Lan truyền sai số: Cách bất định lan rộng qua các phép tính

Khi chúng ta thực hiện các phép tính với các giá trị đo lường, chúng ta đang làm việc với bất định. Mỗi phép đo đều mang theo một mức bất định nhất định, thường được biểu diễn dưới dạng sai số tuyệt đối hoặc tương đối. Những bất định này không tự biến mất khi ta đưa phép đo vào tính toán; thay vào đó, chúng kết hợp với nhau và có thể khuếch đại tùy theo các phép toán liên quan. 

Lan truyền sai số, còn gọi là lan truyền bất định, là quá trình xác định cách các bất định trong các biến đo ảnh hưởng đến bất định của một kết quả tính toán.

Trong hướng dẫn này, chúng ta sẽ tìm hiểu các quy tắc toán học chi phối cách bất định lan truyền qua các phép toán khác nhau và khám phá các phương pháp định lượng bất định. Chúng ta sẽ đi qua các ví dụ thực tiễn minh họa cách tính bất định trong những kịch bản đời thực, từ số học đơn giản đến các hàm phức tạp có tính tương quan và kỹ thuật mô phỏng nâng cao.

Các khái niệm chính trong lan truyền sai số

Trước khi đi vào các quy tắc toán học, hãy hiểu một vài khái niệm đằng sau lan truyền sai số:

• Sai số tuyệt đối biểu thị độ lệch thực so với giá trị đúng, được diễn đạt cùng đơn vị với phép đo. Nếu ta đo một chiều dài là 10.0 ± 0.2 cm, thì sai số tuyệt đối là 0.2 cm.
• Sai số tương đối biểu thị bất định dưới dạng một phần hoặc phần trăm của giá trị đo. Với phép đo chiều dài ở trên, sai số tương đối sẽ là 0.2/10.0 = 0.02 hay 2%.
• Độ lệch chuẩn là thước đo bất định chủ đạo trong hầu hết bối cảnh khoa học, biểu thị mức độ phân tán của các giá trị quanh trung bình. Khi ta biểu diễn một phép đo là x ± σ, thì σ là một độ lệch chuẩn.
• Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn. Phương sai của các biến ngẫu nhiên độc lập cộng trực tiếp, một tính chất giúp đơn giản hóa nhiều phép tính.
• Hiệp phương sai đo lường cách hai biến thay đổi liên quan đến nhau. Khi các bất định có tương quan, chúng ta phải đưa các hạng hiệp phương sai vào công thức lan truyền để có kết quả chính xác.

Cũng quan trọng là hiểu sự khác biệt giữa bất định độc lập và bất định tương quan. Bất định độc lập phát sinh từ các nguồn riêng rẽ, không liên quan, như sai số đọc từ các thiết bị khác nhau. Bất định tương quan chia sẻ một nguồn chung, chẳng hạn sử dụng cùng một chuẩn hiệu chuẩn cho nhiều phép đo.

Mặc dù trọng tâm của hướng dẫn này là các sai số ngẫu nhiên theo quy luật thống kê, cũng cần lưu ý rằng sai số hệ thống (thiên lệch nhất quán) cần cách xử lý khác.

Quy tắc toán học cho lan truyền sai số

Lan truyền bất định tuân theo các quy tắc cụ thể tùy theo phép toán. Hãy cùng khám phá từng phép toán:

Cộng và trừ

Khi cộng hoặc trừ các phép đo có bất định, ta cộng các sai số tuyệt đối theo quy tắc cộng bình phương rồi lấy căn (căn bậc hai của tổng bình phương) đối với độ lệch chuẩn.

Với z = x ± y, trong đó x có bất định σₓ và y có bất định σᵧ:

σz = √(σₓ² + σᵧ²)

Xét ví dụ đo tổng chiều dài của hai thanh. Thanh A đo được 15.3 ± 0.2 cm, và thanh B đo được 8.7 ± 0.1 cm. Tổng chiều dài là:

Length = 15.3 + 8.7 = 24.0 cm
Uncertainty = √(0.2² + 0.1²) = √(0.04 + 0.01) = √0.05 = 0.22 cm

Vì vậy, tổng chiều dài là 24.0 ± 0.22 cm.

Nhân và chia

Với phép nhân và chia, ta làm việc với sai số tương đối. Sai số tương đối của kết quả bằng căn bậc hai của tổng bình phương các sai số tương đối của đầu vào.

