可逆矩阵：定义、性质与示例

了解什么是可逆矩阵、如何判断矩阵是否可逆，以及为什么矩阵的逆在线性代数和数据科学中至关重要。

更新 2026年8月12日 · 5分钟读

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ChatGPT Claude Perplexity

有些矩阵的行为类似可被“相除”的数字，因为通过与另一个矩阵相乘可以“撤销”其变换。因此，可逆矩阵是指存在逆矩阵（称为其逆）的方阵。

这种性质在求解线性方程组时至关重要，例如，逆矩阵允许我们直接计算该系统的未知量。

在接下来的章节中，我将给出精确定义、可逆性的判定条件、主要性质、计算方法，并提供许多具体示例。

什么是可逆矩阵？

一个 n×n 的方阵 A 是可逆的，当且仅当存在另一个 n×n 矩阵 B 使得

其中 I 是同阶（n×n）的单位矩阵。矩阵 B 记作 A^-1（类似 A 的 -1 次方），称为 A 的逆矩阵。

务必要注意，只有方阵才可能是可逆的，非方阵没有逆。这源于线性代数中的双射性。但为便于直观理解，本文中我们以这一简单规则为准。

什么是单位矩阵？

单位矩阵 I 是在矩阵代数中充当乘法恒等元的方阵。因此，将任何相容维度的矩阵与 I 相乘都会保持不变。您可以将其看作一种“中性”变换，或更严格地说，是恒等变换。

对于 2x2 情况，它是：

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

一个 3x3 的示例如下

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

其定义关系为

$A A^{-1} = I$

这表明将 A 与其逆相乘会把系统带回这个中性的起点。尽管矩阵乘法一般并不交换，但在这个特殊情形下次序无关： $= I$ ，因为 A 与 A⁻¹ 是彼此的逆。

矩阵可逆的条件

方阵 A 可逆当且仅当满足以下三个等价条件：

行列式不为零，即 det(A)≠0。
其行或列线性无关，即不存在某个列/行向量与另一列/行向量共线。
秩为满秩，且等于其维度 n。

若任一条件不成立，则不存在逆矩阵。

行列式与可逆性

行列式提供了直接的数值检验。因此，若 det(A)=0，则 A 的秩严格小于维度数，意味着 A 所描述的变换至少在一个维度上发生了塌缩，这使得无法恢复 A 的逆变换，形式上即 A 不存在逆。

若 det(A) 非零，则逆矩阵存在且可被计算。该等价性对所有方阵成立，出于实用目的无需进一步推导。直观地，您可将行列式视为一个标量，表示 A 如何缩放空间的体积。

因此，当 |det(A)| > 1 时，A 扩张空间；行列式为负表示 A 反转空间的取向；当 |det(A)| < 1 时，A 收缩空间；而行列式为零则表示 A 所描述的变换降低了该空间的维度（如将两根坐标轴折叠到一起）。

可逆矩阵与不可逆（奇异）矩阵

拥有逆的矩阵称为可逆矩阵（或非奇异矩阵）。没有逆的矩阵称为奇异矩阵。

性质	可逆矩阵	奇异矩阵
行列式	det(A) ≠ 0	det(A)=0
秩	rank(A)=n	Rank(A)<n
行/列	线性无关	至少存在一次线性相关
Ax=b 的解	恰有一个解	无解或有无穷多解

如何求矩阵的逆

有两种常见的手工方法，另可在软件中直接计算。

2×2 矩阵公式

对于

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

当 det(A)=ad-bc≠0 时，

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

行变换（高斯-若尔当）

构造增广矩阵 [A| I]，对其施行初等行变换，直到左半部分化为 I。此时右半部分即为 A^-1。

使用软件（Python 等）

在 Python 中使用 NumPy，确认 det(A) ≠ 0 之后，可通过 numpy.linalg.inv(A) 得到逆矩阵。

可逆矩阵示例

考虑如下 2x2 矩阵：

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

首先计算行列式：

$\det(A) = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 \neq 0.$

因此，A 可逆。应用 2x2 公式得到：

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

现在验证我们的结果：

$A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$