Ma trận khả nghịch: Định nghĩa, tính chất và ví dụ

Một số ma trận có hành vi giống như các số có thể chia được, vì phép biến đổi có thể được “hoàn tác” bằng cách nhân với một ma trận khác. Do đó, ma trận khả nghịch là ma trận vuông có một ma trận nghịch đảo, gọi là nghịch đảo của nó.

Tính chất này là nền tảng khi giải hệ phương trình tuyến tính, chẳng hạn, nơi nghịch đảo cho phép tính trực tiếp các ẩn số của hệ đó.

Trong các phần sau, tôi sẽ trình bày các định nghĩa chính xác, các điều kiện để khả nghịch, những tính chất chính, phương pháp tính toán và, dĩ nhiên, nhiều ví dụ cụ thể.

Ma trận khả nghịch là gì?

Ma trận vuông A kích thước n×n là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận n×n khác B sao cho 

Trong đó I là ma trận đơn vị cùng kích thước (n×n). Ma trận B được ký hiệu là A^-1 (gần giống A mũ -1) và được gọi là nghịch đảo của A. 

Điều rất quan trọng cần lưu ý là chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch và ma trận không vuông thì không có nghịch đảo. Điều này bắt nguồn từ tính song ánh trong đại số tuyến tính. Nhưng để trực quan trong bài viết này, chúng ta sẽ hài lòng với quy tắc đơn giản này.

Ma trận đơn vị là gì?

Ma trận đơn vị I là ma trận vuông đóng vai trò như phần tử đơn vị của phép nhân trong đại số ma trận. Vì vậy, nhân bất kỳ ma trận tương thích nào với I đều giữ nguyên nó. Bạn có thể coi đây là một phép biến đổi trung hoà, hay nói chính xác hơn, một phép biến đổi đồng nhất.

Với trường hợp 2x2, nó là:

Một ví dụ 3x3 là

Quan hệ xác định là 

Điều này cho thấy nhân A với nghịch đảo của nó đưa hệ trở về điểm xuất phát trung hoà. Mặc dù phép nhân ma trận nói chung không giao hoán, nhưng trong trường hợp đặc biệt này thứ tự không quan trọng: $=I$, vì A và A⁻¹ được định nghĩa là nghịch đảo của nhau.

Điều kiện để một ma trận khả nghịch

Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi thoả mãn ba điều kiện tương đương sau:

• Định thức của nó khác 0. Tức là, det(A)≠0
• Các hàng hoặc cột độc lập tuyến tính, nên không có vectơ cột/hàng nào đồng phương với một vectơ cột/hàng khác.
• Hạng đầy đủ bằng với kích thước n của nó.

Nếu một trong các điều kiện này không thoả, sẽ không tồn tại nghịch đảo.

Định thức và tính khả nghịch

Định thức cung cấp một phép thử số học trực tiếp. Do đó, nếu det(A)=0, thì hạng của A nhỏ hơn số chiều, vì vậy phép biến đổi do A mô tả bị sụp lại ít nhất theo một chiều, điều này tự nó khiến không thể truy hồi phép biến đổi nghịch của A, tức là về mặt hình thức A không có nghịch đảo.

Nếu det(A) khác 0, thì tồn tại nghịch đảo và có thể tính được. Tương đương này đúng với mọi ma trận vuông và không cần suy diễn thêm cho mục đích thực hành. Trực giác mà nói, bạn có thể coi định thức như một số vô hướng biểu thị cách A co giãn thể tích của không gian.

Vì vậy, độ lớn |det(A)| > 1 nghĩa là A làm giãn không gian, định thức âm nghĩa là A đảo hướng của không gian, với |det(A)| < 1, A làm co không gian, và dĩ nhiên, định thức bằng 0 nghĩa là phép biến đổi do A mô tả làm giảm số chiều của không gian đó (như ép hai trục lại với nhau).

Ma trận khả nghịch so với không khả nghịch (suy biến)

Ma trận có nghịch đảo được gọi là ma trận khả nghịch (hoặc không suy biến). Ma trận không có nghịch đảo được gọi là suy biến.

