Yerine koyma veya eleme ile doğrusal bir denklem sistemini çözmek genellikle terimlerin yeniden yazılmasını ve işaretlerin dikkatle takip edilmesini gerektirir. Denklem veya değişken sayısı arttıkça iş zahmetli hale gelir.
Genişletilmiş matris, tüm katsayıları ve sabitleri tek bir nesnede birleştiren, kompakt bir gösterim sunar. Bu biçim, özgün denklemleri yeniden yazmadan sistemi basitleştiren sınırlı sayıda satır işlemini uygulamayı mümkün kılar.
Aşağıdaki bölümlerde genişletilmiş matrisin ne olduğunu tanımlayacak, nasıl oluşturulacağını gösterecek ve onunla denklem sistemlerini çözmenin standart yöntemlerini açıklayacağım.
Genişletilmiş Matris Nedir?
Genişletilmiş matris, solda değişkenlerin katsayılarını, sağda sabit terimleri içeren ve görsel ayrım için arada dikey bir çizgi bulunan matristir. Bu çizgi yalnızca görsel bir ayırıcıdır; hesaplamaları etkilemez.
Bir Denklem Sisteminin Genişletilmiş Matris Biçimi
Genişletilmiş matrisi oluşturmak için her denklemde değişkenlerin katsayılarını aynı sırayla listelemeli ve sabit terimi fazladan bir sütun olarak eklemelisiniz. Matrisin her satırı, özgün sistemdeki bir denkleme birebir karşılık gelmelidir.
Şu sistemi ele alalım:
Buna karşılık gelen genişletilmiş matris şöyledir:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/1b43c2a81ce4d19dda05804ab649a73d.png)
Gördüğünüz gibi, ilk satır birinci denklemi, ikinci satır ikinci denklemi kodlar.
Genişletilmiş Matrisler Neden Yararlıdır?
Genişletilmiş matris, sistemi tanımlamak için gereken tüm sayıları tek bir yerde toplar. Sonraki tüm işlemler bu tek nesneye doğrudan satır işlemleri uygulamaya dayanır. Böylece denklemleri tekrar tekrar yeniden yazmaya veya ayrı katsayı ve sabit listelerini takip etmeye gerek kalmaz. Yöntem daha büyük sistemlere temiz biçimde ölçeklenir ve yazım hatası riskini azaltır.
Genişletilmiş Matrislerde Satır İşlemleri
İzin verilen üç temel satır işlemi vardır. Her işlem, çözüm kümesini değiştirmeyen bir cebirsel işlemi karşılar. Bunlar şunlardır:
- Herhangi iki satırın yerini değiştirmek (satırları takas etmek).
- Bir satırdaki tüm girişleri aynı sıfır olmayan sabitle çarpmak.
- Bir satıra başka bir satırın katını eklemek (veya çıkarmak).
Bu işlemler çözüm kümesini koruduğundan, dönüştürülmüş matris eşdeğer sistemleri temsil eder. Aynı işlemlerin sütunlar üzerinde de yapılabileceğini not etmek önemlidir.
Genişletilmiş Matrislerle Sistem Çözme
Çözüm süreci üç aşamadan oluşur:
- Sistemi genişletilmiş matris olarak yazın.
- Daha basit bir biçime ulaşmak için satır işlemleri uygulayın.
- Çözümü basitleştirilmiş matristen okuyun.
Hedef biçim, her sıfır olmayan satırda öndeki girişin, yani dönüm noktasının 1 olduğu, her dönüm noktasının altında sıfırlar bulunduğu ve matris boyunca aşağı doğru inildikçe dönüm noktalarının sağa kaydığı satır basamaklı form olarak adlandırılır. Satır basamaklı formdan, geriye doğru yerine koyma ile değişkenlerin değerlerini elde ederiz.
