เมทริกซ์ผกผัน: คำนิยาม คุณสมบัติ และตัวอย่าง

เรียนรู้ว่าเมทริกซ์ผกผันคืออะไร วิธีตรวจสอบว่าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ผกผันหรือไม่ และเหตุใดอินเวิร์สของเมทริกซ์จึงสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้นและดาต้าไซเอนซ์

อัปเดตแล้ว 12 ส.ค. 2569 · 5 นาที อ่าน

สำรวจด้วย AI

ChatGPT Claude Perplexity

เมทริกซ์บางตัวมีพฤติกรรมคล้ายตัวเลขที่สามารถหารได้ เพราะการแปลงสามารถ “ย้อนกลับ” ได้ด้วยการคูณกับเมทริกซ์อีกตัวหนึ่ง ดังนั้น เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีเมทริกซ์ผกผันของมันเอง เรียกว่า อินเวิร์ส

คุณสมบัตินี้เป็นพื้นฐานในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น เช่น ที่ซึ่งอินเวิร์สช่วยให้คำนวณหาตัวแปรไม่ทราบค่าในระบบนั้นได้โดยตรง

ในส่วนถัดไปนี้ จะอธิบายนิยามอย่างเป็นทางการ เงื่อนไขที่ทำให้ผกผันได้ คุณสมบัติหลัก วิธีคำนวณ และแน่นอน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมหลายกรณี

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร?

ให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด n×n จะเป็นเมทริกซ์ผกผันได้ก็ต่อเมื่อมีเมทริกซ์ขนาด n×n อีกตัวหนึ่ง B ที่ทำให้

โดยที่ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดเดียวกัน (n×n) เมทริกซ์ B เขียนแทนด้วย A^-1 (คล้าย A ยกกำลัง -1) และเรียกว่าอินเวิร์สของ A

ควรสังเกตให้ชัดเจนว่า มีเพียงเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้นที่เป็นเมทริกซ์ผกผันได้ และเมทริกซ์ที่ไม่ใช่จัตุรัสไม่มีอินเวิร์ส เหตุผลมาจากเรื่องไบเจกทิวิตีในพีชคณิตเชิงเส้น แต่เพื่อความเข้าใจง่ายของบทความนี้ จะยึดตามกฎง่าย ๆ นี้

เมทริกซ์เอกลักษณ์คืออะไร?

เมทริกซ์เอกลักษณ์ I คือเมทริกซ์จัตุรัสที่ทำหน้าที่เป็นเอกลักษณ์การคูณในพีชคณิตของเมทริกซ์ ดังนั้น การคูณเมทริกซ์ใด ๆ ที่เข้ากันได้ด้วย I จะไม่เปลี่ยนแปลงเมทริกซ์นั้น คิดได้ว่าเป็นการแปลงที่เป็นกลาง หรือกล่าวอย่างเคร่งครัดคือ การแปลงเอกลักษณ์

กรณี 2x2 คือ:

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

ตัวอย่าง 3x3 คือ

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

ความสัมพันธ์ที่กำหนดคือ

$A A^{-1} = I$

นี่แสดงให้เห็นว่าการคูณ A กับอินเวิร์สของมันจะพาระบบกลับสู่จุดเริ่มต้นที่เป็นกลางนี้ แม้ว่าการคูณเมทริกซ์ทั่วไปจะไม่สลับที่ได้ แต่ในกรณีนี้ลำดับไม่สำคัญ: $= I$ เพราะ A และ A⁻¹ ถูกกำหนดให้เป็นอินเวิร์สซึ่งกันและกัน

เงื่อนไขที่ทำให้เมทริกซ์ผกผันได้

เมทริกซ์จัตุรัส A จะเป็นเมทริกซ์ผกผันก็ต่อเมื่อมันเป็นไปตามเงื่อนไขที่สมมูลกันสามข้อดังนี้:

ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือ det(A)≠0
แถวหรือคอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น จึงไม่มีเวกเตอร์คอลัมน์/แถวที่อยู่ในแนวเดียวกันกับเวกเตอร์คอลัมน์/แถวอื่น
มีแรงก์เต็มเท่ากับมิติ n

หากข้อใดข้อหนึ่งไม่เป็นจริง จะไม่มีอินเวิร์ส

ดีเทอร์มิแนนต์และความเป็นเมทริกซ์ผกผัน

ดีเทอร์มิแนนต์ให้การทดสอบเชิงตัวเลขโดยตรง ดังนั้น หาก det(A)=0 แรงก์ของ A จะน้อยกว่าจำนวนมิติอย่างเคร่งครัด การแปลงที่อธิบายโดย A จึงยุบตัวลงอย่างน้อยหนึ่งมิติ ซึ่งเพียงเท่านี้ก็ทำให้ไม่สามารถกู้การแปลงผกผันของ A ได้ ซึ่งในเชิงรูปแบบหมายความว่า A ไม่มีอินเวิร์ส

