Giải một hệ phương trình tuyến tính bằng thế hoặc khử thường đòi hỏi viết lại các hạng tử và theo dõi cẩn thận các dấu. Khối lượng công việc trở nên nhàm chán khi số phương trình hoặc số ẩn tăng lên.
Ma trận mở rộng cung cấp một biểu diễn gọn gàng gộp tất cả hệ số và hằng số vào một đối tượng. Dạng này cho phép áp dụng một tập nhỏ các phép biến đổi hàng để đơn giản hóa hệ mà không cần viết lại các phương trình gốc.
Trong các phần tiếp theo, tôi sẽ định nghĩa ma trận mở rộng là gì, cách lập nó, và giải thích các phương pháp chuẩn để giải hệ phương trình bằng công cụ này.
Ma Trận Mở Rộng Là Gì?
Ma trận mở rộng là một ma trận chứa các hệ số của biến ở bên trái và các hằng số ở bên phải, được phân tách bằng một vạch dọc để phân biệt trực quan. Vạch này chỉ là yếu tố trực quan, không ảnh hưởng đến phép tính.
Dạng Ma Trận Mở Rộng Của Một Hệ Phương Trình
Để lập ma trận mở rộng, bạn nên liệt kê các hệ số của từng biến theo cùng một thứ tự cho mọi phương trình, sau đó ghép thêm hằng số vào một cột bổ sung. Mỗi hàng của ma trận phải tương ứng chính xác với một phương trình trong hệ ban đầu.
Xét hệ:
Ma trận mở rộng tương ứng là:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/1b43c2a81ce4d19dda05804ab649a73d.png)
Như bạn thấy, hàng đầu tiên mã hóa phương trình thứ nhất, và hàng thứ hai mã hóa phương trình thứ hai.
Vì Sao Ma Trận Mở Rộng Hữu Ích
Ma trận mở rộng gom mọi con số cần có để mô tả hệ vào một chỗ. Toàn bộ các bước tiếp theo dựa trên việc áp dụng trực tiếp các phép biến đổi hàng lên một đối tượng duy nhất này. Nhờ đó, không cần lặp đi lặp lại việc viết phương trình hay theo dõi danh sách hệ số và hằng số riêng rẽ. Phương pháp này mở rộng gọn gàng cho các hệ lớn hơn và giảm khả năng sai sót khi chép.
Các Phép Biến Đổi Hàng Trên Ma Trận Mở Rộng
Có ba phép biến đổi hàng sơ cấp được phép dùng. Mỗi phép tương ứng với một thao tác đại số không làm thay đổi tập nghiệm. Bao gồm:
- Hoán đổi bất kỳ hai hàng (đổi chỗ các hàng).
- Nhân mọi phần tử trong một hàng với cùng một hằng số khác 0.
- Cộng một bội của một hàng vào hàng khác (hoặc trừ).
Vì các phép này bảo toàn tập nghiệm, ma trận sau biến đổi biểu diễn các hệ tương đương. Cũng cần lưu ý rằng các phép tương tự có thể áp dụng trên cột.
Giải Hệ Bằng Ma Trận Mở Rộng
Quy trình giải có ba giai đoạn:
- Viết hệ dưới dạng ma trận mở rộng.
- Áp dụng các phép biến đổi hàng để đạt dạng đơn giản hơn.
- Đọc nghiệm từ ma trận đã được đơn giản hóa.
Dạng đích gọi là dạng bậc thang theo hàng, nghĩa là phần tử đầu (còn gọi là pivot) ở mỗi hàng khác không bằng 1, mọi phần tử bên dưới mỗi pivot bằng 0, và các pivot dịch sang phải khi đi xuống các hàng. Từ dạng bậc thang theo hàng, thế ngược sẽ cho ta giá trị các biến.
Khử Gauss Với Ma Trận Mở Rộng
Khử Gauss tạo có hệ thống các số 0 bên dưới mỗi pivot từ trái sang phải. Mục tiêu là ma trận tam giác trên.
Bắt đầu với cột ngoài cùng bên trái có thể làm pivot. Chuẩn hóa hàng chứa pivot nếu cần để pivot bằng 1, rồi cộng các bội thích hợp của hàng đó vào các hàng bên dưới để tạo các số 0 trong cột.
Tiếp theo, chuyển sang cột kế và lặp lại đúng quy trình. Ma trận tam giác thu được sẽ được giải bằng thế ngược bắt đầu từ hàng cuối.
Nếu điều này nghe có vẻ khó, không sao cả; khi xem ví dụ ở phần sau, bạn sẽ thấy dễ hiểu hơn.
Dạng Bậc Thang Theo Hàng Rút Gọn (RREF)
Dạng bậc thang theo hàng rút gọn chỉ là đưa dạng bậc thang theo hàng tiến thêm một bước.
Ngoài các điều kiện của dạng bậc thang theo hàng, mọi phần tử phía trên mỗi pivot cũng phải bằng 0, và mỗi pivot phải bằng 1. Với hệ có nghiệm duy nhất, phần bên trái của ma trận trở thành ma trận đơn vị. Khi đó các hằng số ở phía phải cho trực tiếp giá trị của các biến, nghĩa là không cần thế ngược nữa.
Ví Dụ Giải Hệ Bằng Ma Trận Mở Rộng
Xét hệ:
Lập ma trận mở rộng:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ac312dc2de2f85a82688c9822933096a.png)
Chia hàng 1 cho 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/c978fb965317c3958007d5104c40d970.png)
Lấy hàng 2 trừ hàng 1:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/d53fd90648d45966012b43e918ecbab3.png)
Nhân hàng 2 với -2/3:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/b1f97689a2caa6be9cd6eba5bd982ba4.png)
Lấy hàng 1 trừ 1/2 lần hàng 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ecfa74efaa9b0dd99bf4d6c0bfc5c80c.png)
Ma trận giờ ở dạng bậc thang theo hàng rút gọn. Nghiệm là x=2 và y=1.
Ma Trận Mở Rộng so với Ma Trận Hệ Số
Ma trận hệ số chỉ chứa các hệ số của biến. Với hệ trên, nó là:
Ma trận mở rộng ghép thêm cột hằng số, cung cấp biểu diễn đầy đủ được dùng trong quá trình giải.
Ma Trận Mở Rộng và Hệ Tuyến Tính
Mỗi hàng của ma trận mở rộng tương ứng một phương trình, nên ma trận mã hóa toàn bộ hệ. Sau khi khử hàng, có thể xảy ra một trong ba kết quả:
- Số pivot khác không bằng với số biến, nghĩa là có một nghiệm duy nhất.
- Xuất hiện một hàng dạng [0 0 … 0 | c] với c là số khác tầm thường, nghĩa là vô nghiệm.
- Số pivot ít hơn số biến mà không có hàng mâu thuẫn, nghĩa là có vô số nghiệm.
Kết Luận
Ma trận mở rộng biến việc giải hệ tuyến tính thành một chuỗi các phép biến đổi hàng rõ ràng được áp dụng lên một mảng duy nhất.
Các công cụ sẵn có là ba phép biến đổi hàng sơ cấp, vừa bảo toàn tập nghiệm vừa đơn giản hóa ma trận. Khi bạn đã quen với kỹ thuật này, bạn sẽ sẵn sàng nắm vững khử Gauss và dạng bậc thang theo hàng rút gọn, vì đây là những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính xuất hiện gần như ở khắp nơi, như khoa học dữ liệu, tối ưu hóa, phân tích số, xử lý ảnh, và còn rất nhiều lĩnh vực khác.