Cách tìm nghịch đảo của một ma trận

Có hai phương pháp thủ công tiêu chuẩn, cùng với phép tính trực tiếp bằng phần mềm.

Công thức cho ma trận 2×2

Với

Với det(A)=ad-bc≠0,

Khử dòng (Gauss–Jordan)

Lập ma trận mở rộng [A| I] và áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng cho đến khi nửa bên trái trở thành I. Khi đó nửa bên phải chứa A^-1.

Dùng phần mềm (Python, v.v.)

Trong Python với NumPy, có thể lấy nghịch đảo bằng numpy.linalg.inv(A) sau khi xác nhận det(A) ≠ 0.

Ví dụ về một ma trận khả nghịch

Xét ma trận 2x2:

Trước hết, tính định thức:

Vậy A khả nghịch. Áp dụng công thức 2x2 ta được:

Giờ hãy kiểm chứng kết quả vừa thu được:

Điều tương tự đúng với A^-1A.

Vì sao ma trận khả nghịch quan trọng

Ma trận khả nghịch là cần thiết bất cứ khi nào một phép biến đổi tuyến tính phải được đảo ngược chính xác. Trong hệ tuyến tính, chúng đảm bảo nghiệm duy nhất. Trong học máy, chúng xuất hiện trong phương trình chuẩn của bình phương tối thiểu thông thường, như khi ma trận thiết kế có hạng cột đầy đủ.

Một ví dụ khác là trong đồ hoạ máy tính, vì chúng biểu diễn các phép biến đổi có thể đảo ngược như quay, co giãn và tịnh tiến cần được hoàn tác để kết xuất hoặc hoạt hình. Chúng cũng xuất hiện trong vật lý để giải hệ phương trình vi phân thường, chẳng hạn, và còn rất nhiều ứng dụng hằng ngày khác.

Ma trận khả nghịch và hệ tuyến tính

Một hệ phương trình tuyến tính có thể viết gọn là Ax=b, trong đó A là ma trận hệ số, x là vectơ ẩn, và b là vectơ hằng. Nếu A khả nghịch, nghiệm duy nhất thu được trực tiếp bằng

Không có nghiệm nào khác trong trường hợp này thoả phương trình.

Những lỗi thường gặp với ma trận khả nghịch

Đây là một trong những lỗi mà mọi người thường vấp phải:

• Cho rằng mọi ma trận vuông đều khả nghịch.
• Bỏ qua bước kiểm tra định thức trước khi tìm nghịch đảo.
• Nhầm lẫn nghịch đảo với chuyển vị (chúng chỉ trùng nhau với một số ma trận trực giao nhất định).
• Xem ma trận suy biến như khả nghịch và thu được kết quả vô nghĩa hoặc không ổn định trong tính toán số.

Các tính chất chính của ma trận khả nghịch

Đây là những tính chất chính của ma trận khả nghịch trong phạm vi bài viết này:

Gọi A và B là các ma trận vuông n×n khả nghịch. Khi đó:

Nghịch đảo là duy nhất.

Tích AB là khả nghịch và 

Nghịch đảo của nghịch đảo là ma trận ban đầu:

Định thức của nghịch đảo là nghịch đảo của định thức: 

Chuyển vị của nghịch đảo bằng nghịch đảo của chuyển vị: 

Kết luận

Ma trận khả nghịch là ma trận vuông có một nghịch đảo duy nhất thoả A.A^-1 = I.

Các phép thử mang tính quyết định là định thức khác 0 và tính độc lập tuyến tính của các hàng hoặc cột. Những tính chất này là chỉ dấu duy nhất cho thấy hệ tuyến tính có đúng một nghiệm và phép biến đổi tuyến tính có thể được đảo ngược chính xác.

Nếu bạn nắm vững ma trận khả nghịch, việc giải hệ phương trình tuyến tính sẽ trở nên cực kỳ thuận tiện. Không chỉ vậy, bạn còn có thể xây dựng các mô hình đáng tin cậy trong khoa học dữ liệu hoặc thực hiện các phép tính chính xác trong bất kỳ lĩnh vực nào dựa vào đại số tuyến tính.