Расширенные матрицы: как решать системы уравнений

Решение системы линейных уравнений подстановкой или исключением обычно требует перезаписи выражений и тщательного отслеживания знаков. По мере увеличения числа уравнений или переменных работа становится утомительной. 

Расширенная матрица даёт компактное представление, объединяя все коэффициенты и константы в одном объекте. В этой форме можно применять небольшой набор строковых операций, которые упрощают систему без переписывания исходных уравнений. 

В следующих разделах будет дано определение расширенной матрицы, показано, как её построить, и объяснены стандартные методы решения систем уравнений с её помощью.

Что такое расширенная матрица?

Расширенная матрица — это матрица, в которой слева размещены коэффициенты переменных, а справа — свободные члены, визуально разделённые вертикальной чертой. Черта служит лишь для наглядности и не влияет на вычисления.

Расширенная матрица для системы уравнений

Чтобы сформировать расширенную матрицу, запишите коэффициенты каждой переменной в одном и том же порядке для каждого уравнения и добавьте свободный член в дополнительный столбец. Каждая строка матрицы должна в точности соответствовать одному уравнению исходной системы.

Рассмотрим систему:

Соответствующая расширенная матрица:

Как видно, первая строка кодирует первое уравнение, а вторая — второе.

Зачем нужны расширенные матрицы

Расширенная матрица собирает в одном месте все числа, необходимые для описания системы. Вся дальнейшая работа сводится к применению строковых операций непосредственно к этому единому объекту. В результате нет нужды многократно переписывать уравнения или вести отдельные списки коэффициентов и констант. Метод хорошо масштабируется на большие системы и снижает риск ошибок при переписывании.

Строковые операции над расширенными матрицами

Разрешены три элементарные строковые операции. Каждой операции соответствует алгебраическое преобразование, не меняющее множество решений. Это:

1. Перестановка любых двух строк (обмен строк).
2. Умножение каждой записи строки на один и тот же ненулевой множитель.
3. Прибавление к одной строке кратной другой строки (или вычитание).

Поскольку эти операции сохраняют множество решений, преобразованная матрица представляет эквивалентные системы. Важно отметить, что аналогичные операции можно выполнять и над столбцами.

Решение систем с помощью расширенных матриц

Процесс решения включает три этапа:

1. Запишите систему в виде расширенной матрицы.
2. Применяйте строковые операции, чтобы получить более простую форму.
3. Считайте решение из упрощённой матрицы.

Целевая форма называется ступенчатой по строкам формой (row echelon form): ведущая запись, или опорный элемент (pivot), в каждой ненулевой строке равна 1, все элементы ниже каждого опорного — нули, а опорные элементы смещаются вправо при продвижении вниз по матрице. Из ступенчатой формы значения переменных находятся обратной подстановкой. 

Метод Гаусса с расширенными матрицами

Метод Гаусса последовательно создаёт нули под каждым опорным элементом слева направо. Цель — получить верхнетреугольную матрицу.

Начните с самого левого столбца, который может содержать опорный элемент. При необходимости масштабируйте строку с опорным элементом так, чтобы опорный элемент стал равен 1, затем прибавляйте подходящие кратные этой строки к нижерасположенным строкам, чтобы получить нули в столбце.

Далее перейдите к следующему столбцу и повторите те же действия. Полученную треугольную матрицу решают обратной подстановкой, начиная с последней строки.

Если это звучит пугающе, ничего страшного — на примере ниже всё станет понятнее.

Приведённая ступенчатая по строкам форма (RREF)

Приведённая ступенчатая форма — это следующий шаг после ступенчатой формы по строкам.

В дополнение к условиям ступенчатой формы, все элементы над каждым опорным также должны быть нулями, а каждый опорный элемент — равен 1. Для системы с единственным решением левая часть матрицы превращается в единичную матрицу. Тогда константы справа дают точные значения переменных напрямую, и обратная подстановка уже не требуется.

Пример решения системы с помощью расширенной матрицы

Рассмотрим систему:

Сформируйте расширенную матрицу:

Разделите строку 1 на 2:

Вычтите строку 1 из строки 2:

Умножьте строку 2 на -2/3:

Вычтите из строки 1 половину строки 2:

Матрица теперь находится в приведённой ступенчатой по строкам форме. Решение: x = 2 и y = 1.

Расширенная матрица и матрица коэффициентов

Матрица коэффициентов содержит только коэффициенты переменных. Для приведённой выше системы это:

Расширенная матрица добавляет столбец свободных членов и даёт полное представление, используемое в процессе решения.

Расширенная матрица и линейные системы

Каждая строка расширенной матрицы соответствует одному уравнению, поэтому матрица кодирует всю систему. После приведения возможны три исхода:

• Число ненулевых опорных элементов совпадает с числом переменных — существует единственное решение.
• Появляется строка вида [0 0 … 0 | c], где c нетривиально, — решения нет.
• Опорных элементов меньше, чем переменных, и нет противоречивых строк — решений бесконечно много.

Заключение

Расширенные матрицы сводят решение линейных систем к последовательности чётко определённых строковых операций, применяемых к одному массиву. 

Доступны три элементарные строковые операции, которые сохраняют множество решений и одновременно упрощают матрицу. Освоив этот приём, вы будете готовы работать с методом Гаусса и приведённой ступенчатой формой: это базовые понятия линейной алгебры, встречающиеся практически везде — в науке о данных, оптимизации, численных методах, обработке изображений и во многом другом.