Propagazione dell'errore: come l'incertezza si diffonde nei calcoli

Quando eseguiamo calcoli con valori misurati, lavoriamo con incertezze. Ogni misurazione porta con sé una certa incertezza, spesso espressa come errore assoluto o relativo. Queste incertezze non scompaiono quando usiamo le misure nei calcoli; invece si combinano e possono amplificarsi a seconda delle operazioni matematiche coinvolte. 

La propagazione dell'errore, nota anche come propagazione dell'incertezza, è il processo con cui si determina come le incertezze nelle variabili misurate influenzano l'incertezza in un risultato calcolato.

In questo tutorial vedremo le regole matematiche che governano la propagazione delle incertezze nelle diverse operazioni ed esploreremo i metodi per quantificarle. Lavoreremo su esempi pratici che mostrano come calcolare le incertezze in scenari reali, dall'aritmetica di base a funzioni complesse che includono correlazione e tecniche di simulazione avanzate.

Concetti chiave nella propagazione dell'errore

Prima di addentrarci nelle regole matematiche, vediamo alcuni concetti alla base della propagazione dell'errore:

• Errore assoluto: rappresenta lo scostamento effettivo dal valore reale, espresso nelle stesse unità della misurazione. Se misuriamo una lunghezza come 10,0 ± 0,2 cm, l'errore assoluto è 0,2 cm.
• Errore relativo: esprime l'incertezza come frazione o percentuale del valore misurato. Per la nostra misura di lunghezza, l'errore relativo è 0,2/10,0 = 0,02 ovvero 2%.
• Deviazione standard: è la nostra misura principale di incertezza nella maggior parte dei contesti scientifici, e rappresenta la dispersione dei valori attorno alla media. Quando esprimiamo una misura come x ± σ, σ rappresenta una deviazione standard.
• Varianza: è il quadrato della deviazione standard. Le varianze di variabili casuali indipendenti si sommano direttamente, una proprietà che semplifica molti calcoli.
• Covarianza: misura come due variabili variano in relazione tra loro. Quando le incertezze sono correlate, dobbiamo includere i termini di covarianza nelle formule di propagazione per ottenere risultati accurati.

È importante anche comprendere la differenza tra incertezze indipendenti e correlate. Le incertezze indipendenti derivano da fonti separate e non collegate, come errori di lettura da strumenti diversi. Le incertezze correlate condividono una fonte comune, ad esempio l'uso dello stesso standard di calibrazione per più misure.

Sebbene in questo tutorial ci concentriamo sugli errori casuali che seguono schemi statistici, vale la pena notare che gli errori sistematici (bias costanti) richiedono un trattamento diverso.

Regole matematiche per la propagazione dell'errore

La propagazione dell'incertezza segue regole specifiche a seconda dell'operazione matematica. Esploriamo ciascuna di queste operazioni:

Addizione e sottrazione

Quando si sommano o si sottraggono misure con incertezze, si sommano in quadratura le incertezze assolute (la radice quadrata della somma dei quadrati) per le deviazioni standard.

Per z = x ± y, dove x ha incertezza σₓ e y ha incertezza σᵧ:

σz = √(σₓ² + σᵧ²)

Considera un esempio in cui misuriamo la lunghezza totale di due aste. L'asta A misura 15,3 ± 0,2 cm e l'asta B 8,7 ± 0,1 cm. La lunghezza totale è:

Length = 15.3 + 8.7 = 24.0 cm
Uncertainty = √(0.2² + 0.1²) = √(0.04 + 0.01) = √0.05 = 0.22 cm

Pertanto, la lunghezza totale è 24,0 ± 0,22 cm.

Moltiplicazione e divisione

Per la moltiplicazione e la divisione, si lavora con le incertezze relative. L'incertezza relativa del risultato è pari alla somma in quadratura delle incertezze relative degli input.

Per z = xy oppure z = x/y:

(σz/z)² = (σₓ/x)² + (σᵧ/y)²

Supponiamo di voler calcolare l'area di un rettangolo con lunghezza 5,0 ± 0,1 m e larghezza 3,0 ± 0,05 m.

Area = 5.0 × 3.0 = 15.0 m²
Relative uncertainty in length = 0.1/5.0 = 0.02
Relative uncertainty in width = 0.05/3.0 = 0.0167
Relative uncertainty in area = √(0.02² + 0.0167²) = √(0.0004 + 0.000278) = 0.026
Absolute uncertainty in area = 15.0 × 0.026 = 0.39 m²

Pertanto, l'area è 15,0 ± 0,39 m².

Potenze e radici

Quando si eleva una misura a una potenza n, l'incertezza relativa viene moltiplicata per il valore assoluto della potenza.

Per z = xⁿ:

σz/z = |n| × (σₓ/x)

Considera uno scenario in cui misuriamo il raggio di una sfera come 2,5 ± 0,05 cm e vogliamo calcolarne il volume usando V = (4/3)πr³.

