Ga naar hoofdinhoud

Aangevulde matrix uitgelegd: systemen van vergelijkingen oplossen

Leer wat een aangevulde matrix is, hoe die stelsels vergelijkingen voorstelt en hoe je rijoperaties gebruikt om ze op te lossen.
· 5 min lezen

Verken met AI

Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met substitutie of eliminatie betekent meestal termen herschrijven en zorgvuldig op de voortekens letten. Het werk wordt eentonig naarmate het aantal vergelijkingen of variabelen toeneemt. 

Een aangevulde matrix geeft een compacte weergave waarin alle coëfficiënten en constanten in één object worden samengebracht. Deze vorm maakt het mogelijk om een kleine set rijoperaties toe te passen die het stelsel vereenvoudigen zonder de oorspronkelijke vergelijkingen te herschrijven. 

In de volgende secties definieer ik wat een aangevulde matrix is, laat ik zien hoe je die opstelt en leg ik de standaardmethoden uit om er stelsels vergelijkingen mee op te lossen.

Wat is een aangevulde matrix?

Een aangevulde matrix is een matrix met links de coëfficiënten van de variabelen en rechts de constante termen, gescheiden door een verticale streep ter visuele onderscheiding. De streep dient alleen als visuele scheiding en heeft geen invloed op de berekeningen.

Aangevulde matrixvorm van een stelsel vergelijkingen

Om de aangevulde matrix te vormen, noteer je de coëfficiënten van elke variabele in dezelfde volgorde voor elke vergelijking en voeg je vervolgens de constante term toe in een extra kolom. Elke rij van de matrix moet precies overeenkomen met één vergelijking in het oorspronkelijke stelsel.

Beschouw het stelsel:

$ 2x + y = 5 $ $ x - y = 1 $

De bijbehorende aangevulde matrix is:

$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $

Zoals je ziet codeert de eerste rij de eerste vergelijking en de tweede rij de tweede.

Waarom aangevulde matrices handig zijn

De aangevulde matrix verzamelt alle getallen die nodig zijn om het stelsel te beschrijven op één plek. Al het verdere werk bestaat uit het direct toepassen van rijoperaties op dit ene object. Daardoor hoef je de vergelijkingen niet steeds opnieuw te schrijven of aparte lijsten met coëfficiënten en constanten bij te houden. De methode schaalt netjes naar grotere stelsels en verkleint de kans op overschrijffouten.

Rijoperaties op aangevulde matrices

Er zijn drie elementaire rijoperaties toegestaan. Elke operatie komt overeen met een algebraïsche bewerking die de oplossingsverzameling onveranderd laat. Dit zijn:

  1. Het verwisselen van twee willekeurige rijen (rijen omwisselen).
  2. Elke term in een rij vermenigvuldigen met dezelfde niet-nul constante.
  3. Een veelvoud van de ene rij optellen bij een andere rij (of aftrekken).

Omdat deze operaties de oplossingsverzameling behouden, stellen de getransformeerde matrices equivalente stelsels voor. Het is belangrijk op te merken dat dezelfde operaties ook op kolommen kunnen plaatsvinden.

Systemen oplossen met aangevulde matrices

Het oplossingsproces heeft drie stappen:

  1. Schrijf het stelsel als een aangevulde matrix.
  2. Pas rijoperaties toe om tot een eenvoudigere vorm te komen.
  3. Lees de oplossing af uit de vereenvoudigde matrix.

De doelformaat heet rij-echelonvorm, wat betekent dat het leidende element, ook wel de pivot genoemd, in elke niet-nul rij gelijk is aan 1, alle elementen onder elke pivot nul zijn, en de pivots naar rechts opschuiven naarmate je verder naar beneden in de matrix gaat. Vanuit de rij-echelonvorm geeft terugsubstitutie ons de waarden van de variabelen. 

Gauss-eliminatie met aangevulde matrices

Gauss-eliminatie werkt door systematisch nullen te creëren onder elke pivot van links naar rechts. Het doel is een boventriangulaire matrix.

Begin met de meest linkse kolom die als pivot kan dienen. Schaal de pivotrij indien nodig zodat de pivot gelijk is aan 1, en tel dan geschikte veelvouden van die rij op bij de rijen eronder om nullen in de kolom te krijgen.

Ga vervolgens naar de volgende kolom en herhaal precies hetzelfde. De resulterende triangulaire matrix los je op met terugsubstitutie, beginnend bij de onderste rij.

Als dit intimiderend klinkt, is dat niet erg; het wordt duidelijker wanneer we later in dit artikel het voorbeeld bekijken.

Gereduceerde rij-echelonvorm (RREF)

De gereduceerde rij-echelonvorm gaat simpelweg één stap verder dan de rij-echelonvorm.

