อธิบายเมทริกซ์เสริม: วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เรียนรู้ว่าเมทริกซ์เสริมคืออะไร วิธีแทนระบบสมการ และวิธีใช้การดำเนินการกับแถวเพื่อแก้ระบบเหล่านั้น

อัปเดตแล้ว 10 ก.ย. 2569 · 5 นาที อ่าน

สำรวจด้วย AI

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการแทนค่า (substitution) หรือการกำจัด (elimination) มักต้องเขียนนิพจน์ใหม่และระวังเครื่องหมายให้ดี งานจะยิ่งน่าเบื่อเมื่อจำนวนสมการหรือจำนวนตัวแปรเพิ่มขึ้น

เมทริกซ์เสริมเป็นการแทนรูปแบบที่กะทัดรัด ซึ่งรวมสัมประสิทธิ์และค่าคงที่ทั้งหมดไว้ในวัตถุเดียว รูปแบบนี้ทำให้สามารถใช้ชุดของการดำเนินการกับแถวจำนวนน้อยเพื่อทำให้ระบบง่ายขึ้นได้ โดยไม่ต้องเขียนสมการเดิมซ้ำ

ในส่วนถัดไป จะนิยามว่าเมทริกซ์เสริมคืออะไร แสดงวิธีสร้าง และอธิบายวิธีมาตรฐานในการใช้มันเพื่อแก้ระบบสมการ

เมทริกซ์เสริมคืออะไร?

เมทริกซ์เสริมคือเมทริกซ์ที่มีสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอยู่ทางซ้าย และมีค่าคงที่อยู่ทางขวา โดยคั่นด้วยขีดตั้งเพื่อให้เห็นความแตกต่างอย่างชัดเจน ขีดนี้เป็นเพียงตัวแบ่งภาพรวมเท่านั้นและไม่ส่งผลต่อการคำนวณ

รูปแบบเมทริกซ์เสริมของระบบสมการ

ในการสร้างเมทริกซ์เสริม ควรเรียงสัมประสิทธิ์ของตัวแปรแต่ละตัวตามลำดับเดียวกันในทุกสมการ แล้วต่อท้ายด้วยค่าคงที่ในคอลัมน์พิเศษ แต่ละแถวของเมทริกซ์ต้องสอดคล้องตรงกับหนึ่งสมการในระบบเดิม

พิจารณาระบบต่อไปนี้:

เมทริกซ์เสริมที่สอดคล้องคือ:

$\left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right]$

จะเห็นว่าแถวแรกแทนสมการแรก และแถวที่สองแทนสมการที่สอง

เหตุใดเมทริกซ์เสริมจึงมีประโยชน์

เมทริกซ์เสริมรวบรวมตัวเลขทั้งหมดที่ต้องใช้ในการอธิบายระบบไว้ ณ จุดเดียว งานต่อจากนั้นอาศัยการใช้การดำเนินการกับแถวโดยตรงกับวัตถุเดียวนี้ ผลลัพธ์คือไม่ต้องเขียนสมการซ้ำไปซ้ำมาหรือคอยตามรายชื่อสัมประสิทธิ์และค่าคงที่แยกกัน วิธีนี้ขยายใช้กับระบบที่ใหญ่ขึ้นได้อย่างเป็นระเบียบ และลดโอกาสผิดพลาดจากการคัดลอก

การดำเนินการกับแถวบนเมทริกซ์เสริม

มีการดำเนินการกับแถวพื้นฐานสามแบบที่อนุญาต แต่ละแบบสอดคล้องกับการจัดการทางพีชคณิตที่ไม่เปลี่ยนแปลงเซตคำตอบ ได้แก่:

สลับตำแหน่งแถวใด ๆ สองแถว (swapping rows)
คูณทุกสมาชิกในแถวด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ค่าเดียวกัน
บวกหลายเท่าของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถวหนึ่ง (หรือลบ)

เนื่องจากการดำเนินการเหล่านี้คงเซตคำตอบไว้ เมทริกซ์ที่ถูกแปลงจึงแทนระบบที่สมมูลกัน ทั้งยังควรทราบว่าการดำเนินการประเภทเดียวกันนี้สามารถทำกับคอลัมน์ได้เช่นกัน

การแก้ระบบด้วยเมทริกซ์เสริม

กระบวนการแก้มีสามขั้นตอน:

เขียนระบบในรูปเมทริกซ์เสริม
ใช้การดำเนินการกับแถวเพื่อให้ได้รูปที่ง่ายขึ้น
อ่านคำตอบจากเมทริกซ์ที่ทำให้ง่ายแล้ว

รูปเป้าหมายเรียกว่า row echelon form ซึ่งหมายถึงว่าเอนทรีตัวนำ (pivot) ในแต่ละแถวที่ไม่เป็นศูนย์มีค่าเป็น 1 เอนทรีทุกตัวด้านล่างแต่ละพิวอตเป็นศูนย์ และตำแหน่งพิวอตจะเลื่อนไปทางขวาเมื่อไล่ลงมาตามแถว จากรูป row echelon form สามารถทำ back-substitution เพื่อหาค่าตัวแปรได้

การกำจัดแบบเกาส์ด้วยเมทริกซ์เสริม

การกำจัดแบบเกาส์ทำโดยสร้างศูนย์ใต้พิวอตแต่ละตัวอย่างเป็นระบบจากซ้ายไปขวา เป้าหมายคือให้ได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