ถ้า det(A) ไม่เป็นศูนย์ จะมีอินเวิร์สและคำนวณได้ ความสมมูลนี้เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสทุกตัว และไม่ต้องการการพิสูจน์เพิ่มเติมเพื่อการใช้งานจริง โดยสัญชาตญาณ อาจมองดีเทอร์มิแนนต์เป็นสเกลาร์ที่บอกว่า A ขยายขนาดปริมาตรของปริภูมิอย่างไร

ดังนั้น ขนาด |det(A)| > 1 หมายถึง A ขยายปริภูมิ ดีเทอร์มิแนนต์ติดลบหมายถึง A พลิกทิศทางของปริภูมิ สำหรับ |det(A)| < 1 นั้น A จะหดปริภูมิ และแน่นอนว่า ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์หมายถึงการแปลงที่ A อธิบายลดมิติของปริภูมินั้นลง (เช่น การทำให้แกนสองแกนยุบรวมกัน)

เมทริกซ์ผกผัน vs. เมทริกซ์ไม่ผกผัน (ซิงกูลาร์)

เมทริกซ์ที่มีอินเวิร์สเรียกว่า เมทริกซ์ผกผัน (หรือไม่ซิงกูลาร์) เมทริกซ์ที่ไม่มีอินเวิร์สเรียกว่า ซิงกูลาร์

คุณสมบัติ	เมทริกซ์ผกผัน	เมทริกซ์ซิงกูลาร์
ดีเทอร์มิแนนต์	det(A) ≠ 0	det(A)=0
แรงก์	rank(A)=n	Rank(A)<n
แถว/คอลัมน์	อิสระเชิงเส้น	มีความเป็นเชิงเส้นพึ่งพากันอย่างน้อยหนึ่งกรณี
คำตอบของ Ax=b	มีคำตอบเดียวพอดี	ไม่มีคำตอบหรือมีอนันต์คำตอบ

วิธีหาอินเวิร์สของเมทริกซ์

มีสองวิธีทำด้วยมือมาตรฐาน และอีกวิธีคือคำนวณโดยตรงด้วยซอฟต์แวร์

สูตรเมทริกซ์ 2×2

สำหรับ

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

เมื่อ det(A)=ad-bc≠0,

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

การลดรูปแถว (เกาส์-จอร์แดน)

สร้างเมทริกซ์พ่วง [A| I] แล้วใช้การดำเนินการแถวขั้นมูลฐานจนกว่าครึ่งซ้ายจะกลายเป็น I ครึ่งขวาจะเป็น A^-1

ใช้ซอฟต์แวร์ (Python เป็นต้น)

ใน Python ด้วย NumPy หาอินเวิร์สได้ด้วย numpy.linalg.inv(A) หลังจากตรวจสอบแล้วว่า det(A) ≠ 0

ตัวอย่างเมทริกซ์ผกผัน

พิจารณาเมทริกซ์ 2x2 ต่อไปนี้:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

เริ่มจากคำนวณดีเทอร์มิแนนต์:

$\det(A) = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 \neq 0.$

ดังนั้น A เป็นเมทริกซ์ผกผัน ใช้สูตร 2x2 ได้ว่า:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

มาตรวจสอบผลที่ได้กันตอนนี้:

$A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$

ผลเช่นเดียวกันเป็นจริงสำหรับ A^-1A

เหตุใดเมทริกซ์ผกผันจึงสำคัญ

เมทริกซ์ผกผันจำเป็นเมื่อใดก็ตามที่ต้องย้อนการแปลงเชิงเส้นได้อย่างแม่นยำ ในระบบเชิงเส้น เมทริกซ์ผกผันเป็นหลักประกันว่าจะมีคำตอบเดียว ในงานแมชชีนเลิร์นนิง เมทริกซ์ผกผันปรากฏใน สมการปกติของวิธีกำลังสองน้อยที่สุดแบบสามัญ เช่น เมื่อเมทริกซ์ออกแบบมีแรงก์คอลัมน์เต็ม

อีกตัวอย่างคือในงานกราฟิกคอมพิวเตอร์ ซึ่งเมทริกซ์ผกผันแทนการแปลงที่ย้อนกลับได้ เช่น การหมุน การสเกล และการเลื่อน ที่ต้องย้อนกลับเพื่อการเรนเดอร์หรือแอนิเมชัน นอกจากนี้ยังพบในฟิสิกส์ในการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ เป็นต้น และมีกรณีใช้งานในชีวิตประจำวันอีกมากมาย