Volume = (4/3)π(2.5)³ = 65.45 cm³
Relative uncertainty in radius = 0.05/2.5 = 0.02
Relative uncertainty in volume = 3 × 0.02 = 0.06
Absolute uncertainty in volume = 65.45 × 0.06 = 3.93 cm³

Pertanto, il volume è 65,5 ± 3,9 cm³.

Funzioni logaritmiche ed esponenziali

Per il logaritmo naturale: 

If z = ln(x), then σz = σₓ/x

Per l'esponenziale: 

If z = eˣ, then σz/z = σₓ

Supponiamo di misurare un valore x = 10,0 ± 0,3 e calcolare y = ln(x).

y = ln(10.0) = 2.303
Uncertainty in y = 0.3/10.0 = 0.03

Pertanto, ln(10,0) = 2,303 ± 0,030.

Ora che abbiamo visto regole specifiche per operazioni diverse, vediamo la base matematica unificata che le sostiene tutte.

Derivazione con il calcolo differenziale

Per costruire intuizione, pensa alle derivate parziali come a una risposta alla domanda: «Se cambio questo input di una quantità piccolissima, di quanto cambia il mio output?» 

Questa sensibilità al cambiamento è proprio ciò di cui abbiamo bisogno per capire come si propagano le incertezze. Una derivata parziale grande significa che l'input influenza fortemente l'output, quindi la sua incertezza contribuisce maggiormente all'incertezza finale.

Partiamo dalla base matematica. Per una funzione z = f(x, y), il differenziale totale ci dice:

dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy

Quando interpretiamo dx e dy come piccole incertezze e vogliamo trovare la varianza (σz²), eleviamo al quadrato entrambi i lati e calcoliamo il valore atteso. 

Questo ci porta alla formula generale di propagazione dell'errore:

σz² = (∂f/∂x)² σₓ² + (∂f/∂y)² σᵧ² + 2(∂f/∂x)(∂f/∂y)σₓᵧ

Qui, σₓᵧ rappresenta la covarianza tra x e y. Per variabili indipendenti, questo termine si annulla, fornendo la forma più semplice che usiamo tipicamente.

Verifichiamo questa formula derivando la nostra regola di moltiplicazione. 

Per z = xy:

• Derivata parziale rispetto a x: ∂z/∂x = y
• Derivata parziale rispetto a y: ∂z/∂y = x

Sostituendo nella nostra formula generale (assumendo x e y indipendenti):

σz² = y²σₓ² + x²σᵧ²

Dividendo entrambi i lati per z^² = (xy)^²:

σz²/z² = σₓ²/x² + σᵧ²/y²

Prendendo la radice quadrata otteniamo:

(σz/z)² = (σₓ/x)² + (σᵧ/y)²

che è esattamente la nostra regola di moltiplicazione per sommare in quadratura le incertezze relative.

Questo approccio generale è utile quando si affrontano funzioni complesse per cui non si applicano regole memorizzate. 

Per esempio, se dobbiamo calcolare l'incertezza in z = x^²sin(y) + e^xy, possiamo applicare sistematicamente le derivate parziali invece di provare a combinare più regole. La formula gestisce qualsiasi funzione derivabile, rendendola il nostro strumento più utile per l'analisi dell'incertezza in calcoli complessi.

Correlazione e covarianza nella propagazione dell'errore

Finora le nostre formule di propagazione dell'errore hanno presupposto che le incertezze siano indipendenti, ma cosa succede quando non lo sono? 

La correlazione tra incertezze è più comune di quanto si pensi e può influenzare significativamente i risultati. La correlazione nasce quando le misurazioni condividono una fonte comune di incertezza. 

Considera la misurazione della lunghezza e della larghezza di un blocco di metallo con lo stesso righello. Se quel righello è in realtà più corto dell'1%, entrambe le misure saranno influenzate sistematicamente allo stesso modo, e quindi sono positivamente correlate. Allo stesso modo, se la temperatura influisce su più sensori in un esperimento, tutte le letture effettuate nello stesso momento condividono questa influenza ambientale.

Quando una misura tende a essere alta mentre un'altra tende a essere alta (correlazione positiva), o quando una tende a essere alta mentre l'altra tende a essere bassa (correlazione negativa), dobbiamo tenere conto di questa relazione nei nostri calcoli di incertezza.

Quando le variabili sono correlate, introduciamo il termine di covarianza σₓᵧ nella nostra formula di propagazione. Per due variabili correlate con coefficiente di correlazione ρ:

σₓᵧ = ρσₓσᵧ

La formula completa per l'addizione diventa:

σz² = σₓ² + σᵧ² + 2ρσₓσᵧ

Comprenderemo meglio questo concetto con un esempio. 

Misuriamo il perimetro di una piastra metallica rettangolare a temperatura elevata. Misuriamo la lunghezza L = 10,0 ± 0,1 cm e la larghezza W = 5,0 ± 0,05 cm. Il perimetro è P = 2L + 2W.

