Determinan: Cara Kerjanya dan Apa yang Diberitahukannya kepada Kita

Informasi dan data yang disimpan pada arsitektur komputasi berbentuk matriks. Karena itu, di balik sebagian besar komputasi ilmiah, machine learning, dan komputasi lainnya terdapat matriks dengan berbagai dimensi.

Matriks adalah objek matematika fundamental dalam aljabar linear. Matriks memiliki beberapa sifat, seperti dimensi, kelangkaan (sparsity), nilai eigen, dan determinan.

Determinan adalah sifat dasar dari matriks persegi yang berperan penting, baik secara langsung maupun tidak langsung, dalam operasi matriks, seperti keterbalikan (invertibility), penyelesaian sistem linear dalam rekayasa, dan transformasi dalam geometri serta grafika komputer.

Dalam artikel ini, Anda akan mempelajari tentang determinan matriks persegi, penerapannya, dan beberapa metode untuk menghitungnya secara manual serta dengan program Python dan R.

Apa Itu Determinan?

Determinan adalah fungsi yang memetakan sebuah matriks persegi ke sebuah skalar real (nilai tunggal). Dalam matematika, determinan dari matriks persegi A ditulis sebagai det(A) atau |A|.

Seperti halnya matematika itu sendiri, determinan memiliki sejarah panjang yang berawal dari matematikawan Tiongkok. Di Tiongkok kuno, matematikawan menggunakan determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (metode mereka kini dikenal sebagai Aturan Cramer). Kemudian di Eropa abad ke-16, matematikawan Cardano memopulerkan determinan dengan menerapkannya pada penyelesaian sistem persamaan linear. Selanjutnya, Takakazu (abad ke-17), Leibniz (abad ke-17), Vandermonde, dan Cauchy (abad ke-18) meletakkan dasar teoretis determinan dalam matematika murni.

Sifat-sifat Determinan

Meskipun determinan perlu dihitung untuk setiap matriks persegi, ada beberapa sifat yang sudah dikenal baik secara umum maupun untuk beberapa jenis matriks tertentu. Selain itu, determinan yang dikenai operasi matematika tertentu juga menunjukkan pola dan sifat tertentu. Beberapa sifat determinan yang dikenal luas adalah sebagai berikut:

Determinan matriks identitas persegi adalah 1

Matriks identitas memiliki nilai 1 pada diagonalnya dan 0 di tempat lain.

Menukar dua baris atau kolom akan mengubah tanda determinan

Sebagai contoh, pada matriks berikut, determinannya adalah:

Jika kita menukar baris-barisnya, hasilnya mengalami perubahan tanda.

Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali elemen diagonal

Jika sebuah matriks berbentuk segitiga bawah atau segitiga atas, maka untuk menghitung determinan kita hanya perlu mengalikan nilai-nilai diagonalnya. Misalnya, pada matriks persegi segitiga atas berikut, determinan dihitung dengan mengalikan nilai-nilai diagonal:

Kita cukup mengalikan elemen-elemen diagonal untuk menghitung determinan: det(U)=2×4×6=48

Determinan invariant terhadap keserupaan matriks

Dua matriks dikatakan serupa jika keduanya berasal dari satu transformasi linear dan memiliki basis yang berbeda. Jika dua matriks serupa, maka determinannya sama (dan nilai eigen, jejak/trace, serta polinomial karakteristik juga sama).

Determinan hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan matriks-matriksnya.

Sebagai contoh, determinan masing-masing matriks A dan B ditunjukkan di sini:

Determinan invariant terhadap transpos

Sebagai contoh, determinan matriks A dan AT adalah sama (-9).

