Inverse matrix: definitie, eigenschappen en voorbeelden

Sommige matrices gedragen zich als getallen waarmee je kunt delen, omdat de transformatie kan worden “ongedaan gemaakt” door vermenigvuldiging met een andere matrix. Een inverse matrix is dus een vierkante matrix met een inverse matrix, de zogeheten inverse.

Deze eigenschap is fundamenteel bij het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen, waar de inverse bijvoorbeeld een directe berekening van de onbekenden van dat stelsel mogelijk maakt.

In de volgende secties geef ik de precieze definities, de voorwaarden voor inverseerbaarheid, de belangrijkste eigenschappen, de rekenmethoden en natuurlijk ook veel concrete voorbeelden.

Wat is een inverse matrix?

Een vierkante matrix A van dimensies n×n is inverseerbaar als er een andere n×n-matrix B bestaat zodanig dat 

Waarbij I de identiteitmatrix van dezelfde grootte (n×n) is. De matrix B wordt genoteerd als A^-1 (bijna als A tot de macht -1) en heet de inverse van A. 

Het is heel belangrijk om te benadrukken dat alleen vierkante matrices inverseerbaar kunnen zijn en dat niet-vierkante matrices geen inverse hebben. Dit komt voort uit het begrip bijectiviteit in de lineaire algebra. Maar voor de intuïtiviteit van dit artikel houden we het bij deze eenvoudige regel.

Wat is de identiteitmatrix?

De identiteitmatrix I is de vierkante matrix die fungeert als de multiplicatieve identiteit in de matrixalgebra. Vermenigvuldigen met I laat iedere compatibele matrix dus onveranderd. Je kunt het zien als een neutrale transformatie, of formeler: een identiteitstransformatie.

Voor het 2x2-geval is dat:

Een 3x3-voorbeeld is

De definiërende relatie is 

Dit laat zien dat vermenigvuldigen van A met zijn inverse het systeem terugbrengt naar dit neutrale startpunt. Hoewel matrixvermenigvuldiging in het algemeen niet commutatief is, maakt in dit specifieke geval de volgorde niet uit: $=I$, omdat A en A⁻¹ als elkaars inversen zijn gedefinieerd.

Voorwaarden voor inverseerbaarheid

Een vierkante matrix A is precies dan inverseerbaar wanneer aan drie equivalente voorwaarden wordt voldaan:

• De determinant is niet nul. Dus det(A)≠0
• De rijen of kolommen zijn lineair onafhankelijk, dus geen kolom-/rijvector is colineair met een andere kolom-/rijvector.
• De rang is volledig en gelijk aan de dimensie n.

Als een van deze voorwaarden faalt, bestaat er geen inverse.

Determinant en inverseerbaarheid

De determinant biedt een directe numerieke test. Als det(A)=0, dan is de rang van A strikt kleiner dan het aantal dimensies; de transformatie die A beschrijft klapt dan in ten minste één dimensie in, wat het op zichzelf al onmogelijk maakt om de inverse transformatie van A terug te vinden; formeel betekent dit dat A geen inverse heeft.

Als det(A) niet nul is, dan bestaat er een inverse en kan die berekend worden. Deze equivalentie geldt voor elke vierkante matrix en vergt voor praktische doeleinden geen verdere afleiding. Intuïtief kun je de determinant zien als een scalair die weergeeft hoe A het volume van de ruimte schaalt.

Daarom betekent een grootte |det(A)| > 1 dat A de ruimte uitzet, een negatieve determinant dat A de oriëntatie van de ruimte omkeert, bij |det(A)| < 1 krimpt A de ruimte, en vanzelfsprekend betekent een nuldeterminant dat de transformatie die A beschrijft de dimensionaliteit van die ruimte verlaagt (zoals het samenklappen van twee assen).

Inverseerbare vs. niet-inverseerbare (singuliere) matrices

Een matrix die een inverse heeft, heet inverseerbaar (of niet-singulier). Een matrix zonder inverse heet singulier.

