Matriz aumentada: como resolver sistemas de equações

Resolver um sistema de equações lineares por substituição ou eliminação geralmente exige reescrever termos e cuidar bem dos sinais. O trabalho fica cansativo conforme aumenta o número de equações ou variáveis. 

Uma matriz aumentada oferece uma representação compacta que reúne todos os coeficientes e constantes em um único objeto. Esse formato permite aplicar um pequeno conjunto de operações de linha que simplificam o sistema sem reescrever as equações originais. 

Nas seções a seguir, vou definir o que é uma matriz aumentada, mostrar como construí-la e explicar os métodos padrão para resolver sistemas de equações com ela.

O que é uma matriz aumentada?

Uma matriz aumentada é uma matriz que contém, à esquerda, os coeficientes das variáveis e, à direita, os termos constantes, separados por uma barra vertical para facilitar a visualização. A barra é apenas um separador visual e não afeta os cálculos.

Forma de matriz aumentada de um sistema de equações

Para formar a matriz aumentada, você deve listar os coeficientes de cada variável na mesma ordem em todas as equações e então acrescentar o termo constante em uma coluna extra. Cada linha da matriz deve corresponder exatamente a uma equação do sistema original.

Considere o sistema:

A matriz aumentada correspondente é:

Como você pode ver, a primeira linha codifica a primeira equação, e a segunda linha codifica a segunda.

Por que as matrizes aumentadas são úteis

A matriz aumentada reúne, em um só lugar, todos os números necessários para descrever o sistema. Todo o trabalho seguinte se baseia em aplicar operações de linha diretamente nesse único objeto. Assim, não é preciso reescrever as equações várias vezes nem controlar separadamente listas de coeficientes e constantes. O método escala bem para sistemas maiores e reduz a chance de erros de transcrição.

Operações de linha em matrizes aumentadas

Há três operações elementares de linha permitidas. Cada operação corresponde a uma manipulação algébrica que não altera o conjunto de soluções. São elas:

1. Trocar quaisquer duas linhas (permutar linhas).
2. Multiplicar todos os elementos de uma linha pelo mesmo número real não nulo.
3. Somar a uma linha um múltiplo de outra linha (ou subtrair).

Como essas operações preservam o conjunto de soluções, a matriz transformada representa sistemas equivalentes. Vale notar que operações análogas podem ser feitas em colunas também.

Resolvendo sistemas com matrizes aumentadas

O processo de solução tem três etapas:

1. Escrever o sistema como uma matriz aumentada.
2. Aplicar operações de linha até chegar a uma forma mais simples.
3. Ler a solução a partir da matriz simplificada.

A forma-alvo é chamada de forma escalonada por linhas, na qual a entrada líder, também chamada de pivô, em cada linha não nula é 1, todas as entradas abaixo de cada pivô são zero, e os pivôs se deslocam para a direita conforme você desce pela matriz. A partir da forma escalonada, a retro-substituição fornece os valores das variáveis. 

Eliminação de Gauss com matrizes aumentadas

A eliminação de Gauss funciona criando sistematicamente zeros abaixo de cada pivô, da esquerda para a direita. O objetivo é obter uma matriz triangular superior.

Comece pela coluna mais à esquerda que pode servir de pivô. Escalone a linha do pivô, se necessário, para que o pivô seja 1; em seguida, some múltiplos adequados dessa linha às linhas abaixo para produzir zeros na coluna.

Depois, avance para a próxima coluna e repita o mesmo procedimento. A matriz triangular resultante é resolvida por retro-substituição, começando pela última linha.

Se isso parece intimidante, tudo bem — vai ficar mais claro quando virmos o exemplo ainda neste artigo.

Forma escalonada reduzida por linhas (RREF)

A forma escalonada reduzida por linhas é um passo além da forma escalonada por linhas.

Além das condições da forma escalonada, toda entrada acima de cada pivô também deve ser zero, e cada pivô deve ser igual a 1. Para um sistema com solução única, o lado esquerdo da matriz se torna a matriz identidade. As constantes à direita então fornecem diretamente os valores das variáveis, o que dispensa a retro-substituição nesse ponto.

Exemplo de resolução de um sistema com matriz aumentada

Considere o sistema:

Forme a matriz aumentada:

Divida a linha 1 por 2:

Subtraia a linha 1 da linha 2:

Multiplique a linha 2 por -2/3:

Subtraia 1/2 vezes a linha 2 da linha 1:

A matriz agora está na forma escalonada reduzida por linhas. A solução é x = 2 e y = 1.

Matriz aumentada vs. matriz de coeficientes

A matriz de coeficientes contém apenas os coeficientes das variáveis. Para o sistema acima, ela é:

A matriz aumentada acrescenta a coluna dos termos constantes e oferece uma representação completa usada no processo de solução.

Matriz aumentada e sistemas lineares

Cada linha da matriz aumentada corresponde a uma equação, de modo que a matriz codifica todo o sistema. Após a redução por linhas, três resultados são possíveis:

• A matriz apresenta o mesmo número de pivôs não nulos que o de variáveis, o que significa que existe uma única solução.
• Uma linha do tipo [0 0 … 0 | c], com c não trivial, o que indica que não há solução.
• Há menos pivôs do que variáveis e nenhuma linha contraditória, o que significa que existem infinitas soluções.

Conclusão

Matrizes aumentadas transformam a solução de sistemas lineares em uma sequência de operações de linha bem definidas aplicadas a um único arranjo. 

As ferramentas disponíveis são as três operações elementares de linha, que preservam o conjunto de soluções enquanto simplificam a matriz. Quando você estiver à vontade com essa técnica, estará pronto para dominar a eliminação de Gauss e a forma escalonada reduzida por linhas — conceitos básicos de álgebra linear que aparecem em praticamente tudo: data science, otimização, análise numérica, processamento de imagens e muitos outros.