Resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución o eliminación suele implicar reescribir términos y vigilar bien los signos. El trabajo se vuelve tedioso a medida que crece el número de ecuaciones o variables.
Una matriz ampliada ofrece una representación compacta que reúne en un solo objeto todos los coeficientes y constantes. Esta forma permite aplicar un conjunto reducido de operaciones por filas que simplifican el sistema sin reescribir las ecuaciones originales.
En las siguientes secciones, definiré qué es una matriz ampliada, te mostraré cómo construirla y explicaré los métodos estándar para resolver sistemas de ecuaciones con ella.
¿Qué es una matriz ampliada?
Una matriz ampliada es una matriz que contiene a la izquierda los coeficientes de las variables y, a la derecha, los términos constantes, separados por una barra vertical a modo de guía visual. La barra solo es un separador visual y no afecta a los cálculos.
Forma de matriz ampliada de un sistema de ecuaciones
Para formar la matriz ampliada, debes listar los coeficientes de cada variable en el mismo orden para todas las ecuaciones y añadir el término constante en una columna adicional. Cada fila de la matriz debe corresponder exactamente a una ecuación del sistema original.
Considera el sistema:
La matriz ampliada correspondiente es:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/1b43c2a81ce4d19dda05804ab649a73d.png)
Como ves, la primera fila codifica la primera ecuación y la segunda fila, la segunda.
Por qué son útiles las matrices ampliadas
La matriz ampliada reúne en un solo lugar todos los números necesarios para describir el sistema. A partir de ahí, todo se basa en aplicar operaciones por filas directamente sobre ese único objeto. Así, no hace falta reescribir las ecuaciones una y otra vez ni llevar por separado listas de coeficientes y constantes. El método escala sin problemas a sistemas más grandes y reduce el riesgo de errores de transcripción.
Operaciones por filas en matrices ampliadas
Hay tres operaciones elementales por filas permitidas. Cada una corresponde a una manipulación algebraica que no cambia el conjunto de soluciones. Son:
- Intercambiar dos filas cualesquiera (permuta de filas).
- Multiplicar todos los elementos de una fila por la misma constante distinta de cero.
- Sumar a una fila un múltiplo de otra fila (o restarlo).
Como estas operaciones preservan el conjunto de soluciones, la matriz transformada representa sistemas equivalentes. Es importante señalar que también pueden aplicarse operaciones análogas por columnas.
Resolver sistemas usando matrices ampliadas
El proceso de solución tiene tres etapas:
- Escribir el sistema como una matriz ampliada.
- Aplicar operaciones por filas hasta llegar a una forma más simple.
- Leer la solución a partir de la matriz simplificada.
La forma objetivo se llama forma escalonada por filas: la entrada principal, o pivote, de cada fila no nula es 1, todas las entradas por debajo de cada pivote son cero y los pivotes se desplazan a la derecha al bajar por la matriz. A partir de la forma escalonada por filas, la sustitución hacia atrás nos da los valores de las variables.
Eliminación de Gauss con matrices ampliadas
La eliminación de Gauss consiste en crear ceros de forma sistemática por debajo de cada pivote de izquierda a derecha. El objetivo es obtener una matriz triangular superior.
Empieza con la columna más a la izquierda que pueda servir como pivote. Escala la fila del pivote si hace falta para que el pivote sea 1 y luego suma múltiplos adecuados de esa fila a las filas inferiores para producir ceros en la columna.
A continuación, pasa a la siguiente columna y repite exactamente lo mismo. La matriz triangular resultante se resuelve por sustitución hacia atrás empezando por la última fila.
Si esto suena intimidante, no pasa nada: verás que tiene sentido cuando veamos el ejemplo más adelante.
Forma escalonada reducida por filas (RREF)
La forma escalonada reducida por filas lleva la forma escalonada un paso más allá.
Además de las condiciones de la forma escalonada, todas las entradas por encima de cada pivote también deben ser cero, y cada pivote debe ser 1. Para un sistema con solución única, el lado izquierdo de la matriz se convierte en la matriz identidad. Las constantes de la derecha dan entonces directamente los valores exactos de las variables, por lo que ya no hace falta la sustitución hacia atrás.
Ejemplo: resolver un sistema con una matriz ampliada
Considera el sistema:
Forma la matriz ampliada:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ac312dc2de2f85a82688c9822933096a.png)
Divide la fila 1 entre 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/c978fb965317c3958007d5104c40d970.png)
Resta la fila 1 a la fila 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/d53fd90648d45966012b43e918ecbab3.png)
Multiplica la fila 2 por -2/3:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/b1f97689a2caa6be9cd6eba5bd982ba4.png)
Resta 1/2 de la fila 2 a la fila 1:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ecfa74efaa9b0dd99bf4d6c0bfc5c80c.png)
La matriz está ahora en forma escalonada reducida por filas. La solución es x=2 e y=1.
Matriz ampliada vs. matriz de coeficientes
La matriz de coeficientes contiene solo los coeficientes de las variables. Para el sistema anterior, es:
La matriz ampliada añade la columna de las constantes y ofrece una representación completa que se usa en el proceso de resolución.
Matriz ampliada y sistemas lineales
Cada fila de la matriz ampliada corresponde a una ecuación, de modo que la matriz codifica todo el sistema. Tras la reducción por filas, pueden darse tres casos:
- La matriz tiene el mismo número de pivotes no nulos que de variables, lo que implica una única solución.
- Aparece una fila del tipo [0 0 … 0 | c] con c no nulo, lo que significa que no hay solución.
- Hay menos pivotes que variables y no hay filas contradictorias, lo que implica infinitas soluciones.
Conclusión
Las matrices ampliadas convierten la resolución de sistemas lineales en una secuencia de operaciones por filas bien definidas aplicadas sobre un único arreglo.
Las herramientas disponibles son las tres operaciones elementales por filas, que preservan el conjunto de soluciones a la vez que simplifican la matriz. Cuando domines esta técnica, estarás listo para profundizar en la eliminación de Gauss y la forma escalonada reducida por filas, conceptos básicos de álgebra lineal que aparecen prácticamente en todas partes: ciencia de datos, optimización, análisis numérico, procesamiento de imágenes y muchos más.