Genişletilmiş Matrislerle Gauss Elemesi
Gauss elemesi, soldan sağa her dönüm noktasının altında sistematik olarak sıfırlar oluşturarak çalışır. Amaç, üst üçgensel bir matristir.
Dönüm noktası olarak hizmet edebilecek en soldaki sütunla başlayın. Gerekirse dönüm noktası 1 olacak şekilde satırı ölçekleyin, ardından o sütunda altta sıfırlar üretmek için bu satırın uygun katlarını alttaki satırlara ekleyin.
Sonra bir sonraki sütuna geçin ve aynısını tekrarlayın. Ortaya çıkan üçgensel matris, en alt satırdan başlayarak geriye doğru yerine koyma ile çözülür.
Kulağa göz korkutucu geliyorsa sorun değil; yazının ilerleyen bölümündeki örneği gördüğümüzde daha anlamlı olacaktır.
İndirgenmiş Satır Basamaklı Form (RREF)
İndirgenmiş satır basamaklı form, satır basamaklı formu bir adım daha ileri taşır.
Satır basamaklı formun koşullarına ek olarak, her dönüm noktasının üzerindeki tüm girişler de sıfır olmalı ve her dönüm noktası 1’e eşit olmalıdır. Tekil bir çözüme sahip bir sistemde matrisin sol tarafı birim matrise dönüşür. Sağdaki sabitler ise değişkenlerin kesin değerlerini doğrudan verir; bu da bu aşamada geriye doğru yerine koymanın gerekmediği anlamına gelir.
Genişletilmiş Matrisle Sistem Çözümüne Örnek
Şu sistemi düşünün:
Genişletilmiş matrisi oluşturun:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ac312dc2de2f85a82688c9822933096a.png)
1. satırı 2’ye bölün:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/c978fb965317c3958007d5104c40d970.png)
2. satırdan 1. satırı çıkarın:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/d53fd90648d45966012b43e918ecbab3.png)
2. satırı -2/3 ile çarpın:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/b1f97689a2caa6be9cd6eba5bd982ba4.png)
1. satırdan 2. satırın 1/2 katını çıkarın:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ecfa74efaa9b0dd99bf4d6c0bfc5c80c.png)
Matris artık indirgenmiş satır basamaklı formdadır. Çözüm x=2 ve y=1’dir.
Genişletilmiş Matris vs. Katsayı Matrisi
Katsayı matrisi yalnızca değişkenlerin katsayılarını içerir. Yukarıdaki sistem için şöyledir:
Genişletilmiş matris, sabitlerin sütununu ekler ve çözüm sürecinde kullanılan tam bir gösterim sunar.
Genişletilmiş Matris ve Doğrusal Sistemler
Genişletilmiş matrisin her satırı bir denkleme karşılık gelir; böylece matris tüm sistemi kodlar. Satır indirgeme sonrasında üç olası sonuç vardır:
- Matriste, değişkenlerin sayısı kadar sıfır olmayan dönüm noktası vardır; bu, tek bir çözüm olduğu anlamına gelir.
- [0 0 … 0 | c] biçiminde ve c’nin önemsiz olmayan bir değer olduğu bir satır; bu, çözüm olmadığını gösterir.
- Çelişkili bir satır olmadan, değişken sayısından daha az dönüm noktası vardır; bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu anlamına gelir.
Sonuç
Genişletilmiş matrisler, doğrusal sistemlerin çözümünü tek bir diziye uygulanan, iyi tanımlı satır işlemleri dizisine dönüştürür.
Kullanılabilecek araçlar, çözüm kümesini korurken matrisi de sadeleştiren üç temel satır işlemidir. Bu tekniğe alıştığınızda, Gauss elemesini ve indirgenmiş satır basamaklı formu ustalıkla uygulamaya hazır olacaksınız; zira bu kavramlar doğrusal cebirin temelleridir ve veri bilimi, optimizasyon, sayısal analiz, görüntü işleme ve daha pek çok alanda karşımıza çıkar.
