Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan substitusi atau eliminasi biasanya berarti menulis ulang suku dan cermat melacak tanda. Pekerjaan menjadi melelahkan saat jumlah persamaan atau variabel meningkat.
Matriks augmentasi memberikan representasi ringkas yang menggabungkan semua koefisien dan konstanta menjadi satu objek. Bentuk ini memungkinkan penerapan sekumpulan kecil operasi baris yang menyederhanakan sistem tanpa menulis ulang persamaan aslinya.
Pada bagian berikut, saya akan mendefinisikan apa itu matriks augmentasi, menunjukkan cara menyusunnya, dan menjelaskan metode standar untuk menyelesaikan sistem persamaan dengannya.
Apa Itu Matriks Augmentasi?
Matriks augmentasi adalah matriks yang memuat koefisien variabel di sebelah kiri dan suku konstanta di sebelah kanan, dipisahkan oleh garis vertikal sebagai pembeda visual. Garis tersebut hanya berfungsi sebagai pemisah visual dan tidak memengaruhi perhitungan.
Bentuk Matriks Augmentasi dari Sistem Persamaan
Untuk membentuk matriks augmentasi, Anda harus mencantumkan koefisien setiap variabel dalam urutan yang sama untuk setiap persamaan lalu menambahkan suku konstanta pada kolom tambahan. Setiap baris matriks harus sesuai tepat dengan satu persamaan dalam sistem asli.
Pertimbangkan sistem berikut:
Matriks augmentasi yang sesuai adalah:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/1b43c2a81ce4d19dda05804ab649a73d.png)
Seperti yang terlihat, baris pertama merepresentasikan persamaan pertama, dan baris kedua merepresentasikan persamaan kedua.
Mengapa Matriks Augmentasi Bermanfaat
Matriks augmentasi mengumpulkan setiap angka yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan sistem di satu tempat. Semua langkah selanjutnya bergantung pada penerapan operasi baris langsung pada satu objek ini. Akibatnya, tidak perlu menulis ulang persamaan berulang kali atau melacak daftar koefisien dan konstanta secara terpisah. Metode ini dapat diskalakan dengan rapi ke sistem yang lebih besar dan mengurangi kemungkinan kesalahan pencatatan.
Operasi Baris pada Matriks Augmentasi
Ada tiga operasi baris elementer yang diizinkan. Setiap operasi berkaitan dengan manipulasi aljabar yang tidak mengubah himpunan solusi. Operasi tersebut adalah:
- Menukar dua baris mana pun, juga dikenal sebagai swapping baris.
- Mengalikan setiap entri dalam satu baris dengan konstanta tak nol yang sama.
- Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain (atau mengurangkannya).
Karena operasi ini mempertahankan himpunan solusi, matriks yang telah ditransformasikan merepresentasikan sistem yang ekuivalen. Perlu dicatat bahwa operasi yang sama juga dapat diterapkan pada kolom.
Menyelesaikan Sistem Menggunakan Matriks Augmentasi
Proses penyelesaian memiliki tiga tahap:
- Tuliskan sistem dalam bentuk matriks augmentasi.
- Terapkan operasi baris untuk mencapai bentuk yang lebih sederhana.
- Baca solusi dari matriks yang telah disederhanakan.
Bentuk sasaran disebut row echelon form, yang menyatakan bahwa entri terdepan, juga dikenal sebagai pivot, pada setiap baris tak nol bernilai 1, semua entri di bawah setiap pivot bernilai nol, dan pivot bergeser ke kanan saat kita bergerak ke bawah matriks. Dari row echelon form, substitusi mundur akan memberikan nilai variabelnya.
Eliminasi Gauss dengan Matriks Augmentasi
Eliminasi Gauss bekerja dengan secara sistematis membentuk nol di bawah setiap pivot dari kiri ke kanan. Tujuannya adalah matriks segitiga atas.
Mulailah dengan kolom paling kiri yang dapat berfungsi sebagai pivot. Skala baris pivot jika perlu agar pivot bernilai 1, lalu tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris tersebut ke baris di bawahnya untuk menghasilkan nol pada kolom itu.
Selanjutnya, pindah ke kolom berikutnya dan ulangi hal yang sama persis. Matriks segitiga yang dihasilkan diselesaikan dengan substitusi mundur mulai dari baris paling bawah.
Jika ini terdengar menakutkan, tidak apa-apa, karena akan lebih masuk akal saat kita melihat contohnya nanti dalam artikel ini.
Reduced Row Echelon Form (RREF)
Reduced row echelon form pada dasarnya membawa row echelon form selangkah lebih jauh.
Selain ketentuan pada row echelon form, setiap entri di atas masing-masing pivot juga harus nol, dan setiap pivot harus bernilai 1. Untuk sistem dengan solusi tunggal, sisi kiri matriks menjadi matriks identitas. Konstanta di sisi kanan lalu memberikan nilai variabel secara langsung, artinya tidak diperlukan lagi substitusi mundur pada tahap ini.
Contoh Menyelesaikan Sistem dengan Matriks Augmentasi
Pertimbangkan sistem berikut:
Bentuklah matriks augmentasi:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ac312dc2de2f85a82688c9822933096a.png)
Bagi baris 1 dengan 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/c978fb965317c3958007d5104c40d970.png)
Kurangkan baris 1 dari baris 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/d53fd90648d45966012b43e918ecbab3.png)
Kalikan baris 2 dengan -2/3:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/b1f97689a2caa6be9cd6eba5bd982ba4.png)
Kurangkan 1/2 kali baris 2 dari baris 1:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ecfa74efaa9b0dd99bf4d6c0bfc5c80c.png)
Matriks kini berada dalam bentuk reduced row echelon. Solusinya adalah x=2, dan y=1.
Matriks Augmentasi vs. Matriks Koefisien
Matriks koefisien hanya memuat koefisien variabel. Untuk sistem di atas, bentuknya adalah:
Matriks augmentasi menambahkan kolom konstanta, dan memberikan representasi lengkap yang digunakan dalam proses penyelesaian.
Matriks Augmentasi dan Sistem Linear
Setiap baris pada matriks augmentasi sesuai dengan satu persamaan, sehingga matriks tersebut mengodekan seluruh sistem. Setelah reduksi baris, ada tiga kemungkinan hasil:
- Matriks memberikan jumlah pivot tak nol yang sama dengan jumlah variabel, yang berarti ada satu solusi tunggal.
- Baris dengan bentuk [0 0 … 0 | c] di mana c tidak sepele, yang berarti tidak ada solusi.
- Jumlah pivot lebih sedikit daripada variabel tanpa baris yang kontradiktif, yang berarti ada tak terhingga banyaknya solusi.
Kesimpulan
Matriks augmentasi mengubah penyelesaian sistem linear menjadi rangkaian operasi baris yang terdefinisi dengan baik dan diterapkan pada satu larik.
Perangkat yang tersedia adalah tiga operasi baris elementer, yang mempertahankan himpunan solusi sekaligus menyederhanakan matriks. Setelah Anda terbiasa dengan teknik ini, Anda akan siap menguasai eliminasi Gauss dan reduced row echelon form, karena konsep-konsep ini merupakan dasar aljabar linear yang muncul hampir di mana-mana, seperti ilmu data, optimasi, analisis numerik, pemrosesan citra, dan banyak lainnya.
