Il determinante: come funziona e cosa ci dice

Le informazioni e i dati memorizzati su un’architettura di calcolo sono sotto forma di matrici. Di conseguenza, alla base della maggior parte dei calcoli scientifici e di machine learning ci sono matrici di dimensioni diverse.

Le matrici sono oggetti matematici fondamentali nell’algebra lineare. Le matrici hanno a loro volta alcune proprietà, come dimensione, sparsità, autovalori e determinanti.

Il determinante è una proprietà fondamentale di una matrice quadrata che gioca ruoli diretti e indiretti importanti nelle operazioni con le matrici, come l’invertibilità, la risoluzione di sistemi lineari in ingegneria e le trasformazioni in geometria e computer grafica.

In questo articolo imparerai cosa sono i determinanti di una matrice quadrata, le loro applicazioni e alcuni metodi per calcolarli a mano e con programmi in Python e R.

Cos’è un determinante?

Il determinante è una funzione che associa a una matrice quadrata uno scalare reale (un singolo valore). In matematica, il determinante di una matrice quadrata A si indica come det(A) oppure |A|.

Come la matematica stessa, anche il determinante ha una lunga storia che risale ai matematici cinesi. Nell’antica Cina si usavano i determinanti per risolvere sistemi di equazioni lineari (il loro metodo di risoluzione è oggi noto come regola di Cramer). Più tardi, nell’Europa del XVI secolo, il matematico Cardano portò i determinanti alla ribalta applicandoli alla soluzione di sistemi di equazioni lineari. Successivamente, Takakazu (XVII secolo), Leibniz (XVII secolo), Vandermonde e Cauchy (XVIII secolo) posero le basi teoriche dei determinanti nell’ambito della matematica pura.

Proprietà dei determinanti

Sebbene i determinanti vadano calcolati per ogni matrice quadrata, esistono alcune proprietà generali e specifiche. Inoltre, sottoposti a certe operazioni matematiche, i determinanti mostrano schemi e proprietà ricorrenti. Alcune delle proprietà più note sono le seguenti:

Il determinante di una matrice identità quadrata è 1

Una matrice identità ha 1 sulla diagonale e 0 altrove.

Scambiare due righe o due colonne cambia il segno del determinante

Per esempio, nella matrice seguente il determinante è:

Se scambiamo le righe, il risultato cambia di segno.

Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi diagonali

Se una matrice è triangolare inferiore o superiore, per calcolare il determinante basta moltiplicare tra loro i valori sulla diagonale. Ad esempio, nella seguente matrice quadrata triangolare superiore, il determinante si calcola moltiplicando i valori diagonali:

Semplicemente moltiplichiamo gli elementi diagonali per calcolare il determinante: det(U)=2×4×6=48

Il determinante è invariante per matrici simili

Due matrici sono simili se derivano dalla stessa trasformazione lineare e hanno basi diverse. Se due matrici sono simili, allora hanno lo stesso determinante (e gli stessi autovalori, tracce e polinomi caratteristici).

Il determinante di un prodotto di matrici è il prodotto dei loro determinanti

Come esempio, qui sono mostrati i determinanti delle singole matrici A e B:

I determinanti sono invarianti per trasposizione

Per esempio, il determinante della matrice A e di AT è lo stesso (-9).

Metodi per calcolare i determinanti

Esistono diversi metodi per calcolare il determinante di una matrice quadrata, come la formula di Leibniz, lo sviluppo di Laplace e l’eliminazione di Gauss. La scelta del metodo dipende dalla dimensione della matrice e dai costi computazionali. Di seguito descriviamo alcuni di questi metodi:

Formula di Leibniz

La formula di Leibniz per trovare il determinante di una matrice quadrata è particolarmente adatta a matrici piccole, soprattutto se il calcolo è svolto del tutto o in parte a mano. La formula di Leibniz per il determinante di una matrice è la seguente:

Dove Sn denota l’insieme di tutte le permutazioni dei numeri 1,2,…,n e sgn(σ) è il segno della permutazione, che vale +1 se la permutazione è pari e −1 se è dispari. Il termine ai,σ è un elemento della matrice A.

Sviluppo di Laplace

Lo sviluppo di Laplace è ideale per matrici più grandi. Nello sviluppo di Laplace, o per cofattori, una matrice grande viene suddivisa in matrici più piccole. Si imposta quindi uno schema che coinvolge il determinante (minore) di una matrice più piccola e il suo cofattore, e lo si itera lungo righe o colonne.

Eliminazione di Gauss

Poiché il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi diagonali, ridurre una matrice a una forma diagonale rende il calcolo del determinante più efficiente. Nell’eliminazione di Gauss si eseguono una serie di operazioni sulle righe per ridurre la matrice completa alla forma a scalini per righe o triangolare superiore. Quindi, il determinante si calcola moltiplicando gli elementi sulla diagonale.

Come trovare il determinante per matrici di diverse dimensioni

Nei seguenti esempi applichiamo ciascuno dei metodi precedenti a matrici di dimensioni diverse per trovare i determinanti.

Come trovare il determinante di una matrice 2x2

Il determinante di una matrice quadrata 2x2 è il più facile da ricordare e calcolare. Se indichiamo una matrice 2x2 A come: 

Allora det(A) = (a × d) − (b × c). Per esempio, per la matrice B qui sotto:

Come trovare il determinante di una matrice 3x3

Sebbene esista una formula per il calcolo del determinante di una matrice quadrata 3x3, per ragioni didattiche in questo esempio mostriamo lo sviluppo di Laplace (cofattori). Calcoleremo il determinante della matrice A qui sotto:

Come trovare il determinante di una matrice 4x4

Cogliamo ora l’occasione per mostrare il metodo dell’eliminazione di Gauss per calcolare il determinante della seguente matrice 4 × 4 A:

Trasformeremo questa matrice in una matrice triangolare superiore effettuando operazioni sulle righe.