Metode Menghitung Determinan

Ada berbagai metode untuk menghitung determinan dari matriks persegi, seperti rumus Leibniz, ekspansi Laplace, dan eliminasi Gauss. Pemilihan metode bergantung pada ukuran matriks dan biaya komputasi. Kami jelaskan beberapa metode tersebut di bawah ini:

Rumus Leibniz

Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks persegi paling cocok untuk matriks kecil, terutama jika perhitungan dilakukan seluruhnya atau sebagian dengan tangan. Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks adalah sebagai berikut:

Di mana Sn menyatakan himpunan semua permutasi dari angka 1,2,…,n dan sgn(σ) adalah tanda permutasi, yaitu +1 jika permutasi genap dan −1 jika permutasi ganjil. Istilah ai,σ adalah elemen dari matriks A.

Ekspansi Laplace

Ekspansi Laplace ideal untuk matriks yang lebih besar. Dalam ekspansi Laplace atau kofaktor, matriks besar dipecah menjadi matriks-matriks yang lebih kecil. Kemudian, sebuah skema yang melibatkan determinan (minor) dari matriks kecil dan kofaktornya dirancang dan diiterasikan melintasi baris atau kolom.

Eliminasi Gauss

Karena determinan matriks segitiga adalah hasil kali elemen diagonalnya, mereduksi matriks menjadi matriks diagonal membuat perhitungan determinan lebih efisien. Dalam eliminasi Gauss, serangkaian operasi baris dilakukan untuk mereduksi matriks penuh menjadi bentuk eselon baris atau segitiga atas. Kemudian, determinan dihitung dengan mengalikan elemen-elemen diagonal.

Cara Menemukan Determinan untuk Matriks Berukuran Berbeda

Pada contoh-contoh berikut, kita menerapkan masing-masing metode di atas pada matriks dengan ukuran berbeda untuk menemukan determinannya.

Cara menemukan determinan untuk matriks 2x2

Determinan matriks persegi 2x2 adalah yang termudah untuk diingat dan dihitung. Jika kita menyatakan matriks 2x2 A sebagai: 

Maka det(A) = (a x d) - (b x c). Misalnya, untuk matriks B berikut:

Cara menemukan determinan untuk matriks 3x3

Meskipun ada rumus untuk menghitung matriks persegi 3x3, untuk alasan pedagogis kami mendemonstrasikan ekspansi Laplace (kofaktor) pada contoh ini. Kita akan menghitung determinan matriks A berikut:

Cara menemukan determinan untuk matriks 4x4

Sekarang kita gunakan kesempatan ini untuk menunjukkan metode eliminasi Gauss untuk menghitung determinan dari matriks 4 x 4 A berikut:

Kita akan mengubah matriks ini menjadi matriks segitiga atas dengan melakukan operasi baris.

Kita peroleh,

Satu operasi baris lagi:

Kita peroleh, 

Dan determinan adalah hasil kali elemen-elemen diagonal:

Makna Geometris dan Aljabaris

Seperti yang kita definisikan di atas, determinan adalah fungsi yang memetakan matriks persegi ke sebuah bilangan real.

Dalam geometri, sebuah persegi memiliki dua sisi, yang hasil kalinya adalah luas permukaan. Dan jika ada tiga sisi, kita mendapatkan volume. (Nilai absolut) determinan dari matriks 2 x 2 dapat ditafsirkan sebagai luas jajargenjang yang dibentuk oleh dua kolom matriks (sebagai vektor berarah), dan determinan bertanda dari matriks 3 x 3 dapat ditafsirkan sebagai volume sebuah jajargenjang ruang (benda tiga dimensi).

Dalam transformasi grafis, seperti meregangkan atau memperkecil gambar, determinan dari gambar yang ditransformasikan menunjukkan apakah luas gambar asli (matriks) berubah atau tidak (prinsip Cavalieri) setelah transformasi, sementara nilai eigen menunjukkan apakah gambar memanjang atau menyusut dengan atau tanpa mengubah luasnya.

Determinan juga dapat menunjukkan apakah kolom atau baris suatu matriks merupakan kombinasi linear satu sama lain (redundansi) atau saling bebas linear masing-masing dengan informasi unik. Jika determinan suatu matriks tidak nol, kita menyimpulkan bahwa kolom atau baris matriks tersebut bebas linear. Jika determinan nol, ini menunjukkan bahwa kolom (atau baris) matriks saling bergantung linear.