Với z = xy hoặc z = x/y:

(σz/z)² = (σₓ/x)² + (σᵧ/y)²

Giả sử ta muốn tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài 5.0 ± 0.1 m và chiều rộng 3.0 ± 0.05 m.

Area = 5.0 × 3.0 = 15.0 m²
Relative uncertainty in length = 0.1/5.0 = 0.02
Relative uncertainty in width = 0.05/3.0 = 0.0167
Relative uncertainty in area = √(0.02² + 0.0167²) = √(0.0004 + 0.000278) = 0.026
Absolute uncertainty in area = 15.0 × 0.026 = 0.39 m²

Do đó, diện tích là 15.0 ± 0.39 m².

Lũy thừa và căn

Khi nâng một phép đo lên lũy thừa n, sai số tương đối được nhân với giá trị tuyệt đối của số mũ đó.

Với z = xⁿ:

σz/z = |n| × (σₓ/x)

Xét tình huống đo bán kính một hình cầu là 2.5 ± 0.05 cm và muốn tính thể tích của nó bằng V = (4/3)πr³.

Volume = (4/3)π(2.5)³ = 65.45 cm³
Relative uncertainty in radius = 0.05/2.5 = 0.02
Relative uncertainty in volume = 3 × 0.02 = 0.06
Absolute uncertainty in volume = 65.45 × 0.06 = 3.93 cm³

Vì vậy, thể tích là 65.5 ± 3.9 cm³.

Hàm logarit và mũ

Với logarit tự nhiên: 

If z = ln(x), then σz = σₓ/x

Với hàm mũ: 

If z = eˣ, then σz/z = σₓ

Giả sử ta đo được x = 10.0 ± 0.3 và tính y = ln(x).

y = ln(10.0) = 2.303
Uncertainty in y = 0.3/10.0 = 0.03

Vì vậy, ln(10.0) = 2.303 ± 0.030.

Giờ đây khi đã xem các quy tắc cụ thể cho từng phép toán, hãy hiểu nền tảng toán học thống nhất đứng sau tất cả chúng.

Suy diễn bằng giải tích

Để xây dựng trực giác, hãy coi đạo hàm riêng như câu trả lời cho câu hỏi: “Nếu tôi thay đổi đầu vào này một lượng rất nhỏ, đầu ra sẽ thay đổi bao nhiêu?” 

Độ nhạy với thay đổi này chính là điều chúng ta cần để hiểu cách bất định lan truyền. Đạo hàm riêng lớn có nghĩa là đầu vào ảnh hưởng mạnh đến đầu ra, vì vậy bất định của nó đóng góp nhiều hơn vào bất định cuối cùng.

Bắt đầu với nền tảng toán học. Với hàm z = f(x, y), vi phân toàn phần cho ta:

dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy

Khi ta hiểu dx và dy là những bất định nhỏ và muốn tìm phương sai (σz²), ta bình phương hai vế và lấy kỳ vọng. 

Điều này dẫn đến công thức lan truyền sai số tổng quát:

σz² = (∂f/∂x)² σₓ² + (∂f/∂y)² σᵧ² + 2(∂f/∂x)(∂f/∂y)σₓᵧ

Ở đây, σₓᵧ biểu thị hiệp phương sai giữa x và y. Với các biến độc lập, hạng này triệt tiêu, cho ta dạng đơn giản thường dùng.

Hãy kiểm chứng công thức này bằng cách suy diễn quy tắc nhân. 

Với z = xy:

• Đạo hàm riêng theo x: ∂z/∂x = y
• Đạo hàm riêng theo y: ∂z/∂y = x

Thay vào công thức tổng quát (giả sử x và y độc lập):

σz² = y²σₓ² + x²σᵧ²

Chia cả hai vế cho z^² = (xy)^²:

σz²/z² = σₓ²/x² + σᵧ²/y²

Lấy căn bậc hai cho ta:

(σz/z)² = (σₓ/x)² + (σᵧ/y)²

chính là quy tắc nhân để cộng sai số tương đối theo căn tổng bình phương.

Cách tiếp cận tổng quát này hữu ích khi làm việc với các hàm phức tạp nơi các quy tắc ghi nhớ không còn áp dụng. 

