Propagasi Galat: Bagaimana Ketidakpastian Menyebar Melalui Perhitungan

Saat kita melakukan perhitungan dengan nilai hasil pengukuran, kita bekerja dengan ketidakpastian. Setiap pengukuran memiliki ketidakpastian, yang sering dinyatakan sebagai galat absolut atau relatif. Ketidakpastian ini tidak serta-merta hilang ketika digunakan dalam perhitungan; sebaliknya, ketidakpastian dapat bergabung dan bahkan meningkat tergantung pada operasi matematis yang terlibat. 

Propagasi galat, atau propagasi ketidakpastian, adalah proses untuk menentukan bagaimana ketidakpastian pada variabel terukur memengaruhi ketidakpastian pada hasil perhitungan.

Dalam tutorial ini, kita akan mempelajari aturan matematis yang mengatur bagaimana ketidakpastian merambat melalui berbagai operasi dan mengeksplorasi metode untuk mengkuantifikasi ketidakpastian. Kita akan membahas contoh praktis yang menunjukkan cara menghitung ketidakpastian dalam skenario dunia nyata, dari aritmetika sederhana hingga fungsi kompleks yang melibatkan korelasi dan teknik simulasi lanjutan.

Konsep Kunci dalam Propagasi Galat

Sebelum masuk ke aturan matematis, mari pahami beberapa konsep di balik propagasi galat:

• Galat absolut menunjukkan deviasi sebenarnya dari nilai benar, dinyatakan dalam satuan yang sama dengan pengukuran. Jika kita mengukur panjang 10,0 ± 0,2 cm, galat absolutnya adalah 0,2 cm.
• Galat relatif menyatakan ketidakpastian sebagai fraksi atau persentase dari nilai terukur. Untuk pengukuran panjang kita, galat relatifnya adalah 0,2/10,0 = 0,02 atau 2%.
• Simpangan baku adalah ukuran utama ketidakpastian dalam kebanyakan konteks ilmiah, yang merepresentasikan sebaran nilai di sekitar rata-rata. Ketika kita menyatakan pengukuran sebagai x ± σ, σ merepresentasikan satu simpangan baku.
• Varians adalah kuadrat dari simpangan baku. Varians dari variabel acak yang independen dijumlahkan secara langsung, sifat yang menyederhanakan banyak perhitungan.
• Kovarians mengukur bagaimana dua variabel berubah satu sama lain. Ketika ketidakpastian berkorelasi, kita harus memasukkan suku kovarians dalam rumus propagasi untuk memperoleh hasil yang akurat.

Memahami perbedaan antara ketidakpastian independen dan berkorelasi juga penting. Ketidakpastian independen muncul dari sumber yang terpisah dan tidak terkait, seperti kesalahan pembacaan dari instrumen yang berbeda. Ketidakpastian berkorelasi berbagi satu sumber yang sama, misalnya menggunakan standar kalibrasi yang sama untuk beberapa pengukuran.

Walau fokus tutorial ini adalah pada galat acak yang mengikuti pola statistik, perlu dicatat bahwa galat sistematis (bias konsisten) memerlukan penanganan yang berbeda.

Aturan Matematis untuk Propagasi Galat

Propagasi ketidakpastian mengikuti aturan tertentu bergantung pada operasi matematisnya. Mari kita bahas tiap operasi:

Penjumlahan dan pengurangan

Saat menjumlahkan atau mengurangkan pengukuran dengan ketidakpastian, kita menjumlahkan ketidakpastian absolut secara kuadratur (akar dari jumlah kuadrat) untuk simpangan baku.

Untuk z = x ± y, dengan ketidakpastian x adalah σₓ dan ketidakpastian y adalah σᵧ:

σz = √(σₓ² + σᵧ²)Didukung oleh

Pertimbangkan contoh saat kita mengukur total panjang dua batang. Batang A 15,3 ± 0,2 cm, dan Batang B 8,7 ± 0,1 cm. Total panjangnya adalah:

Length = 15.3 + 8.7 = 24.0 cm
Uncertainty = √(0.2² + 0.1²) = √(0.04 + 0.01) = √0.05 = 0.22 cmDidukung oleh

Maka, total panjangnya adalah 24,0 ± 0,22 cm.

Perkalian dan pembagian

Untuk perkalian dan pembagian, kita bekerja dengan ketidakpastian relatif. Ketidakpastian relatif hasil sama dengan jumlah kuadratur dari ketidakpastian relatif masukan.

