Risolvere un sistema di equazioni lineari per sostituzione o eliminazione di solito significa riscrivere termini e tenere traccia con attenzione dei segni. Il lavoro diventa noioso man mano che aumenta il numero di equazioni o variabili.
Una matrice aumentata offre una rappresentazione compatta che combina in un unico oggetto tutti i coefficienti e le costanti. Questo formato permette di applicare un piccolo insieme di operazioni di riga che semplificano il sistema senza riscrivere le equazioni originali.
Nelle sezioni seguenti definirò cos’è una matrice aumentata, ti mostrerò come costruirla e spiegherò i metodi standard per risolvere sistemi di equazioni con questo strumento.
Che cos’è una matrice aumentata?
Una matrice aumentata è una matrice che contiene a sinistra i coefficienti delle variabili e a destra i termini noti, separati da una barra verticale per distinzione visiva. La barra serve solo come separatore visivo e non influisce sui calcoli.
Forma a matrice aumentata di un sistema di equazioni
Per formare la matrice aumentata, dovresti elencare i coefficienti di ciascuna variabile nello stesso ordine per ogni equazione e poi aggiungere il termine noto in una colonna extra. Ogni riga della matrice dovrebbe corrispondere esattamente a una equazione del sistema originale.
Consideriamo il sistema:
La matrice aumentata corrispondente è:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/1b43c2a81ce4d19dda05804ab649a73d.png)
Come puoi vedere, la prima riga codifica la prima equazione e la seconda riga codifica la seconda.
Perché le matrici aumentate sono utili
La matrice aumentata raccoglie in un unico posto tutti i numeri necessari a descrivere il sistema. Tutto il lavoro successivo si basa sull’applicare direttamente a questo unico oggetto le operazioni di riga. Di conseguenza, non c’è bisogno di riscrivere le equazioni più volte o di tenere elenchi separati di coefficienti e costanti. Il metodo scala in modo pulito a sistemi più grandi e riduce la probabilità di errori di trascrizione.
Operazioni di riga sulle matrici aumentate
Sono ammesse tre operazioni elementari di riga. Ogni operazione corrisponde a una manipolazione algebrica che lascia invariato l’insieme delle soluzioni. Sono:
- Scambiare due righe qualsiasi, noto anche come scambio di righe.
- Moltiplicare ogni elemento di una riga per la stessa costante non nulla.
- Aggiungere a una riga un multiplo di un’altra riga (o sottrarre).
Poiché queste operazioni preservano l’insieme delle soluzioni, la matrice trasformata rappresenta sistemi equivalenti. È importante notare che le stesse operazioni possono essere applicate anche alle colonne.
Risoluzione di sistemi con matrici aumentate
Il processo di soluzione ha tre fasi:
- Scrivere il sistema come matrice aumentata.
- Applicare operazioni di riga per arrivare a una forma più semplice.
- Leggere la soluzione dalla matrice semplificata.
La forma obiettivo si chiama forma a scalini per righe (row echelon form), che richiede che l’elemento guida, detto anche pivot, in ogni riga non nulla sia 1, che tutti gli elementi sotto ciascun pivot siano zero e che i pivot si spostino verso destra procedendo lungo le righe. Dalla forma a scalini, la sostituzione all’indietro fornirà i valori delle variabili.
Eliminazione di Gauss con matrici aumentate
L’eliminazione di Gauss funziona creando sistematicamente zeri sotto ciascun pivot da sinistra a destra. L’obiettivo è una matrice triangolare superiore.
Inizia con la colonna più a sinistra che può fungere da pivot. Se necessario, scala la riga del pivot in modo che il pivot sia uguale a 1, quindi aggiungi multipli adatti di quella riga alle righe sottostanti per produrre zeri nella colonna.
Poi passa alla colonna successiva e ripeti esattamente la stessa procedura. La matrice triangolare risultante si risolve con la sostituzione all’indietro a partire dall’ultima riga.
Se questo ti sembra impegnativo, va bene: sarà più chiaro quando vedremo l’esempio più avanti nell’articolo.
Forma ridotta a scalini per righe (RREF)
La forma ridotta a scalini per righe porta semplicemente la forma a scalini un passo oltre.
Oltre alle condizioni della forma a scalini, ogni elemento sopra ciascun pivot deve essere zero e ogni pivot deve valere 1. Per un sistema con soluzione unica, il lato sinistro della matrice diventa la matrice identità. Le costanti sulla destra danno quindi direttamente i valori esatti delle variabili, il che significa che a questo punto non è richiesta la sostituzione all’indietro.
Esempio di risoluzione di un sistema con una matrice aumentata
Considera il sistema:
Forma la matrice aumentata:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ac312dc2de2f85a82688c9822933096a.png)
Dividi la riga 1 per 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/c978fb965317c3958007d5104c40d970.png)
Sottrai la riga 1 alla riga 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/d53fd90648d45966012b43e918ecbab3.png)
Moltiplica la riga 2 per -2/3:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/b1f97689a2caa6be9cd6eba5bd982ba4.png)
Sottrai 1/2 volte la riga 2 alla riga 1:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ecfa74efaa9b0dd99bf4d6c0bfc5c80c.png)
La matrice è ora in forma ridotta a scalini per righe. La soluzione è x=2 e y=1.
Matrice aumentata vs. matrice dei coefficienti
La matrice dei coefficienti contiene solo i coefficienti delle variabili. Per il sistema sopra, è:
La matrice aumentata aggiunge la colonna delle costanti e fornisce una rappresentazione completa utilizzata nel processo di soluzione.
Matrice aumentata e sistemi lineari
Ogni riga della matrice aumentata corrisponde a un’equazione, quindi la matrice codifica l’intero sistema. Dopo la riduzione di riga, sono possibili tre esiti:
- La matrice presenta lo stesso numero di pivot non nulli delle variabili, il che significa che c’è un’unica soluzione.
- Una riga del tipo [0 0 … 0 | c] dove c è non banale, il che significa che non esiste alcuna soluzione.
- Ci sono meno pivot delle variabili e nessuna riga contraddittoria, il che significa che esistono infinite soluzioni.
Conclusione
Le matrici aumentate trasformano la soluzione dei sistemi lineari in una sequenza di operazioni di riga ben definite applicate a un unico array.
Gli strumenti a disposizione sono le tre operazioni elementari di riga, che preservano l’insieme delle soluzioni semplificando al contempo la matrice. Una volta che avrai dimestichezza con questa tecnica, sarai pronto per padroneggiare l’eliminazione di Gauss e la forma ridotta a scalini per righe, concetti di base dell’algebra lineare che compaiono quasi ovunque: data science, ottimizzazione, analisi numerica, elaborazione di immagini e molti altri ambiti.
