Propagación de errores: Comprender cómo se propaga la incertidumbre a través de los cálculos

Cuando realizamos cálculos con valores medidos, trabajamos con incertidumbres. Cada medición conlleva cierta incertidumbre, que a menudo se expresa como error absoluto o relativo. Estas incertidumbres no desaparecen simplemente cuando utilizamos mediciones en los cálculos; por el contrario, se combinan y pueden amplificarse dependiendo de las operaciones matemáticas involucradas. 

La propagación del error, también conocida como propagación de la incertidumbre, es el proceso de determinar cómo las incertidumbres en las variables medidas afectan a la incertidumbre en un resultado calculado.

En este tutorial, aprenderemos las reglas matemáticas que rigen la propagación de las incertidumbres a través de diferentes operaciones y exploraremos métodos para cuantificar la incertidumbre. Trabajaremos con ejemplos prácticos que muestran cómo calcular las incertidumbres en situaciones reales, desde simples operaciones aritméticas hasta funciones complejas que implican correlación y técnicas de simulación avanzadas.

Conceptos clave en la propagación de errores

Antes de sumergirnos en las reglas matemáticas, veamos algunos conceptos relacionados con la propagación del error:

• El error absoluto representa la desviación real del valor verdadero, expresado en las mismas unidades que la medición. Si medimos una longitud de 10,0 ± 0,2 cm, el error absoluto es de 0,2 cm.
• El error relativo expresa la incertidumbre como una fracción o porcentaje del valor medido. Para nuestra medición de longitud, el error relativo sería 0,2/10,0 = 0,02 o 2 %.
• La desviación estándar es nuestra principal medida de incertidumbre en la mayoría de los contextos científicos, ya que representa la dispersión de los valores alrededor de la media. Cuando expresamos una medición como x ± σ, σ representa una desviación estándar.
• La varianza es el cuadrado de la desviación estándar. Las varianzas de las variables aleatorias independientes se suman directamente, una propiedad que simplifica muchos cálculos.
• La covarianza mide cómo cambian dos variables en relación entre sí. Cuando las incertidumbres están correlacionadas, debemos incluir términos de covarianza en nuestras fórmulas de propagación para obtener resultados precisos.

También es importante comprender la diferencia entre incertidumbres independientes y correlacionadas. Las incertidumbres independientes surgen de fuentes separadas y no relacionadas entre sí, como los errores de lectura de diferentes instrumentos. Las incertidumbres correlacionadas comparten una fuente común, como el uso del mismo patrón de calibración para múltiples mediciones.

Aunque este tutorial se centra en los errores aleatorios que siguen patrones estadísticos, cabe señalar que los errores sistemáticos (sesgos constantes) requieren un tratamiento diferente.

Reglas matemáticas para la propagación de errores

La propagación de la incertidumbre sigue reglas específicas que dependen de la operación matemática. Exploremos cada una de estas operaciones:

Suma y resta

Al sumar o restar mediciones con incertidumbres, sumamos las incertidumbres absolutas en cuadratura (la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados) para obtener las desviaciones estándar.

Para z = x ± y, donde x tiene una incertidumbre σₓ y y tiene una incertidumbre σᵧ:

σz = √(σₓ² + σᵧ²)

Consideremos un ejemplo en el que medimos la longitud total de dos varillas. La varilla A mide 15,3 ± 0,2 cm y la varilla B mide 8,7 ± 0,1 cm. La longitud total es:

Length = 15.3 + 8.7 = 24.0 cm
Uncertainty = √(0.2² + 0.1²) = √(0.04 + 0.01) = √0.05 = 0.22 cm

Por lo tanto, la longitud total es de 24,0 ± 0,22 cm.

Multiplicación y división

Para la multiplicación y la división, trabajamos con incertidumbres relativas. La incertidumbre relativa del resultado es igual a la suma en cuadratura de las incertidumbres relativas de las entradas.

