrici 2×2

Per

con det(A)=ad-bc≠0,

Riduzione di riga (Gauss-Jordan)

Forma la matrice aumentata [A|I] e applica operazioni elementari sulle righe finché la metà sinistra non diventa I. La metà destra conterrà allora A^-1.

Uso del software (Python, ecc.)

In Python, con NumPy, l'inversa si ottiene con numpy.linalg.inv(A) dopo aver verificato che det(A) ≠ 0.

Esempio di matrice invertibile

Considera la matrice 2x2:

Per prima cosa, calcola il determinante:

Dunque, A è invertibile. Applicando la formula 2x2 otteniamo:

Verifichiamo ora il risultato ottenuto:

Lo stesso vale per A^-1A.

Perché le matrici invertibili sono importanti

Le matrici invertibili sono necessarie ogni volta che una trasformazione lineare deve essere invertita esattamente. Nei sistemi lineari, garantiscono un'unica soluzione. Nel machine learning compaiono nelle equazioni normali dei minimi quadrati ordinari, ad esempio quando la matrice dei dati ha rango di colonna pieno.

Un altro esempio è nella computer grafica, dove rappresentano trasformazioni reversibili come rotazioni, scalature e traslazioni che devono essere annullate per il rendering o l'animazione. Compaiono anche in fisica per risolvere, ad esempio, sistemi di equazioni differenziali ordinarie, e hanno molti, moltissimi altri impieghi quotidiani.

Matrici invertibili e sistemi lineari

Un sistema di equazioni lineari può essere scritto in forma compatta come Ax=b, dove A è detta matrice dei coefficienti, x il vettore delle incognite e b il vettore dei termini noti. Se A è invertibile, la soluzione unica si ottiene direttamente con

In questo caso, nessun'altra soluzione soddisfa l'equazione.

Errori comuni con le matrici invertibili

Questi sono tra gli errori più frequenti in cui si inciampa:

• Supporre che ogni matrice quadrata sia invertibile.
• Dimenticare di controllare il determinante prima di tentare l'inversione.
• Confondere l'inversa con la trasposta (coincidono solo per certe matrici ortogonali).
• Trattare una matrice singolare come invertibile, ottenendo risultati privi di senso o instabili nei calcoli numerici.

Proprietà chiave delle matrici invertibili

Queste sono le principali proprietà delle matrici invertibili nell'ambito di questo articolo:

Siano A e B matrici invertibili n×n. Allora:

L'inversa è unica.

Il prodotto AB è invertibile e 

L'inversa dell'inversa è la matrice originale:

Il determinante dell'inversa è il reciproco: 

La trasposta dell'inversa è uguale all'inversa della trasposta: 

Conclusione

Una matrice invertibile è una matrice quadrata che ha un'unica inversa che soddisfa A·A^-1 = I.

I test decisivi sono un determinante diverso da zero e l'indipendenza lineare delle righe o delle colonne. Queste proprietà sono gli unici indicatori che il sistema lineare ha esattamente una soluzione e che la trasformazione lineare può essere invertita esattamente.

Se padroneggi le matrici invertibili, risolvere sistemi di equazioni lineari sarà estremamente pratico. Non solo: potrai costruire modelli affidabili in data science o eseguire calcoli esatti in qualsiasi ambito che si basi sull'algebra lineare.