Untuk z = xy atau z = x/y:

(σz/z)² = (σₓ/x)² + (σᵧ/y)²Didukung oleh

Misalkan kita ingin menghitung luas persegi panjang dengan panjang 5,0 ± 0,1 m dan lebar 3,0 ± 0,05 m.

Area = 5.0 × 3.0 = 15.0 m²
Relative uncertainty in length = 0.1/5.0 = 0.02
Relative uncertainty in width = 0.05/3.0 = 0.0167
Relative uncertainty in area = √(0.02² + 0.0167²) = √(0.0004 + 0.000278) = 0.026
Absolute uncertainty in area = 15.0 × 0.026 = 0.39 m²Didukung oleh

Maka, luasnya adalah 15,0 ± 0,39 m².

Pangkat dan akar

Saat menaikkan pengukuran ke pangkat n, ketidakpastian relatif dikalikan dengan nilai absolut pangkat tersebut.

Untuk z = xⁿ:

σz/z = |n| × (σₓ/x)Didukung oleh

Pertimbangkan skenario saat kita mengukur jari-jari bola 2,5 ± 0,05 cm dan ingin menghitung volumenya dengan V = (4/3)πr³.

Volume = (4/3)π(2.5)³ = 65.45 cm³
Relative uncertainty in radius = 0.05/2.5 = 0.02
Relative uncertainty in volume = 3 × 0.02 = 0.06
Absolute uncertainty in volume = 65.45 × 0.06 = 3.93 cm³Didukung oleh

Maka, volumenya adalah 65,5 ± 3,9 cm³.

Fungsi logaritmik dan eksponensial

Untuk logaritma natural: 

If z = ln(x), then σz = σₓ/xDidukung oleh

Untuk eksponensial: 

If z = eˣ, then σz/z = σₓDidukung oleh

Misalkan kita mengukur x = 10,0 ± 0,3 dan menghitung y = ln(x).

y = ln(10.0) = 2.303
Uncertainty in y = 0.3/10.0 = 0.03Didukung oleh

Jadi, ln(10,0) = 2,303 ± 0,030.

Sekarang setelah kita membahas aturan spesifik untuk berbagai operasi, mari pahami dasar matematika terpadu yang mendasari semuanya.

Turunan Menggunakan Kalkulus

Untuk membangun intuisi, anggap turunan parsial sebagai jawaban atas pertanyaan: “Jika saya mengubah masukan ini sedikit saja, seberapa besar perubahan pada keluaran?” 

Sensitivitas terhadap perubahan inilah yang kita perlukan untuk memahami bagaimana ketidakpastian merambat. Turunan parsial yang besar berarti masukan sangat memengaruhi keluaran, sehingga ketidakpastiannya berkontribusi lebih besar pada ketidakpastian akhir.

Mari mulai dengan fondasi matematis. Untuk fungsi z = f(x, y), diferensial total memberi tahu kita:

dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dyDidukung oleh

Saat kita menafsirkan dx dan dy sebagai ketidakpastian kecil dan ingin mencari varians (σz²), kita menguadratkan kedua sisi dan mengambil nilai harapan. 

Ini membawa kita pada rumus umum propagasi galat:

σz² = (∂f/∂x)² σₓ² + (∂f/∂y)² σᵧ² + 2(∂f/∂x)(∂f/∂y)σₓᵧDidukung oleh

Di sini, σₓᵧ merepresentasikan kovarians antara x dan y. Untuk variabel independen, suku ini hilang, menghasilkan bentuk lebih sederhana yang biasanya kita gunakan.

Mari verifikasi rumus ini dengan menurunkan aturan perkalian kita. 

Untuk z = xy:

• Turunan parsial terhadap x: ∂z/∂x = y
• Turunan parsial terhadap y: ∂z/∂y = x

Substitusikan ke rumus umum kita (dengan asumsi x dan y independen):

σz² = y²σₓ² + x²σᵧ²Didukung oleh

Membagi kedua sisi dengan z^² = (xy)^²:

σz²/z² = σₓ²/x² + σᵧ²/y²Didukung oleh

Mengambil akar menghasilkan:

(σz/z)² = (σₓ/x)² + (σᵧ/y)²Didukung oleh

yang persis merupakan aturan perkalian kita untuk menjumlahkan ketidakpastian relatif secara kuadratur.