Naast de voorwaarden van de rij-echelonvorm moeten ook alle elementen boven elke pivot nul zijn, en moet elke pivot gelijk zijn aan 1. Voor een stelsel met een unieke oplossing wordt de linkerkant van de matrix de identiteitsmatrix. De constanten rechts geven dan direct de exacte waarden van de variabelen, waardoor op dat punt geen terugsubstitutie meer nodig is.

Voorbeeld: een stelsel oplossen met een aangevulde matrix

Beschouw het stelsel:

$ 2x + y = 5 $ $ x - y = 1 $

Stel de aangevulde matrix op:

$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $

Deel rij 1 door 2:

$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $

Trek rij 1 af van rij 2:

$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $

Vermenigvuldig rij 2 met -2/3:

$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $

Trek 1/2 maal rij 2 af van rij 1:

$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $

De matrix staat nu in de gereduceerde rij-echelonvorm. De oplossing is x=2 en y=1.

Aangevulde matrix vs. coëfficiëntenmatrix

De coëfficiëntenmatrix bevat alleen de coëfficiënten van de variabelen. Voor het bovenstaande stelsel is dat:

$ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}. $

De aangevulde matrix voegt de kolom met de constanten toe en geeft een volledige weergave die in het oplossingsproces wordt gebruikt.

Aangevulde matrix en lineaire stelsels

Elke rij van de aangevulde matrix komt overeen met één vergelijking, zodat de matrix het gehele stelsel codeert. Na rereductie zijn er drie mogelijke uitkomsten:

  • De matrix levert evenveel niet-nul pivots op als er variabelen zijn, wat betekent dat er één unieke oplossing is.
  • Een rij van de vorm [0 0 … 0 | c] waarbij c niet-triviaal is, wat betekent dat er geen oplossing is.
  • Er zijn minder pivots dan variabelen en geen tegenstrijdige rijen, wat betekent dat er oneindig veel oplossingen zijn.

Conclusie

Aangevulde matrices veranderen het oplossen van lineaire stelsels in een reeks duidelijk gedefinieerde rijoperaties die op één enkele array worden toegepast. 

De beschikbare tools zijn de drie elementaire rijoperaties, die de oplossingsverzameling behouden en de matrix tegelijk vereenvoudigen. Zodra je je deze techniek eigen hebt gemaakt, ben je klaar om Gauss-eliminatie en de gereduceerde rij-echelonvorm te beheersen, want dit zijn basisconcepten uit de lineaire algebra die bijna overal opduiken, zoals data science, optimalisatie, numerieke analyse, beeldverwerking en nog veel, veel meer.

Iheb Gafsi

Auteur

Iheb Gafsi

LinkedIn

Ik werk aan versnelde AI-systemen die edge-intelligentie mogelijk maken met gefedereerde ML-pijplijnen op gedecentraliseerde data en gedistribueerde workloads.  Mijn werk richt zich op Large Models, spraakverwerking, computervisie, reinforcement learning en geavanceerde ML-topologieën.

Veelgestelde vragen over aangevulde matrices

Wat is het verschil tussen een coëfficiëntenmatrix en een aangevulde matrix?

De coëfficiëntenmatrix bevat alleen de coëfficiënten van de variabelen. De aangevulde matrix voegt een laatste kolom toe met de constante termen uit de oorspronkelijke vergelijkingen.

Veranderen de rijoperaties de oplossingen van het stelsel?

Nee. De drie elementaire rijoperaties — rijen omwisselen, een rij schalen met een niet-nul constante of een veelvoud van de ene rij bij een andere optellen — leveren een equivalent stelsel op dat exact dezelfde oplossingen heeft.

Hoe kan de aangevulde matrix je vertellen of het stelsel geen oplossing of oneindig veel oplossingen heeft?

Na reductie betekent een rij van de vorm [0 0 … 0 | c] met c ≠ 0 dat het stelsel inconsistent is en geen oplossing heeft. Minder pivots dan variabelen zonder zo’n tegenstrijdige rij betekent dat er oneindig veel oplossingen bestaan.

Wat is het verschil tussen rij-echelonvorm en gereduceerde rij-echelonvorm?

Rij-echelonvorm heeft leidende 1’en met nullen onder elke pivot. Gereduceerde rij-echelonvorm heeft ook nullen boven elke pivot, waardoor de linkerkant de identiteitsmatrix wordt (wanneer er een unieke oplossing is), zodat je de oplossing direct kunt aflezen.

Is de methode met aangevulde matrices alleen geschikt voor kleine stelsels?

Nee. De methode werkt voor elk aantal vergelijkingen en variabelen en vormt de basis voor computeralgoritmen die grote lineaire stelsels oplossen in lineaire algebra en data science.

Onderwerpen

Data Science

Gerelateerd

Meer bekijken →