Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin substituție sau eliminare de obicei înseamnă să rescrii termeni și să urmărești cu atenție semnele. Munca devine anevoioasă pe măsură ce crește numărul de ecuații sau variabile.
O matrice augmentată oferă o reprezentare compactă care combină toate coeficienții și constantele într-un singur obiect. Această formă permite aplicarea unui set redus de operații pe linii care simplifică sistemul fără a rescrie ecuațiile originale.
În secțiunile următoare, voi defini ce este o matrice augmentată, îți voi arăta cum să o construiești și voi explica metodele standard de rezolvare a sistemelor de ecuații cu ajutorul ei.
Ce este o matrice augmentată?
O matrice augmentată este o matrice care conține coeficienții variabilelor în stânga și termenii constanți în dreapta, separate printr-o bară verticală pentru distincție vizuală. Bara are doar rol de separator vizual și nu afectează calculele.
Forma de matrice augmentată a unui sistem de ecuații
Pentru a forma matricea augmentată, ar trebui să listezi coeficienții fiecărei variabile în aceeași ordine pentru fiecare ecuație și apoi să atașezi termenul constant într-o coloană suplimentară. Fiecare rând al matricei trebuie să corespundă exact unei ecuații din sistemul original.
Să considerăm sistemul:
Matricea augmentată corespunzătoare este:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/1b43c2a81ce4d19dda05804ab649a73d.png)
După cum poți vedea, primul rând codifică prima ecuație, iar al doilea rând o codifică pe a doua.
De ce sunt utile matricile augmentate
Matricea augmentată adună la un loc toate numerele necesare pentru a descrie sistemul. Toată munca ulterioară se bazează pe aplicarea directă a operațiilor pe linii asupra acestui unic obiect. Astfel, nu mai e nevoie să rescrii repetat ecuațiile sau să ții separat evidența listelor de coeficienți și constante. Metoda se scalează elegant la sisteme mai mari și reduce riscul de erori de transcriere.
Operații pe linii în matrici augmentate
Există trei operații elementare pe linii permise. Fiecare operație corespunde unei manipulări algebrice care lasă neschimbată mulțimea soluțiilor. Acestea sunt:
- Inter-schimbarea oricăror două rânduri, cunoscută și ca permutarea rândurilor.
- Înmulțirea fiecărui element dintr-un rând cu aceeași constantă nenulă.
- Adăugarea unui multiplu al unui rând la un alt rând (sau scăderea lui).
Deoarece aceste operații păstrează mulțimea soluțiilor, matricea transformată reprezintă sisteme echivalente. Este important de menționat că aceleași operații se pot face și pe coloane.
Rezolvarea sistemelor folosind matrici augmentate
Procesul de rezolvare are trei etape:
- Scrie sistemul ca matrice augmentată.
- Aplică operații pe linii pentru a ajunge la o formă mai simplă.
- Citește soluția din matricea simplificată.
Forma țintă se numește formă eșalon pe linii, ceea ce înseamnă că elementul conducător, cunoscut și ca pivot, din fiecare rând nenul este 1, toate elementele de sub fiecare pivot sunt zero, iar pivoții se deplasează spre dreapta pe măsură ce cobori în matrice. Din forma eșalon pe linii, substituția înapoi ne va da valorile variabilelor.
Eliminarea Gaussiană cu matrici augmentate
Eliminarea Gaussiană funcționează prin crearea sistematică de zerouri sub fiecare pivot de la stânga la dreapta. Scopul este o matrice triunghiulară superioară.
Începe cu cea mai din stânga coloană care poate servi drept pivot. Scalează rândul pivot, dacă e necesar, astfel încât pivotul să fie 1, apoi adaugă multipli potriviți ai acelui rând la rândurile de dedesubt pentru a produce zerouri în coloană.
Apoi treci la următoarea coloană și repetă exact același lucru. Matricea triunghiulară rezultată se rezolvă prin substituție înapoi începând cu ultimul rând.
Dacă asta sună intimidant, e în regulă, va fi mai clar când vom vedea exemplul mai târziu în acest articol.
Forma eșalon redusă pe linii (RREF)
Forma eșalon redusă pe linii duce pur și simplu forma eșalon pe linii cu un pas mai departe.
Pe lângă condițiile formei eșalon pe linii, fiecare element deasupra fiecărui pivot trebuie să fie tot zero, iar fiecare pivot trebuie să fie egal cu 1. Pentru un sistem cu o soluție unică, partea stângă a matricei devine matricea identitate. Constandele din dreapta dau apoi direct valorile exacte ale variabilelor, ceea ce înseamnă că nu mai este necesară substituția înapoi în acest punct.
Exemplu de rezolvare a unui sistem cu o matrice augmentată
Consideră sistemul:
Formează matricea augmentată:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ac312dc2de2f85a82688c9822933096a.png)
Împarte rândul 1 la 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/c978fb965317c3958007d5104c40d970.png)
Scade rândul 1 din rândul 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/d53fd90648d45966012b43e918ecbab3.png)
Înmulțește rândul 2 cu -2/3:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/b1f97689a2caa6be9cd6eba5bd982ba4.png)
Scade de 1/2 ori rândul 2 din rândul 1:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ecfa74efaa9b0dd99bf4d6c0bfc5c80c.png)
Matricea este acum în forma eșalon redusă pe linii. Soluția este x=2 și y=1.
Matrice augmentată vs. matrice de coeficienți
Matricea de coeficienți conține doar coeficienții variabilelor. Pentru sistemul de mai sus, ea este:
Matricea augmentată anexează coloana constantelor și oferă o reprezentare completă folosită în procesul de rezolvare.
Matrice augmentată și sisteme liniare
Fiecare rând al matricei augmentate corespunde unei ecuații, astfel încât matricea codifică întregul sistem. După reducerea pe rânduri, sunt posibile trei rezultate:
- Matricea oferă același număr de pivoți nenuli ca și variabilele, ceea ce înseamnă că există o singură soluție unică.
- Un rând de forma [0 0 … 0 | c] unde c este netrivial, ceea ce înseamnă că nu există soluție.
- Sunt mai puțini pivoți decât variabile, fără rânduri contradictorii, ceea ce înseamnă că există infinit de multe soluții.
Concluzie
Matricile augmentate transformă rezolvarea sistemelor liniare într-o succesiune de operații bine definite pe rânduri, aplicate unei singure matrici.
Instrumentele disponibile sunt cele trei operații elementare pe linii, care păstrează mulțimea soluțiilor și, în același timp, simplifică matricea. Odată ce te simți confortabil cu această tehnică, vei fi gata să stăpânești eliminarea Gaussiană și forma eșalon redusă pe rânduri, deoarece aceste concepte sunt elementele de bază ale algebrei liniare care apar aproape peste tot, precum știința datelor, optimizarea, analiza numerică, procesarea imaginilor și multe, multe altele.