เริ่มจากคอลัมน์ซ้ายสุดที่ใช้เป็นพิวอตได้ ปรับสเกลแถวนั้นหากจำเป็นเพื่อให้พิวอตเท่ากับ 1 แล้วบวกหลายเท่าที่เหมาะสมของแถวนั้นเข้ากับแถวด้านล่างเพื่อทำให้เอนทรีในคอลัมน์นั้นเป็นศูนย์

ถัดไปย้ายไปคอลัมน์ถัดไปและทำแบบเดียวกัน เมทริกซ์สามเหลี่ยมที่ได้จะแก้ด้วย back-substitution โดยเริ่มจากแถวล่างสุด

หากฟังดูน่ากังวล ก็ไม่เป็นไร เพราะจะเข้าใจมากขึ้นเมื่อดูตัวอย่างในบทความนี้ภายหลัง

Reduced Row Echelon Form (RREF)

Reduced row echelon form คือการต่อยอดจาก row echelon form อีกขั้นหนึ่ง

นอกจากเงื่อนไขของ row echelon form แล้ว เอนทรีทุกตัวเหนือพิวอตแต่ละตัวต้องเป็นศูนย์ด้วย และพิวอตแต่ละตัวต้องเท่ากับ 1 สำหรับระบบที่มีคำตอบเฉพาะหนึ่งเดียว ส่วนซ้ายของเมทริกซ์จะกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และค่าคงที่ทางขวาจะให้ค่าของตัวแปรโดยตรง จึงไม่ต้องทำ back-substitution อีกต่อไปในขั้นนี้

ตัวอย่างการแก้ระบบด้วยเมทริกซ์เสริม

พิจารณาระบบ:

สร้างเมทริกซ์เสริม:

$\left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right]$

หารแถวที่ 1 ด้วย 2:

$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right]$

ลบแถวที่ 1 ออกจากแถวที่ 2:

$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right]$

คูณแถวที่ 2 ด้วย -2/3:

$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right]$

ลบ 1/2 คูณแถวที่ 2 ออกจากแถวที่ 1:

$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right]$

ขณะนี้เมทริกซ์อยู่ในรูป reduced row echelon คำตอบคือ x = 2 และ y = 1

เมทริกซ์เสริม vs. เมทริกซ์สัมประสิทธิ์

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์มีเพียงสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเท่านั้น สำหรับระบบข้างต้นคือ:

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.$

เมทริกซ์เสริมจะต่อท้ายคอลัมน์ของค่าคงที่ และให้การแทนทั้งหมดที่ใช้ในกระบวนการหาคำตอบ

เมทริกซ์เสริมและระบบเชิงเส้น

แต่ละแถวของเมทริกซ์เสริมสอดคล้องกับหนึ่งสมการ จึงทำให้เมทริกซ์เข้ารหัสทั้งระบบ หลังการลดรูปแถว ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีสามแบบ:

จำนวนพิวอตที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากับจำนวนตัวแปร ซึ่งหมายความว่ามีคำตอบเฉพาะหนึ่งเดียว
มีแถวลักษณะ [0 0 … 0 | c] โดยที่ c ไม่เล็กน้อย ซึ่งหมายความว่าไม่มีคำตอบ
มีพิวอตน้อยกว่าจำนวนตัวแปรและไม่มีแถวขัดแย้งลักษณะดังกล่าว ซึ่งหมายความว่ามีคำตอบได้ไม่สิ้นสุด

สรุป

เมทริกซ์เสริมเปลี่ยนการแก้ระบบเชิงเส้นให้เป็นลำดับของการดำเนินการกับแถวที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนซึ่งกระทำกับอาเรย์เดียว

เครื่องมือที่ใช้คือการดำเนินการกับแถวพื้นฐานสามแบบ ซึ่งคงเซตคำตอบไว้พร้อมกับทำให้เมทริกซ์ง่ายขึ้น เมื่อคุ้นเคยกับเทคนิคนี้แล้ว ก็จะพร้อมสำหรับการทำความเข้าใจ การกำจัดแบบเกาส์ และ reduced row echelon form ซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้นที่พบได้แทบทุกที่ เช่น วิทยาการข้อมูล การหาค่าเหมาะที่สุด การวิเคราะห์เชิงตัวเลข การประมวลผลภาพ และอื่น ๆ อีกมากมาย

ความแตกต่างระหว่างเมทริกซ์สัมประสิทธิ์กับเมทริกซ์เสริมคืออะไร?

การดำเนินการกับแถวทำให้คำตอบของระบบเปลี่ยนไปหรือไม่?

ไม่ การดำเนินการกับแถวพื้นฐานทั้งสามแบบ ได้แก่ การสลับแถว การคูณแถวด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ หรือการบวกหลายเท่าของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถวหนึ่ง จะให้ระบบที่สมมูลกันซึ่งมีคำตอบเหมือนเดิมทุกประการ

เมทริกซ์เสริมบอกได้อย่างไรว่าระบบไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบได้ไม่สิ้นสุด?

ความแตกต่างระหว่าง row echelon form และ reduced row echelon form คืออะไร?

Row echelon form มีเลข 1 นำหน้าพร้อมศูนย์ด้านล่างพิวอตแต่ละตัว ส่วน reduced row echelon form จะมีศูนย์เหนือพิวอตแต่ละตัวด้วย ทำให้ด้านซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ (เมื่อมีคำตอบเฉพาะหนึ่งเดียว) จึงอ่านคำตอบได้โดยตรง

วิธีเมทริกซ์เสริมเหมาะเฉพาะกับระบบขนาดเล็กเท่านั้นหรือไม่?

หัวข้อ

วิทยาการข้อมูล