Para z = xy o z = x/y:

(σz/z)² = (σₓ/x)² + (σᵧ/y)²

Supongamos que queremos calcular el área de un rectángulo con una longitud de 5,0 ± 0,1 m y una anchura de 3,0 ± 0,05 m.

Area = 5.0 × 3.0 = 15.0 m²
Relative uncertainty in length = 0.1/5.0 = 0.02
Relative uncertainty in width = 0.05/3.0 = 0.0167
Relative uncertainty in area = √(0.02² + 0.0167²) = √(0.0004 + 0.000278) = 0.026
Absolute uncertainty in area = 15.0 × 0.026 = 0.39 m²

Por lo tanto, el área es de 15,0 ± 0,39 m².

Poderes y raíces

Cuando se eleva una medida a una potencia n, la incertidumbre relativa se multiplica por el valor absoluto de la potencia.

For z = xⁿ:

σz/z = |n| × (σₓ/x)

Considera un escenario en el que medimos el radio de una esfera como 2,5 ± 0,05 cm y queremos calcular su volumen utilizando V = (4/3)πr³.

Volume = (4/3)π(2.5)³ = 65.45 cm³
Relative uncertainty in radius = 0.05/2.5 = 0.02
Relative uncertainty in volume = 3 × 0.02 = 0.06
Absolute uncertainty in volume = 65.45 × 0.06 = 3.93 cm³

Por lo tanto, el volumen es de 65,5 ± 3,9 cm³.

Funciones logarítmicas y exponenciales

Para el logaritmo natural: 

If z = ln(x), then σz = σₓ/x

Para exponencial: 

If z = eˣ, then σz/z = σₓ

Supongamos que medimos un valor x = 10,0 ± 0,3 y calculamos y = ln(x).

y = ln(10.0) = 2.303
Uncertainty in y = 0.3/10.0 = 0.03

Therefore, ln(10.0) = 2.303 ± 0.030.

Ahora que hemos explorado las reglas específicas para diferentes operaciones, veamos la base matemática unificada que subyace a todas ellas.

Derivación mediante cálculo

Para desarrollar la intuición, piensa en las derivadas parciales como la respuesta a la pregunta: «Si modifico ligeramente esta entrada, ¿en qué medida cambiará tu salida?». 

Esta sensibilidad al cambio es precisamente lo que necesitamos para comprender cómo se propagan las incertidumbres. Una derivada parcial grande significa que la entrada influye mucho en la salida, por lo que su incertidumbre contribuye en mayor medida a la incertidumbre final.

Comencemos con los fundamentos matemáticos. Para una función z = f(x, y), la diferencial total nos dice:

dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy

Cuando interpretamos dx y dy como pequeñas incertidumbres y queremos hallar la varianza (σz²), elevamos al cuadrado ambos lados y tomamos el valor esperado. 

Esto nos lleva a la fórmula general de propagación del error:

σz² = (∂f/∂x)² σₓ² + (∂f/∂y)² σᵧ² + 2(∂f/∂x)(∂f/∂y)σₓᵧ

Aquí, σₓᵧ representa la covarianza entre x e y. Para las variables independientes, este término desaparece, lo que nos da la forma más simple que utilizamos habitualmente.

Verifiquemos esta fórmula derivando nuestra regla de multiplicación. 

For z = xy:

• Derivada parcial con respecto a x: ∂z/∂x = y
• Derivada parcial con respecto a y: ∂z/∂y = x

Sustituyendo en nuestra fórmula general (suponiendo que x e y son independientes):

σz² = y²σₓ² + x²σᵧ²

Dividiendo ambos lados por^z² = (xy)^²:

σz²/z² = σₓ²/x² + σᵧ²/y²

Al calcular la raíz cuadrada obtenemos:

(σz/z)² = (σₓ/x)² + (σᵧ/y)²

que es exactamente nuestra regla de multiplicación para sumar incertidumbres relativas en cuadratura.

Este enfoque general resulta útil cuando se trata de funciones complejas en las que no se pueden aplicar reglas memorizadas. 