Senza considerare la correlazione:

P = 2(10.0) + 2(5.0) = 30.0 cm
σₚ = √[(2 × 0.1)² + (2 × 0.05)²] = √[0.04 + 0.01] = 0.22 cm

Tuttavia, la dilatazione termica influisce in modo simile su entrambe le dimensioni. Se determiniamo che il coefficiente di correlazione è ρ = 0,7 (forte correlazione positiva):

Covariance term: 2 × 2 × 2 × 0.7 × 0.1 × 0.05 = 0.028
σₚ = √[0.04 + 0.01 + 0.028] = √0.078 = 0.28 cm

Ignorare la correlazione ha sottostimato la nostra incertezza di circa il 25%, una differenza significativa che potrebbe influenzare le conclusioni.

Dovremmo includere la covarianza quando:

• Più misurazioni usano lo stesso strumento o lo stesso standard di calibrazione.
• Le condizioni ambientali (temperatura, pressione, umidità) influenzano tutte le misure simultaneamente.
• Le variabili hanno relazioni fisiche note (come dimensioni che si dilatano insieme).

Possiamo omettere la covarianza quando le misure sono davvero indipendenti, effettuate con strumenti diversi, in momenti diversi o quando la correlazione è trascurabile rispetto ad altre fonti di incertezza. In caso di dubbio, se il cambiamento delle condizioni influenzerebbe entrambe le misure nella stessa direzione, è probabile che siano correlate, e ciò andrebbe considerato nell'analisi.

Metodi avanzati per gestire l'incertezza

Quando le funzioni coinvolgono logica condizionale, calcoli iterativi o relazioni non lineari complesse, la simulazione Monte Carlo è una buona alternativa.

Simulazioni Monte Carlo

La simulazione Monte Carlo adotta un approccio diretto: invece di propagare le incertezze tramite formule, simula migliaia di possibili scenari e osserva la distribuzione dei risultati. 

Il processo è:

1. Generare campioni casuali dalla distribuzione di ciascuna variabile in input.
2. Calcolare il risultato per ogni set di campioni.
3. Analizzare la distribuzione in output per determinare l'incertezza.

Puoi imparare come eseguire una simulazione Monte Carlo in Excel tramite la nostra guida approfondita. Tuttavia, per completezza di questo tutorial, riprendiamo uno scenario in cui i metodi analitici diventano complessi. 

Consideriamo z = x^²/y dove x = 10,0 ± 0,5 e y = 2,0 ± 0,2. Pur potendo usare le derivate parziali, vediamo concettualmente come la Monte Carlo gestisce il problema:

for each of 10,000 iterations:
   x_sample = random value from normal(mean=10.0, std=0.5)
   y_sample = random value from normal(mean=2.0, std=0.2)
   z_sample = x_sample² / y_sample
  
result = mean of all z_samples = 50.2
uncertainty = standard deviation of z_samples = 5.3

Il bello di questo approccio è che:

• Gestisce qualsiasi tipo di distribuzione: i nostri input non devono essere normalmente distribuiti.
• Gestione naturale della correlazione: ricordi la nostra misura del perimetro correlata? Monte Carlo può generare direttamente campioni casuali correlati.
• Quadro completo dell'output: otteniamo l'intera distribuzione dei risultati, rivelando asimmetrie o picchi multipli che la sola deviazione standard potrebbe non cogliere.
• Funziona con logiche complesse: può gestire funzioni con condizioni if/then o operazioni min/max.

Quando scegliere Monte Carlo rispetto ai metodi analitici? Considerala quando:

• La funzione coinvolge istruzioni condizionali o calcoli iterativi.
• Le variabili seguono distribuzioni non normali (uniforme, esponenziale, ecc.).
• Serve l'intera distribuzione in output, non solo la sua deviazione standard.
• L'approccio analitico richiede derivate complesse che non ci sentiamo sicuri di calcolare.

Per l'implementazione pratica, 10.000 campioni forniscono in genere stime buone per la maggior parte delle applicazioni, mentre 100.000 campioni offrono alta precisione. I computer moderni possono eseguire queste simulazioni in pochi secondi per funzioni semplici.

Considerazioni computazionali

Per modelli computazionalmente intensivi, come le simulazioni agli elementi finiti o i modelli climatici, in cui un singolo calcolo può richiedere ore, i modelli surrogati sono particolarmente adatti. 

I modelli surrogati sono funzioni matematiche semplificate che approssimano il comportamento di modelli complessi, un sostituto più rapido che cattura le relazioni input-output del modello originale.

Tuttavia, per la maggior parte delle attività di analisi dei dati, la simulazione Monte Carlo diretta offre il giusto equilibrio tra accuratezza e semplicità.

Conclusione

Questo articolo ha introdotto la propagazione dell'errore, il quadro matematico per comprendere come le incertezze nelle misure influenzino i risultati calcolati. Abbiamo appreso le regole fondamentali per propagare le incertezze attraverso diverse operazioni matematiche, compreso come la correlazione tra variabili impatti i calcoli di incertezza, ed esplorato la simulazione Monte Carlo come alternativa computazionale per scenari complessi.

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