Memahami Kovarians: Panduan Pengantar

Kovarians berperan penting dalam statistika dengan menunjukkan bagaimana dua variabel berubah satu terhadap yang lain. Konsep ini menjadi inti dari gagasan seperti korelasi, analisis komponen utama, dan regresi.

Dalam panduan ini, Anda akan mempelajari apa itu kovarians, cara menghitungnya, dan di mana ia digunakan, mulai dari pemodelan keuangan hingga machine learning.

Dan karena kovarians hanyalah salah satu hal penting untuk diketahui, pastikan untuk mendaftar ke Statistics Fundamentals in Python skill track dan/atau kursus Introduction to Statistics in R untuk terus belajar.

Apa Itu Kovarians?

Kovarians adalah fungsi statistika dasar yang mengukur bagaimana dua variabel, x dan y, berubah bersama. Jika keduanya cenderung meningkat atau menurun secara bersamaan, kovarians bernilai positif. Jika satu meningkat sementara yang lain menurun, kovarians bernilai negatif.

Definisi matematis kovarians untuk dua variabel acak X dan Y adalah:

dengan 𝜇_x dan 𝜇_y adalah mean dari X dan Y masing-masing.

Untuk sampel berukuran n, kovarians sampel dihitung sebagai:

di mana x̅ dan ȳ adalah mean sampel dari x dan y.

Keputusan untuk menggunakan μ (mu) untuk mean populasi dan x̅ untuk mean sampel adalah konvensi yang membantu membedakan keduanya.

Mengapa Kovarians Penting

Memahami kovarians membantu Anda menganalisis hubungan antara dua variabel. Dalam keuangan, kovarians digunakan untuk menilai bagaimana dua saham bergerak bersama. Dalam data science, kovarians diperlukan untuk teknik seperti PCA, yang mengurangi dimensi dataset. Kovarians juga mendasari analisis regresi, di mana memahami bagaimana variabel berubah bersama penting untuk memodelkan hubungan liniernya.

Singkatnya, kovarians memberi wawasan tentang 1) arah hubungan linier antarvariabel, 2) kekuatan hubungan (meski tidak terstandarkan), dan 3) dasar untuk menghitung koefisien korelasi.

Menghitung Kovarians Secara Manual

Mari berlatih. Untuk menghitung kovarians sampel secara manual, ikuti langkah-langkah ini:

1. Temukan mean dari masing-masing variabel.
2. Kurangkan mean dari setiap nilai untuk mendapatkan deviasi.
3. Kalikan deviasi untuk pasangan yang bersesuaian.
4. Jumlahkan hasil kalinya.
5. Bagi dengan n − 1 untuk kovarians sampel.

Sebagai contoh, diberikan dua variabel:

• x: 2, 4, 6
• y: 5, 9, 13

Temukan mean dari masing-masing variabel

Pertama, hitung mean-nya:

Kurangkan mean dari setiap nilai untuk mendapatkan deviasi

Berikutnya, hitung deviasi dari mean. Saya membuat tabel untuk menunjukkan cara kerjanya. Perhatikan di sisi kanan tabel, setiap titik data dikurangi dengan 4 atau 9.

Kalikankan deviasi untuk pasangan yang bersesuaian

Sekarang, kalikan deviasi untuk setiap pasangan:

Jumlahkan hasil kalinya

Lalu, jumlahkan hasil kalinya: 8 + 0 + 8 = 16

Bagi dengan n − 1 untuk kovarians sampel

Terakhir, bagi dengan n − 1 untuk mendapatkan kovarians sampel.

Kita dapat menuliskan jawabannya seperti ini:

Kovarians di Python dan R

Anda mungkin ingin menghitung kovarians di lingkungan pemrograman. Saya akan menunjukkan caranya di Python dan R, dimulai dengan Python. 

Kovarians di Python

Anda dapat menghitung kovarians di Python menggunakan NumPy.

Untuk menggunakan fungsi cov() milik NumPy, pertama impor NumPy dan definisikan data Anda:

import numpy as np

x = np.array([2, 4, 6])
y = np.array([5, 9, 13])

cov_matrix = np.cov(x, y, ddof=1)
print(cov_matrix)Didukung oleh

Keluaran berupa matriks kovarians:

[[4. 8.]
 [8. 16.]]Didukung oleh

Kita melihat bahwa kovarians antara kedua variabel adalah 8, yang sama dengan hasil perhitungan manual.

Kovarians di R

Anda dapat menghitung kovarians di R menggunakan fungsi bawaan cov().

Untuk memulai, definisikan vektor data Anda dan teruskan ke cov():

x <- c(2, 4, 6)
y <- c(5, 9, 13)

cov_matrix <- cov(cbind(x, y))
print(cov_matrix)Didukung oleh

Keluaran berupa matriks kovarians:

  x  y
x 4  8
y 8 16Didukung oleh

Kovarians antara kedua variabel adalah 8, sama seperti pada contoh Python.

Menafsirkan Matriks Kovarians

Matriks kovarians merangkum kovarians berpasangan antar banyak variabel. Keluaran yang baru saja kita lihat dari kode Python dan R adalah matriks kovarians, meskipun kecil (2x2).

Mari coba contoh yang lebih besar. Untuk tiga variabel x, y, dan z, matriks kovariansnya adalah:

Matriks ini simetris, dan elemen diagonalnya adalah varians dari masing-masing variabel. (Ini benar karena kovarians suatu variabel dengan dirinya sendiri adalah varians.)

Kovarians vs. Korelasi

Sementara kovarians mengukur arah hubungan antara dua variabel, ia tidak menstandarkan hasilnya. Korelasi menstandarkan kovarians ke nilai antara −1 dan 1, sehingga lebih mudah menafsirkan kekuatan hubungannya.

Ada banyak rumus untuk koefisien korelasi, tetapi salah satunya adalah:

Dengan:

• Cov⁡(x,y) adalah kovarians antara variabel x dan y
• σ_x (dibaca 'sigma') adalah simpangan baku dari x
• σ_y adalah simpangan baku dari y

Hal Tambahan yang Perlu Diketahui

Saat bekerja dengan kovarians, perhatikan beberapa masalah umum ini:

• Kovarians sensitif terhadap skala variabel. Nilai yang besar dapat membesar-besarkan hasil.
• Kovarians tidak menunjukkan kekuatan hubungan secara terstandarkan.
• Pencilan dapat sangat memengaruhi perhitungan kovarians.

Pertimbangkan selalu untuk menstandarkan data Anda atau menggunakan korelasi untuk interpretasi yang lebih jelas.

Kesimpulan

Kovarians adalah alat statistika yang wajib diketahui untuk memahami bagaimana variabel bergerak bersama. Anda perlu memahami kovarians untuk benar-benar memahami hubungan data Anda. Jangan khawatir jika masih ada hal yang belum jelas, kami memiliki sumber daya yang tepat untuk membantu Anda, jadi daftar hari ini: 

• Statistics Fundamentals in Python skill track 
• Introduction to Statistics in R course