Pendekatan umum ini berguna saat berurusan dengan fungsi kompleks ketika aturan yang dihafal tidak berlaku. 

Misalnya, jika kita perlu menghitung ketidakpastian pada z = x^²sin(y) + e^xy, kita dapat menerapkan turunan parsial secara sistematis alih-alih mencoba menggabungkan banyak aturan. Rumus ini menangani fungsi terdiferensialkan apa pun, menjadikannya alat paling berguna untuk analisis ketidakpastian dalam perhitungan kompleks.

Korelasi dan Kovarians dalam Propagasi Galat

Sejauh ini rumus propagasi galat kita mengasumsikan ketidakpastian independen, tetapi bagaimana jika tidak demikian? 

Korelasi antar ketidakpastian lebih umum daripada yang kita kira dan dapat berdampak signifikan pada hasil. Korelasi muncul ketika pengukuran berbagi sumber ketidakpastian yang sama. 

Pertimbangkan mengukur panjang dan lebar balok logam dengan penggaris yang sama. Jika penggaris itu ternyata 1% terlalu pendek, kedua pengukuran akan terdampak sistematis dengan cara yang sama, dan keduanya berkorelasi positif. Demikian pula, jika suhu memengaruhi beberapa sensor dalam eksperimen, semua pembacaan yang diambil pada saat yang sama berbagi pengaruh lingkungan ini.

Ketika satu pengukuran cenderung tinggi sementara yang lain juga cenderung tinggi (korelasi positif), atau ketika satu cenderung tinggi sementara yang lain cenderung rendah (korelasi negatif), kita harus memperhitungkan hubungan ini dalam perhitungan ketidakpastian.

Saat variabel berkorelasi, kita memasukkan suku kovarians σₓᵧ dalam rumus propagasi. Untuk dua variabel berkorelasi dengan koefisien korelasi ρ:

σₓᵧ = ρσₓσᵧDidukung oleh

Rumus lengkap untuk penjumlahan menjadi:

σz² = σₓ² + σᵧ² + 2ρσₓσᵧDidukung oleh

Kita akan memahami konsep ini lebih baik dengan contoh. 

Mari ukur keliling pelat logam persegi panjang pada suhu tinggi. Kita mengukur panjang L = 10,0 ± 0,1 cm dan lebar W = 5,0 ± 0,05 cm. Kelilingnya P = 2L + 2W.

Tanpa mempertimbangkan korelasi:

P = 2(10.0) + 2(5.0) = 30.0 cm
σₚ = √[(2 × 0.1)² + (2 × 0.05)²] = √[0.04 + 0.01] = 0.22 cmDidukung oleh

Namun, pemuaian termal memengaruhi kedua dimensi secara serupa. Jika kita menentukan koefisien korelasi ρ = 0,7 (korelasi positif kuat):

Covariance term: 2 × 2 × 2 × 0.7 × 0.1 × 0.05 = 0.028
σₚ = √[0.04 + 0.01 + 0.028] = √0.078 = 0.28 cmDidukung oleh

Mengabaikan korelasi membuat kita meremehkan ketidakpastian sekitar 25%, perbedaan yang signifikan dan dapat memengaruhi kesimpulan.

Kita perlu memasukkan kovarians ketika:

• Beberapa pengukuran menggunakan instrumen atau standar kalibrasi yang sama.
• Kondisi lingkungan (suhu, tekanan, kelembapan) memengaruhi semua pengukuran secara bersamaan.
• Variabel memiliki hubungan fisik yang diketahui (seperti dimensi yang memuai bersama).

Kita dapat mengabaikan kovarians ketika pengukuran benar-benar independen, diambil dengan instrumen berbeda, pada waktu berbeda, atau ketika korelasi diabaikan dibandingkan sumber ketidakpastian lainnya. Jika ragu, bila perubahan kondisi akan memengaruhi kedua pengukuran ke arah yang sama, kemungkinan besar keduanya berkorelasi dan hal ini perlu dipertimbangkan dalam analisis.

Metode Lanjutan untuk Menangani Ketidakpastian

Ketika fungsi melibatkan logika kondisional, perhitungan iteratif, atau hubungan nonlinier yang kompleks, simulasi Monte Carlo adalah alternatif yang baik.