เมทริกซ์ผกผันและระบบเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นสามารถเขียนอย่างย่อได้เป็น Ax=b โดยที่ A เรียกว่าเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ x เป็นเวกเตอร์ของตัวไม่ทราบค่า และ b เป็นเวกเตอร์ค่าคงที่ หาก A เป็นเมทริกซ์ผกผัน คำตอบเดียวจะได้โดยตรงจาก

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}.$

ไม่มีคำตอบอื่นที่ทำให้สมการเป็นจริงในกรณีนี้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับเมทริกซ์ผกผัน

ข้อผิดพลาดที่ผู้คนมักสะดุดมีดังนี้:

คิดว่าเมทริกซ์จัตุรัสทุกตัวเป็นเมทริกซ์ผกผันได้
ละเลยการตรวจดีเทอร์มิแนนต์ก่อนพยายามหาอินเวิร์ส
สับสนระหว่างอินเวิร์สกับทรานสโพส (ทั้งสองตรงกันเฉพาะบางเมทริกซ์ตั้งฉากเท่านั้น)
ปฏิบัติต่อเมทริกซ์ซิงกูลาร์ราวกับเป็นเมทริกซ์ผกผัน แล้วได้ผลลัพธ์ที่ไร้ความหมายหรือไม่เสถียรในการคำนวณเชิงตัวเลข

คุณสมบัติสำคัญของเมทริกซ์ผกผัน

คุณสมบัติหลักของเมทริกซ์ผกผันในขอบเขตของบทความนี้มีดังนี้:

ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด n×n ที่ผกผันได้ จะได้ว่า:

อินเวิร์สมีค่าเอกลักษณ์ (มีค่าเดียว)

ผลคูณ AB เป็นเมทริกซ์ผกผัน และ

$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

อินเวิร์สของอินเวิร์สเท่ากับเมทริกซ์เดิม:

$(A^{-1})^{-1} = A$

ดีเทอร์มิแนนต์ของอินเวิร์สเป็นส่วนกลับ:

$\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$

ทรานสโพสของอินเวิร์สเท่ากับอินเวิร์สของทรานสโพส:

$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$

สรุป

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีอินเวิร์สเอกลักษณ์ตัวเดียว ซึ่งทำให้ A.A^-1= I

บททดสอบชี้ขาดคือดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์และแถวหรือคอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น คุณสมบัติเหล่านี้เป็นตัวบ่งชี้เพียงพอว่าระบบเชิงเส้นมีคำตอบเดียวพอดี และการแปลงเชิงเส้นสามารถย้อนกลับได้อย่างแม่นยำ

เมื่อเชี่ยวชาญเรื่องเมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นจะสะดวกอย่างยิ่ง ยิ่งไปกว่านั้น ยังสามารถสร้างโมเดลที่เชื่อถือได้ในงานข้อมูล หรือทำการคำนวณอย่างแม่นยำในทุกสาขาที่อาศัยพีชคณิตเชิงเส้น

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร?

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีเมทริกซ์อีกตัวหนึ่งเรียกว่าอินเวิร์สของมัน การคูณเมทริกซ์เดิมด้วยอินเวิร์สจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งทำหน้าที่เหมือนตัวเลข 1 ในเลขคณิตทั่วไปเมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีเมทริกซ์อีกตัวหนึ่งเรียกว่าอินเวิร์สของมัน การคูณเมทริกซ์เดิมด้วยอินเวิร์สจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งทำหน้าที่เหมือนตัวเลข 1 ในเลขคณิตทั่วไป

จะรู้ได้อย่างไรว่าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ผกผัน?

เมทริกซ์ซิงกูลาร์คืออะไร?

เมทริกซ์ซิงกูลาร์คือเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่มีอินเวิร์ส ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ และมีอย่างน้อยหนึ่งแถวหรือคอลัมน์ที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวหรือคอลัมน์อื่น ๆ จึงไม่สามารถย้อนด้วยการคูณได้

เหตุใดเมทริกซ์ผกผันจึงสำคัญ?

เมทริกซ์ผกผันเป็นหลักประกันว่าจะมีคำตอบเดียวเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น และมีความสำคัญในดาต้าไซเอนซ์สำหรับงานอย่างเช่นการถดถอยเชิงเส้น ในกราฟิกคอมพิวเตอร์สำหรับการแปลงที่ย้อนกลับได้ และในทุกสาขาที่ต้องการย้อนการดำเนินการเชิงเส้นอย่างแม่นยำ