Por ejemplo, si necesitamos calcular la incertidumbre en z =^x²sin(y) +^exy, podemos aplicar sistemáticamente derivadas parciales en lugar de intentar combinar varias reglas. La fórmula maneja cualquier función diferenciable, lo que la convierte en nuestra herramienta más útil para el análisis de incertidumbre en cálculos complejos.

Correlación y covarianza en la propagación de errores

Nuestras fórmulas de propagación de errores hasta ahora asumen que las incertidumbres son independientes, pero ¿qué ocurre cuando no lo son? 

La correlación entre incertidumbres es más habitual de lo que cabría esperar y puede afectar significativamente a nuestros resultados. La correlación surge cuando las mediciones comparten una fuente común de incertidumbre. 

Considera medir la longitud y la anchura de un bloque de metal con la misma regla. Si esa regla es realmente un 1 % más corta, ambas mediciones se verán afectadas sistemáticamente de la misma manera y estarán correlacionadas positivamente. Del mismo modo, si la temperatura afecta a varios sensores en un experimento, todas las lecturas tomadas en el mismo momento comparten esta influencia ambiental.

Cuando una medición tiende a ser alta mientras que otra tiende a ser alta (correlación positiva), o cuando una tiende a ser alta mientras que otra tiende a ser baja (correlación negativa), debemos tener en cuenta esta relación en nuestros cálculos de incertidumbre.

Cuando las variables están correlacionadas, introducimos el término de covarianza σₓᵧ en nuestra fórmula de propagación. Para dos variables correlacionadas con un coeficiente de correlación ρ:

σₓᵧ = ρσₓσᵧ

La fórmula completa para la suma queda así:

σz² = σₓ² + σᵧ² + 2ρσₓσᵧ

Entenderemos mejor este concepto con un ejemplo. 

Vamos a medir el perímetro de una placa metálica rectangular a una temperatura elevada. Medimos una longitud L = 10,0 ± 0,1 cm y una anchura W = 5,0 ± 0,05 cm. El perímetro es P = 2L + 2W.

Sin tener en cuenta la correlación:

P = 2(10.0) + 2(5.0) = 30.0 cm
σₚ = √[(2 × 0.1)² + (2 × 0.05)²] = √[0.04 + 0.01] = 0.22 cm

Sin embargo, la expansión térmica afecta a ambas dimensiones de manera similar. Si determinamos que el coeficiente de correlación es ρ = 0,7 (correlación positiva fuerte):

Covariance term: 2 × 2 × 2 × 0.7 × 0.1 × 0.05 = 0.028
σₚ = √[0.04 + 0.01 + 0.028] = √0.078 = 0.28 cm

Al ignorar la correlación, subestimamos nuestra incertidumbre en aproximadamente un 25 %, una diferencia significativa que podría afectar a nuestras conclusiones.

Debemos incluir la covarianza cuando:

• Las mediciones múltiples utilizan el mismo instrumento o patrón de calibración.
• Las condiciones ambientales (temperatura, presión, humedad) afectan a todas las mediciones simultáneamente.
• Las variables tienen relaciones físicas conocidas (como dimensiones que se expanden juntas).

Podemos omitir con seguridad la covarianza cuando las mediciones son verdaderamente independientes, cuando se realizan con instrumentos diferentes, en momentos diferentes, o cuando la correlación es insignificante en comparación con otras fuentes de incertidumbre. En caso de duda, si un cambio en las condiciones afectara a ambas mediciones en la misma dirección, es probable que estén correlacionadas, y esto debería tenerse en cuenta en nuestro análisis.

Métodos avanzados para manejar la incertidumbre

Cuando las funciones implican lógica condicional, cálculos iterativos orelaciones no lineales complejas,la simulación de Monte Carlo es unabuena alternativa.

Simulaciones de Monte Carlo

La simulación de Monte Carlo adopta un enfoque directo: en lugar de propagar las incertidumbres a través de fórmulas, simulamos miles de escenarios posibles y observamos la distribución de los resultados. 