Chẳng hạn, nếu cần tính bất định của z = x^²sin(y) + e^xy, ta có thể áp dụng đạo hàm riêng một cách hệ thống thay vì cố gắng kết hợp nhiều quy tắc. Công thức này xử lý mọi hàm khả vi, khiến nó trở thành công cụ hữu ích nhất cho phân tích bất định trong các phép tính phức tạp.

Tương quan và hiệp phương sai trong lan truyền sai số

Đến giờ các công thức lan truyền sai số của chúng ta giả định bất định là độc lập, nhưng nếu không phải thì sao? 

Tương quan giữa các bất định phổ biến hơn ta tưởng và có thể ảnh hưởng đáng kể đến kết quả. Tương quan phát sinh khi các phép đo chia sẻ một nguồn bất định chung. 

Hãy xét việc đo chiều dài và chiều rộng của một khối kim loại bằng cùng một thước. Nếu cây thước đó thực tế ngắn hơn 1%, cả hai phép đo sẽ bị ảnh hưởng có hệ thống theo cùng một cách, và chúng tương quan dương. Tương tự, nếu nhiệt độ ảnh hưởng đến nhiều cảm biến trong một thí nghiệm, mọi số đo được thực hiện cùng thời điểm đều chịu tác động môi trường này.

Khi một phép đo có xu hướng cao lên đồng thời phép đo khác cũng cao lên (tương quan dương), hoặc khi một phép đo cao lên còn phép đo kia thấp xuống (tương quan âm), chúng ta phải tính đến mối quan hệ này trong tính toán bất định.

Khi các biến có tương quan, ta đưa hạng hiệp phương sai σₓᵧ vào công thức lan truyền. Với hai biến tương quan có hệ số tương quan ρ:

σₓᵧ = ρσₓσᵧ

Công thức đầy đủ cho phép cộng trở thành:

σz² = σₓ² + σᵧ² + 2ρσₓσᵧ

Chúng ta sẽ hiểu rõ hơn khái niệm này qua một ví dụ. 

Hãy đo chu vi của một tấm kim loại hình chữ nhật ở nhiệt độ cao. Ta đo được chiều dài L = 10.0 ± 0.1 cm và chiều rộng W = 5.0 ± 0.05 cm. Chu vi là P = 2L + 2W.

Nếu bỏ qua tương quan:

P = 2(10.0) + 2(5.0) = 30.0 cm
σₚ = √[(2 × 0.1)² + (2 × 0.05)²] = √[0.04 + 0.01] = 0.22 cm

Tuy nhiên, giãn nở nhiệt ảnh hưởng tương tự đến cả hai kích thước. Nếu xác định hệ số tương quan ρ = 0.7 (tương quan dương mạnh):

Covariance term: 2 × 2 × 2 × 0.7 × 0.1 × 0.05 = 0.028
σₚ = √[0.04 + 0.01 + 0.028] = √0.078 = 0.28 cm

Bỏ qua tương quan đã đánh giá thấp bất định khoảng 25%, một khác biệt đáng kể có thể ảnh hưởng đến kết luận của chúng ta.

Chúng ta nên đưa hiệp phương sai vào khi:

• Nhiều phép đo sử dụng cùng một thiết bị hoặc chuẩn hiệu chuẩn.
• Điều kiện môi trường (nhiệt độ, áp suất, độ ẩm) ảnh hưởng đồng thời đến tất cả phép đo.
• Các biến có mối quan hệ vật lý đã biết (như các kích thước cùng giãn nở).

Ta có thể bỏ qua hiệp phương sai khi các phép đo thực sự độc lập, được thực hiện bằng các thiết bị khác nhau, vào thời điểm khác nhau, hoặc khi tương quan là không đáng kể so với các nguồn bất định khác. Khi phân vân, nếu điều kiện thay đổi sẽ ảnh hưởng cả hai phép đo theo cùng một hướng, nhiều khả năng chúng có tương quan và điều này nên được xem xét trong phân tích.

Phương pháp nâng cao để xử lý bất định

Khi các hàm có logic điều kiện, tính toán lặp, hoặc các mối quan hệ phi tuyến phức tạp, mô phỏng Monte Carlo là một lựa chọn tốt.

Mô phỏng Monte Carlo

Mô phỏng Monte Carlo tiếp cận trực tiếp: thay vì lan truyền bất định qua công thức, ta mô phỏng hàng nghìn kịch bản có thể xảy ra và quan sát phân phối kết quả. 