Simulasi Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo mengambil pendekatan langsung: alih-alih mempropagasikan ketidakpastian melalui rumus, kita mensimulasikan ribuan skenario kemungkinan dan mengamati distribusi hasilnya. 

Prosesnya adalah:

1. Hasilkan sampel acak dari distribusi setiap variabel masukan.
2. Hitung hasil untuk setiap set sampel.
3. Analisis distribusi keluaran untuk menentukan ketidakpastian.

Anda dapat mempelajari cara melakukan simulasi Monte Carlo di Excel melalui panduan mendalam kami. Namun, untuk kelengkapan tutorial ini, mari tinjau kembali skenario ketika metode analitis menjadi kompleks. 

Pertimbangkan z = x^²/y dengan x = 10,0 ± 0,5 dan y = 2,0 ± 0,2. Walau kita bisa menggunakan turunan parsial, mari lihat pendekatan konseptual bagaimana Monte Carlo menanganinya:

for each of 10,000 iterations:
   x_sample = random value from normal(mean=10.0, std=0.5)
   y_sample = random value from normal(mean=2.0, std=0.2)
   z_sample = x_sample² / y_sample
  
result = mean of all z_samples = 50.2
uncertainty = standard deviation of z_samples = 5.3Didukung oleh

Keunggulan pendekatan ini adalah:

• Dapat menangani tipe distribusi apa pun: Masukan kita tidak harus berdistribusi normal.
• Penanganan korelasi yang alami: Ingat pengukuran keliling yang berkorelasi? Monte Carlo dapat langsung menghasilkan sampel acak yang berkorelasi.
• Gambaran keluaran yang lengkap: Kita memperoleh distribusi hasil secara penuh, mengungkap kemiringan (skewness) atau puncak ganda yang mungkin tidak tercakup hanya oleh simpangan baku.
• Bekerja dengan logika kompleks: Fungsi dengan kondisi if/then atau operasi min/maks dapat ditangani.

Jadi, kapan kita memilih Monte Carlo dibanding metode analitis? Pertimbangkan Monte Carlo ketika:

• Fungsi melibatkan pernyataan kondisional atau perhitungan iteratif.
• Variabel mengikuti distribusi non-normal (seragam, eksponensial, dll.)
• Kita memerlukan distribusi keluaran secara penuh, bukan hanya simpangan bakunya.
• Pendekatan analitis memerlukan turunan kompleks yang tidak yakin dapat kita hitung.

Untuk implementasi praktis, 10.000 sampel umumnya memberikan estimasi yang baik untuk sebagian besar aplikasi, sementara 100.000 sampel menawarkan presisi tinggi. Komputer modern dapat menjalankan simulasi ini dalam hitungan detik untuk fungsi sederhana.

Pertimbangan komputasional

Untuk model yang sangat intensif komputasi, seperti simulasi elemen hingga atau model iklim, di mana satu perhitungan saja memerlukan waktu berjam-jam, model surrogate sangat cocok. 

Model surrogate adalah fungsi matematis yang disederhanakan yang mendekati perilaku model kompleks, pengganti yang lebih cepat yang menangkap hubungan masukan-keluaran dari model asli.

Namun, untuk sebagian besar tugas analisis data, simulasi Monte Carlo langsung memberikan keseimbangan ideal antara akurasi dan kesederhanaan.

Kesimpulan

Artikel ini memperkenalkan propagasi galat, kerangka matematika untuk memahami bagaimana ketidakpastian dalam pengukuran memengaruhi hasil perhitungan. Kita mempelajari aturan dasar untuk mempropagasikan ketidakpastian melalui berbagai operasi matematis, memahami bagaimana korelasi antar variabel memengaruhi perhitungan ketidakpastian, dan mengeksplorasi simulasi Monte Carlo sebagai alternatif komputasional untuk skenario kompleks.

Untuk memperdalam keterampilan Anda dalam menangani ketidakpastian dan analisis statistik dalam aplikasi dunia nyata, pertimbangkan untuk mengeksplorasi jalur Machine Learning Scientist with Python kami. Jalur ini mencakup pembelajaran terawasi dan tak terawasi, rekayasa fitur, analisis deret waktu, dan pembelajaran mendalam, di mana pemahaman tentang ketidakpastian dan analisis galat menjadi penting untuk mengevaluasi kinerja model, interval kepercayaan, dan membuat prediksi yang andal dalam proyek data science.