Otteniamo,

Un’altra operazione di riga:

Otteniamo, 

E il determinante è il prodotto degli elementi diagonali:

Significato geometrico e algebrico

Come abbiamo definito sopra, il determinante è una funzione che associa a una matrice quadrata un numero reale.

In geometria, un quadrato ha due lati, il cui prodotto è l’area della superficie. E se ci sono tre lati, si ottiene il volume. Il valore assoluto del determinante di una matrice 2 × 2 può essere interpretato come l’area di un parallelogramma formato dalle due colonne della matrice (come vettori direzionali), e il determinante con segno di una matrice 3 × 3 può essere interpretato come il volume di un parallelepipedo (solido tridimensionale).

Nelle trasformazioni grafiche, come stirare o restringere un’immagine, il determinante dell’immagine trasformata indica se l’area dell’immagine originale (matrice) è cambiata o meno (principio di Cavalieri) dopo la trasformazione, mentre gli autovalori indicano se l’immagine si è allungata o ristretta con o senza variazione dell’area.

I determinanti possono anche indicare se le colonne o le righe di una matrice sono combinazioni lineari tra loro (ridondanza) o se sono linearmente indipendenti, ciascuna con informazioni uniche. Se il determinante di una matrice è diverso da zero, concludiamo che le colonne o le righe della matrice sono linearmente indipendenti. Se il determinante è zero, significa che le colonne (o le righe) della matrice sono linearmente dipendenti.

Infine, i determinanti sono usati anche per formulare il polinomio caratteristico per il calcolo degli autovalori.

Il determinante in Python e R

Sebbene calcolare a mano i determinanti sia un’esperienza formativa preziosa per affinare le nostre abilità matematiche e sviluppare dimestichezza, alla lunga i vincoli di tempo ed energie possono spingerci a usare una calcolatrice o un linguaggio di programmazione, come Python o R. Sia Python che R offrono librerie, funzioni o metodi per calcolare il determinante di una matrice. Nei seguenti snippet di codice mostriamo come calcolare il determinante di una matrice usando Python e R.

Esempio in Python

Due famose librerie Python per calcolare il determinante di una matrice sono Numpy e Sympy (Symbolic Python). Nel seguente snippet mostriamo come calcolare il determinante usando le librerie Numpy e Sympy in Python.

# Computing determinant using Numpy
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
determinant = np.linalg.det(matrix)
print("Determinant:", determinant)
 
# Computing determinant using Sympy# Import the necessary library
import sympy as sp
matrix = sp.Matrix([[1, 2], [3, 4]])
determinant = matrix.det()
print("Determinant:", determinant)
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Esempio in R

Per calcolare il determinante di una matrice in R non è necessario caricare alcuna libreria. La base di R fornisce una funzione integrata per calcolare il determinante di una matrice, come mostrato nel seguente snippet in R:

matrix <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow = 2, ncol = 2)
determinant <- det(matrix)
print(paste("Determinant:", determinant))Offerto da

Applicazioni dei determinanti

Sistemi lineari

I determinanti possono essere usati direttamente per risolvere un sistema di equazioni lineari tramite la regola di Cramer. Con la regola di Cramer, per prima cosa costruiamo una matrice costituita dai coefficienti delle incognite del sistema di equazioni e ne calcoliamo il determinante. Poi, formiamo una matrice per ciascuna incognita e calcoliamo il suo determinante. Il rapporto tra il determinante della nuova matrice e quello della matrice di partenza sarà il valore dell’incognita.

Equazioni differenziali

Un’equazione differenziale può avere diverse soluzioni (funzioni). Per assicurarci che le soluzioni siano linearmente indipendenti (uniche), si calcolano i determinanti dell’insieme delle funzioni soluzione, chiamato wronskiano. Un wronskiano diverso da zero indica che le funzioni/soluzioni sono linearmente indipendenti nell’intervallo dato.

Geometria

In geometria, il determinante di una matrice 2 × 2 può essere interpretato come l’area di un parallelogramma, e il determinante di una matrice 3 × 3 come il volume di un solido (parallelepipedo). I determinanti nel mapping di funzioni multivariabili possono aiutarci a capire se la mappatura ha influenzato l’area o il volume delle funzioni usando il determinante della matrice jacobiana.

Punti chiave da ricordare

I determinanti hanno un ruolo più indiretto nel machine learning, nella statistica e nel calcolo scientifico. Tuttavia, capire come i sistemi di equazioni lineari, l’inversione di matrici, la computer grafica e le equazioni differenziali usano i determinanti nel processo può far luce sulla loro sottile importanza e sulla necessità di comprenderli. La prossima volta che incontri un errore di matrice non invertibile, potresti pensare al ruolo del determinante nella forma e nell’indipendenza lineare della matrice.

Conclusione

Spero che tu abbia compreso l’importanza del determinante per capire il comportamento e le trasformazioni delle matrici. Il nostro corso Linear Algebra for Data Science in R è un ottimo prossimo passo per continuare a imparare tecniche di algebra lineare e applicarle nei workflow di data science.