Terakhir, determinan juga digunakan dalam merumuskan polinomial karakteristik untuk menghitung nilai eigen.

Determinan di Python dan R

Walaupun menghitung determinan dengan tangan adalah pengalaman belajar yang berharga untuk mengasah keterampilan matematika dan mengembangkan kematangan matematika, pada akhirnya keterbatasan waktu dan energi mungkin mendorong kita menggunakan kalkulator atau bahasa pemrograman seperti Python atau R. Baik Python maupun R menyediakan pustaka, fungsi, atau metode untuk menghitung determinan suatu matriks. Pada cuplikan kode berikut, kami menunjukkan cara menghitung determinan matriks menggunakan Python dan R.

Contoh Python

Dua paket Python populer untuk menghitung determinan matriks meliputi Numpy dan Sympy (Symbolic Python). Pada cuplikan kode berikut, kami menunjukkan cara menghitung determinan menggunakan pustaka Numpy dan Sympy di Python.

# Computing determinant using Numpy
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
determinant = np.linalg.det(matrix)
print("Determinant:", determinant)
 
# Computing determinant using Sympy# Import the necessary library
import sympy as sp
matrix = sp.Matrix([[1, 2], [3, 4]])
determinant = matrix.det()
print("Determinant:", determinant)
 Didukung oleh

Contoh R

Menghitung determinan matriks di R tidak memerlukan pemuatan pustaka. R dasar menyediakan fungsi bawaan untuk menghitung determinan matriks, seperti ditunjukkan pada cuplikan kode R berikut:

matrix <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow = 2, ncol = 2)
determinant <- det(matrix)
print(paste("Determinant:", determinant))Didukung oleh

Aplikasi Determinan

Sistem linear

Determinan dapat digunakan langsung untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan Aturan Cramer. Dengan Aturan Cramer, pertama kita membentuk matriks yang terdiri atas koefisien-koefisien peubah tak diketahui dalam sistem persamaan dan menghitung determinannya. Selanjutnya, kita membentuk matriks untuk setiap peubah tak diketahui dan menghitung determinannya. Perbandingan determinan matriks baru terhadap matriks induk akan menjadi nilai dari peubah tak diketahui tersebut.

Persamaan diferensial

Sebuah persamaan diferensial mungkin memiliki beberapa solusi (fungsi). Untuk memastikan solusi-solusi tersebut bebas linear (unik), determinan dari himpunan fungsi solusi, yang disebut Wronskian, dihitung. Wronskian yang tidak nol menunjukkan bahwa fungsi/solusi bebas linear pada interval yang diberikan.

Geometri

Dalam geometri, determinan matriks 2 x 2 dapat ditafsirkan sebagai luas jajargenjang, dan determinan matriks 3 x 3 dapat ditafsirkan sebagai volume suatu benda (jajargenjang ruang). Determinan dalam pemetaan fungsi multivariat dapat membantu kita memahami apakah pemetaan tersebut memengaruhi luas atau volume fungsi menggunakan determinan dari matriks Jacobian.

Poin-poin Utama yang Perlu Diingat

Determinan berperan lebih tidak langsung dalam machine learning, statistika, dan komputasi ilmiah. Meski demikian, memahami bagaimana sistem persamaan linear, inversi matriks, grafika komputer, dan persamaan diferensial menggunakan determinan dalam prosesnya dapat memberi gambaran tentang signifikansi halusnya dan perlunya memahami determinan. Lain kali Anda menemui galat matriks yang tidak dapat diinvers, Anda mungkin akan memikirkan peran determinan dalam bentuk dan kebebasan linear matriks tersebut.

Kesimpulan

Semoga Anda semakin memahami betapa pentingnya determinan dalam memahami perilaku dan transformasi matriks. Kursus Linear Algebra for Data Science in R kami adalah langkah berikutnya yang tepat untuk terus mempelajari teknik aljabar linear dan menerapkannya dalam alur kerja data science.