可逆行列：定義、性質、例

可逆行列とは何か、可逆かどうかの判定方法、そして線形代数やデータサイエンスで逆行列が重要な理由を学びます。

更新 2026年8月12日 · 5 分読む

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ChatGPT Claude Perplexity

ある種の行列は、別の行列を掛けることで変換を「元に戻せる」ため、割り算ができる数のように振る舞います。したがって、可逆行列とは、逆行列（その行列の逆）をもつ正方行列のことです。

この性質は、たとえば連立一次方程式を解くときに本質的です。逆行列があれば、その系の未知数を直接計算できます。

以下では、厳密な定義、可逆性の条件、主要な性質、計算方法、そしてもちろん具体的な例を多数紹介します。

可逆行列とは？

n×n の正方行列 A は、n×n の別の行列 B が存在して

を満たすときに可逆といいます。ここで I は同じサイズ（n×n）の単位行列です。行列 B は A^-1（A の -1 乗のように表す）と書き、A の逆行列と呼ばれます。

重要な点として、可逆なのは正方行列に限られ、非正方行列には逆行列が存在しません。これは線形代数における全単射性に由来しますが、本記事では直感的理解を優先し、この単純なルールに留めます。

単位行列とは？

単位行列 I は、行列の世界で乗法における単位元として振る舞う正方行列です。したがって、適合する任意の行列に I を掛けても、行列は変化しません。中立な変換、より厳密には恒等変換と考えることができます。

2x2 の場合は次のとおりです。

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

3x3 の例は次のとおりです。

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

定義関係は次のとおりです

$A A^{-1} = I$

これは、A にその逆行列を掛けると、中立な出発点に戻ることを示しています。一般に行列の積は可換ではありませんが、この場合に限って順序は問題になりません。 $= I$ となるのは、A と A⁻¹ が互いに逆として定義されているためです。

行列が可逆であるための条件

正方行列 A が可逆であることは、次の三つの同値な条件を満たすことと同値です。

行列式が 0 でない。すなわち det(A)≠0。
行や列が一次独立であり、どの列（行）ベクトルも他の列（行）ベクトルと同一直線上にない。
階数がその次元 n に等しい（フルランク）。

いずれかが成り立たない場合、逆行列は存在しません。

行列式と可逆性

行列式は直接的な数値テストを与えます。したがって det(A)=0 なら、A の階数は次元数よりも真に小さく、A が表す変換は少なくとも一つの次元で潰れており、その時点で A の逆変換を取り戻すことは不可能です。形式的には、A に逆は存在しないことを意味します。

det(A) が 0 でなければ、逆行列は存在し計算できます。この同値性はすべての正方行列に成り立ち、実務上はこれ以上の導出を必要としません。直感的には、行列式は A が空間の体積をどのようにスケールさせるかを表すスカラーだと考えられます。

したがって、|det(A)| > 1 の大きさは A が空間を拡大すること、行列式が負であることは A が空間の向きを反転させること、|det(A)| < 1 なら A が空間を縮小すること、そして行列式が 0 なら A が表す変換が空間の次元を下げること（たとえば二つの軸を重ねてしまうようなもの）を意味します。

可逆行列と非可逆（特異）行列

逆行列をもつ行列は可逆（または非特異）と呼ばれます。逆行列をもたない行列は特異と呼ばれます。

性質	可逆行列	特異行列
行列式	det(A) ≠ 0	det(A)=0
階数	rank(A)=n	Rank(A)<n
行／列	一次独立	少なくとも一つの一次従属
Ax=b の解	ただ一つの解	解なしまたは無数

逆行列の求め方

手計算の代表的な方法が二つ、加えてソフトウェアでの直接計算があります。

2×2 行列の公式

次のとき

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

det(A)=ad-bc≠0 なら、

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

行基本変形（ガウス・ジョルダン）

拡大行列 [A| I] を作り、左半分が I になるまで基本的な行操作を適用します。すると右半分に A^-1 が現れます。

ソフトウェアの利用（Python など）

Python の NumPy では、det(A) ≠ 0 を確認したうえで numpy.linalg.inv(A) により逆行列を得られます。

可逆行列の例

次の 2x2 行列を考えます。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

まず行列式を計算します。

$\det(A) = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 \neq 0.$

したがって A は可逆です。2x2 の公式を適用すると、次のようになります。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

では、得られた結果を検算しましょう。

$A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$