Macierz rozszerzona wyjaśniona: jak rozwiązywać układy równań

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawiania lub eliminacji zwykle oznacza przepisywanie wyrazów i uważne pilnowanie znaków. Im więcej równań lub zmiennych, tym praca staje się bardziej żmudna. 

Macierz rozszerzona zapewnia zwięzłą reprezentację, która łączy wszystkie współczynniki i wyrazy wolne w jeden obiekt. Dzięki tej formie można stosować niewielki zestaw operacji na wierszach, które upraszczają układ bez przepisywania oryginalnych równań. 

W kolejnych sekcjach zdefiniuję, czym jest macierz rozszerzona, pokażę, jak ją zbudować, i wyjaśnię standardowe metody rozwiązywania układów równań z jej użyciem.

Czym jest macierz rozszerzona?

Macierz rozszerzona to macierz, która zawiera współczynniki zmiennych po lewej i wyrazy wolne po prawej, oddzielone pionową kreską dla wizualnego rozróżnienia. Kreska służy wyłącznie jako separator wizualny i nie wpływa na obliczenia.

Postać macierzy rozszerzonej dla układu równań

Aby utworzyć macierz rozszerzoną, wypisz współczynniki każdej zmiennej w tej samej kolejności dla każdego równania, a następnie dołącz wyraz wolny w dodatkowej kolumnie. Każdy wiersz macierzy powinien dokładnie odpowiadać jednemu równaniu z oryginalnego układu.

Rozważmy układ:

Odpowiadająca mu macierz rozszerzona to:

Jak widać, pierwszy wiersz koduje pierwsze równanie, a drugi wiersz — drugie.

Dlaczego macierze rozszerzone są przydatne

Macierz rozszerzona zbiera w jednym miejscu wszystkie liczby potrzebne do opisu układu. Dalsza praca polega na stosowaniu operacji wierszy bezpośrednio do tego jednego obiektu. W rezultacie nie trzeba ciągle przepisywać równań ani pilnować osobnych list współczynników i wyrazów wolnych. Metoda dobrze skaluje się do większych układów i zmniejsza ryzyko błędów przy przepisywaniu.

Operacje na wierszach w macierzach rozszerzonych

Dozwolone są trzy elementarne operacje na wierszach. Każda z nich odpowiada przekształceniu algebraicznemu, które nie zmienia zbioru rozwiązań. Są to:

1. Zamiana miejscami dowolnych dwóch wierszy.
2. Pomnożenie każdego elementu w wierszu przez tę samą niezerową stałą.
3. Dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego wiersza (lub odjęcie).

Ponieważ te operacje zachowują zbiór rozwiązań, przekształcona macierz reprezentuje układy równoważne. Warto zauważyć, że analogiczne operacje można wykonywać także na kolumnach.

Rozwiązywanie układów za pomocą macierzy rozszerzonych

Proces rozwiązywania ma trzy etapy:

1. Zapisz układ w postaci macierzy rozszerzonej.
2. Zastosuj operacje na wierszach, aby uzyskać prostszą postać.
3. Odczytaj rozwiązanie z uproszczonej macierzy.

Docelowa postać to schodkowa postać wierszowa (row echelon form), w której w każdym niezerowym wierszu wyraz wiodący (pivot) wynosi 1, wszystkie elementy poniżej każdego pivotu są zerami, a pivoty przesuwają się w prawo w miarę schodzenia w dół macierzy. Ze schodkowej postaci wierszowej wartości zmiennych otrzymasz przez podstawianie wsteczne. 

Eliminacja Gaussa z użyciem macierzy rozszerzonych

Eliminacja Gaussa polega na systematycznym tworzeniu zer poniżej każdego pivotu od lewej do prawej. Celem jest macierz górnotrójkątna.

Zacznij od najbardziej lewej kolumny, która może pełnić rolę pivotu. W razie potrzeby przeskaluj wiersz z pivotem tak, aby pivot był równy 1, a następnie dodaj odpowiednie wielokrotności tego wiersza do wierszy poniżej, aby uzyskać zera w tej kolumnie.

Następnie przejdź do kolejnej kolumny i powtórz dokładnie to samo. Powstałą macierz trójkątną rozwiązuje się przez podstawianie wsteczne, zaczynając od ostatniego wiersza.

Jeśli brzmi to onieśmielająco, to w porządku — nabierze sensu, gdy zobaczymy przykład później w artykule.

Zredukowana schodkowa postać wierszowa (RREF)

Zredukowana schodkowa postać wierszowa to po prostu kolejny krok po schodkowej postaci wierszowej.

Oprócz warunków schodkowej postaci wierszowej każdy element powyżej pivotu musi być zerem, a każdy pivot musi wynosić 1. Dla układu z jednoznacznym rozwiązaniem lewa strona macierzy staje się macierzą jednostkową. Wyrazy wolne po prawej dają wtedy bezpośrednio dokładne wartości zmiennych, co oznacza, że w tym momencie nie jest potrzebne podstawianie wsteczne.

Przykład rozwiązywania układu z macierzą rozszerzoną

Rozważmy układ:

Utwórz macierz rozszerzoną:

Podziel wiersz 1 przez 2:

Odejmij wiersz 1 od wiersza 2:

Pomnóż wiersz 2 przez -2/3:

Odejmij 1/2 razy wiersz 2 od wiersza 1:

Macierz jest teraz w zredukowanej schodkowej postaci wierszowej. Rozwiązanie to x=2 i y=1.

Macierz rozszerzona a macierz współczynników

Macierz współczynników zawiera wyłącznie współczynniki zmiennych. Dla powyższego układu jest to:

Macierz rozszerzona dołącza kolumnę wyrazów wolnych i daje pełną reprezentację używaną w procesie rozwiązywania.

Macierz rozszerzona a układy liniowe

Każdy wiersz macierzy rozszerzonej odpowiada jednemu równaniu, więc macierz koduje cały układ. Po redukcji wierszowej możliwe są trzy wyniki:

• Liczba niezerowych pivotów jest taka sama jak liczba zmiennych, co oznacza jedno jednoznaczne rozwiązanie.
• Wiersz postaci [0 0 … 0 | c], gdzie c jest niezerowe, co oznacza, że brak rozwiązania.
• Pivotów jest mniej niż zmiennych i nie ma wierszy sprzecznych — oznacza to nieskończenie wiele rozwiązań.

Wnioski

Macierze rozszerzone zamieniają rozwiązywanie układów liniowych w sekwencję dobrze zdefiniowanych operacji na wierszach stosowanych do jednej tablicy. 

Dostępne narzędzia to trzy elementarne operacje na wierszach, które zachowują zbiór rozwiązań, a jednocześnie upraszczają macierz. Gdy poczujesz się z tą techniką swobodnie, będziesz gotowy opanować eliminację Gaussa i zredukowaną schodkową postać wierszową — to podstawy algebry liniowej, które pojawiają się niemal wszędzie: w data science, optymalizacji, analizie numerycznej, przetwarzaniu obrazów i wielu, wielu innych obszarach.