Hoe vind je de inverse van een matrix

Er zijn twee standaard handmatige methoden, plus een directe berekening in software.

2×2-matrixformule

Voor

Met det(A)=ad-bc≠0,

Rijreductie (Gauss-Jordan)

Vorm de aangevulde matrix [A| I] en voer elementaire rijoperaties uit totdat de linkerhelft I wordt. De rechterhelft bevat dan A^-1.

Met software (Python, enz.)

In Python met NumPy krijg je de inverse via numpy.linalg.inv(A) nadat je hebt gecontroleerd dat det(A) ≠ 0.

Voorbeeld van een inverseerbare matrix

Beschouw de 2x2-matrix:

Bereken eerst de determinant:

Dus A is inverseerbaar. Toepassing van de 2x2-formule levert op:

Laten we onze resultaten nu verifiëren:

Hetzelfde geldt voor A^-1A.

Waarom inverseerbare matrices belangrijk zijn

Inverseerbare matrices zijn nodig wanneer een lineaire transformatie exact moet worden teruggedraaid. In lineaire stelsels garanderen ze een unieke oplossing. In machine learning komen ze voor in de normale vergelijkingen van gewone kleinste kwadraten, bijvoorbeeld wanneer de designmatrix een volledige kolomrang heeft.

Een ander voorbeeld is in computergrafiek, waar ze omkeerbare transformaties vertegenwoordigen zoals rotaties, schalingen en translatie die ongedaan moeten worden gemaakt voor rendering of animatie. Ze komen ook voor in de natuurkunde, bijvoorbeeld bij het oplossen van een stelsel gewone differentiaalvergelijkingen, en ze hebben nog talloze andere dagelijkse toepassingen.

Inverseerbare matrices en lineaire stelsels

Een stelsel lineaire vergelijkingen kan compact worden geschreven als Ax=b, waarbij A de coëfficiëntenmatrix is, x de vector met onbekenden en b de constante vector. Als A inverseerbaar is, wordt de unieke oplossing direct verkregen via

Geen andere oplossing voldoet in dit geval aan de vergelijking.

Veelgemaakte fouten met inverseerbare matrices

Dit zijn enkele van de meest voorkomende fouten waar mensen over struikelen:

• Aannemen dat elke vierkante matrix inverseerbaar is.
• Vergeten de determinant te controleren voordat je aan inverteren begint.
• De inverse verwarren met de getransponeerde (die vallen alleen samen voor bepaalde orthogonale matrices).
• Een singuliere matrix behandelen als inverseerbaar en zo betekenisloze of instabiele resultaten krijgen in numerieke berekeningen.

Belangrijkste eigenschappen van inverseerbare matrices

Dit zijn de belangrijkste eigenschappen van inverseerbare matrices binnen de reikwijdte van dit artikel:

Laat A en B inverseerbare n×n-matrices zijn. Dan geldt:

De inverse is uniek.

Het product AB is inverseerbaar en 

De inverse van de inverse is de oorspronkelijke matrix:

De determinant van de inverse is het omgekeerde: 

De getransponeerde van de inverse is gelijk aan de inverse van de getransponeerde: 

Conclusie

Een inverseerbare matrix is een vierkante matrix met een unieke inverse die voldoet aan A.A^-1 = I.

De doorslaggevende tests zijn een niet-nul determinant en lineaire onafhankelijkheid van de rijen of kolommen. Deze eigenschappen zijn de enige aanwijzingen dat het lineaire stelsel precies één oplossing heeft en dat de lineaire transformatie exact kan worden teruggedraaid.

Als je inverseerbare matrices beheerst, wordt het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen extreem handig. Bovendien kun je betrouwbare modellen bouwen in data science of exacte berekeningen uitvoeren in elk vakgebied dat op lineaire algebra steunt.