El proceso es el siguiente:

1. Genera muestras aleatorias a partir de la distribución de cada variable de entrada.
2. Calcula el resultado para cada conjunto de muestras.
3. Analiza la distribución de los resultados para determinar la incertidumbre.

Puedes aprender a realizar una simulación de Montecarlo en Excel con nuestra guía detallada. Sin embargo, para completar este tutorial, volvamos a examinar un escenario en el que los métodos analíticos se vuelven complejos. 

Considera z =^x²/y, donde x = 10,0 ± 0,5 e y = 2,0 ± 0,2. Aunque podríamos utilizar derivadas parciales, veamos un enfoque conceptual de cómo Monte Carlo maneja esto:

for each of 10,000 iterations:
   x_sample = random value from normal(mean=10.0, std=0.5)
   y_sample = random value from normal(mean=2.0, std=0.2)
   z_sample = x_sample² / y_sample
  
result = mean of all z_samples = 50.2
uncertainty = standard deviation of z_samples = 5.3

Lo bueno de este enfoque es que:

• Admite cualquier tipo de distribución: Nuestras entradas no necesitan tener una distribución normal.
• Manejo de correlaciones naturales: ¿Recuerdas nuestra medición del perímetro correlacionado? Monte Carlo puede generar muestras aleatorias correlacionadas directamente.
• Imagen de salida completa: Obtenemos la distribución completa de los resultados, lo que revela asimetrías o picos múltiples que la desviación estándar por sí sola podría no explicar.
• Funciona con lógica compleja: Se pueden manejar funciones con condiciones if/then u operaciones min/max.

Entonces, ¿cuándo debemos elegir Monte Carlo en lugar de los métodos analíticos? Podemos considerarlo cuando:

• Nuestra función implica sentencias condicionales o cálculos iterativos.
• Las variables siguen distribuciones no normales (uniforme, exponencial, etc.).
• Necesitamos la distribución completa de la producción, no solo su desviación estándar.
• El enfoque analítico requiere derivadas complejas que no estamos seguros de poder calcular.

Para la implementación práctica, 10 000 muestras suelen proporcionar buenas estimaciones para la mayoría de las aplicaciones, mientras que 100 000 muestras ofrecen una alta precisión. Las computadoras modernas pueden ejecutar estas simulaciones en segundos para funciones simples.

Consideraciones computacionales

Para modelos que requieren un gran esfuerzo computacional, como las simulaciones de elementos finitos o los modelos climáticos, en los que un solo cálculo puede llevar horas, los modelos sustitutos son muy adecuados. 

Los modelos sustitutos son funciones matemáticas simplificadas que se aproximan al comportamiento de modelos complejos, un sustituto más rápido que captura las relaciones de entrada-salida del modelo original.

Sin embargo, para la mayoría de las tareas de análisis de datos, la simulación directa de Monte Carlo ofrece el equilibrio ideal entre precisión y simplicidad.

Conclusión

Este artículo ha presentado la propagación del error, el marco matemático que permite comprender cómo las incertidumbres en las mediciones afectan a los resultados calculados. Aprendimos las reglas fundamentales para propagar incertidumbres a través de diferentes operaciones matemáticas, comprendimos cómo la correlación entre variables afecta a los cálculos de incertidumbre y exploramos la simulación de Monte Carlo como alternativa computacional para escenarios complejos.

Para profundizar tus habilidades en el manejo de la incertidumbre y el análisis estadístico en aplicaciones del mundo real, considera explorar nuestroprograma de científico de machine learning con Python. Este programa abarca el aprendizaje supervisado y no supervisado, la ingeniería de características, el análisis de series temporales y el aprendizaje profundo, donde comprender la incertidumbre y el análisis de errores se vuelve importante para evaluar el rendimiento de los modelos, los intervalos de confianza y realizar predicciones fiables en proyectos de ciencia de datos.