Quy trình là:

1. Tạo mẫu ngẫu nhiên từ phân phối của từng biến đầu vào.
2. Tính kết quả cho mỗi bộ mẫu.
3. Phân tích phân phối đầu ra để xác định bất định.

Bạn có thể học cách thực hiện mô phỏng monte-carlo trong Excel qua hướng dẫn chuyên sâu của chúng tôi. Tuy nhiên, để hoàn chỉnh cho hướng dẫn này, hãy cùng xem lại một kịch bản nơi phương pháp giải tích trở nên phức tạp. 

Xét z = x^²/y với x = 10.0 ± 0.5 và y = 2.0 ± 0.2. Dù ta có thể dùng đạo hàm riêng, hãy xem cách tiếp cận khái niệm mà Monte Carlo xử lý bài toán này:

for each of 10,000 iterations:
   x_sample = random value from normal(mean=10.0, std=0.5)
   y_sample = random value from normal(mean=2.0, std=0.2)
   z_sample = x_sample² / y_sample
  
result = mean of all z_samples = 50.2
uncertainty = standard deviation of z_samples = 5.3

Điểm hay của cách tiếp cận này là:

• Xử lý mọi dạng phân phối: Đầu vào của chúng ta không cần tuân theo phân phối chuẩn.
• Xử lý tương quan tự nhiên: Nhớ ví dụ chu vi có tương quan? Monte Carlo có thể tạo mẫu ngẫu nhiên có tương quan trực tiếp.
• Bức tranh đầu ra toàn diện: Ta có toàn bộ phân phối kết quả, bộc lộ độ lệch hoặc nhiều đỉnh mà chỉ mỗi độ lệch chuẩn có thể không phản ánh.
• Hoạt động với logic phức tạp: Các hàm có điều kiện if/then hoặc phép toán min/max đều xử lý được.

Vậy khi nào ta nên chọn Monte Carlo thay vì phương pháp giải tích? Hãy cân nhắc khi:

• Hàm của chúng ta có các câu lệnh điều kiện hoặc tính toán lặp.
• Các biến tuân theo phân phối không chuẩn (đều, mũ, v.v.)
• Ta cần toàn bộ phân phối đầu ra, không chỉ độ lệch chuẩn.
• Cách tiếp cận giải tích đòi hỏi đạo hàm phức tạp mà ta không tự tin tính toán.

Về triển khai thực tế, 10.000 mẫu thường cho ước lượng tốt cho hầu hết ứng dụng, trong khi 100.000 mẫu cho độ chính xác cao. Máy tính hiện đại có thể chạy các mô phỏng này trong vài giây với các hàm đơn giản.

Các cân nhắc tính toán

Với các mô hình tốn kém tính toán, như mô phỏng phần tử hữu hạn hoặc mô hình khí hậu, nơi một lần tính có thể mất hàng giờ, mô hình thay thế là phù hợp. 

Mô hình thay thế là các hàm toán học đơn giản hóa xấp xỉ hành vi của các mô hình phức tạp, là bản thay thế nhanh hơn nhưng vẫn nắm bắt được mối quan hệ vào–ra của mô hình gốc.

Tuy nhiên, với hầu hết tác vụ phân tích dữ liệu, mô phỏng Monte Carlo trực tiếp đem lại cân bằng lý tưởng giữa độ chính xác và sự đơn giản.

Kết luận

Bài viết này giới thiệu lan truyền sai số, khuôn khổ toán học để hiểu cách bất định trong phép đo ảnh hưởng đến kết quả tính toán. Chúng ta đã học các quy tắc cơ bản để lan truyền bất định qua các phép toán khác nhau, hiểu cách tương quan giữa các biến tác động đến tính toán bất định, và khám phá mô phỏng Monte Carlo như một phương án tính toán cho các tình huống phức tạp.

Để nâng cao kỹ năng xử lý bất định và phân tích thống kê trong các ứng dụng thực tế, hãy cân nhắc khám phá lộ trình Machine Learning Scientist with Python của chúng tôi. Lộ trình này bao quát học có giám sát và không giám sát, xây dựng đặc trưng, phân tích chuỗi thời gian và học sâu, nơi việc hiểu bất định và phân tích sai số trở nên quan trọng để đánh giá hiệu năng mô hình, khoảng tin cậy và đưa ra dự đoán đáng tin cậy trong các dự án khoa học dữ liệu.