Att lösa ett system av linjära ekvationer med substitution eller elimination innebär oftast att skriva om termer och noggrant hålla reda på tecken. Arbetet blir monotont ju fler ekvationer eller variabler som ingår.
En utökad matris ger en kompakt representation som samlar alla koefficienter och konstanter i ett enda objekt. Denna form gör det möjligt att använda en liten uppsättning radoperationer som förenklar systemet utan att skriva om de ursprungliga ekvationerna.
I följande avsnitt definierar jag vad en utökad matris är, visar hur du konstruerar den och förklarar standardmetoderna för att lösa ekvationssystem med den.
Vad är en utökad matris?
En utökad matris är en matris som innehåller variablernas koefficienter till vänster och konstanttermerna till höger, åtskilda av ett lodrätt streck för visuell tydlighet. Strecket fungerar endast som en visuell avskiljare och påverkar inte beräkningarna.
Utökad matrisform för ett ekvationssystem
För att bilda den utökade matrisen ska du lista koefficienterna för varje variabel i samma ordning för varje ekvation och sedan lägga till konstanttermen i en extra kolumn. Varje rad i matrisen ska motsvara exakt en ekvation i det ursprungliga systemet.
Låt oss betrakta systemet:
Den motsvarande utökade matrisen är:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/1b43c2a81ce4d19dda05804ab649a73d.png)
Som du ser kodar den första raden den första ekvationen och den andra raden den andra.
Varför utökade matriser är användbara
Den utökade matrisen samlar alla tal som behövs för att beskriva systemet på ett ställe. Allt efterföljande arbete bygger på att tillämpa radoperationer direkt på detta enda objekt. Som en följd behöver du inte skriva om ekvationerna gång på gång eller hålla reda på separata listor över koefficienter och konstanter. Metoden skalar snyggt till större system och minskar risken för överföringsfel.
Radoperationer på utökade matriser
Det finns tre elementära radoperationer som är tillåtna. Varje operation motsvarar en algebraisk manipulation som lämnar lösningsmängden oförändrad. Dessa är:
- Omkastning av två rader, även kallat att byta rader.
- Multiplicera varje element i en rad med samma icke-noll konstant.
- Lägga till en multipel av en rad till en annan rad (eller subtrahera).
Eftersom dessa operationer bevarar lösningsmängden representerar den transformerade matrisen ekvivalenta system. Det är viktigt att notera att samma typer av operationer även kan göras på kolumner.
Att lösa system med utökade matriser
Lösningsprocessen har tre steg:
- Skriv systemet som en utökad matris.
- Tillämpa radoperationer för att nå en enklare form.
- Läs av lösningen från den förenklade matrisen.
Målformen kallas trappstegsform (row echelon form), vilket innebär att det ledande elementet, även kallat pivot, i varje icke-nollrad är 1, alla element under varje pivot är noll, och pivotarna förskjuts åt höger när man går nedåt i matrisen. Från trappstegsformen ger bakåtsubstitution oss variablernas värden.
Gausselimination med utökade matriser
Gausselimination fungerar genom att systematiskt skapa nollor under varje pivot från vänster till höger. Målet är en övre triangulär matris.
Börja med den vänstraste kolumn som kan fungera som pivot. Skala pivotraden vid behov så att pivoten blir 1, och lägg sedan till lämpliga multiplar av den raden till raderna under för att skapa nollor i kolumnen.
Gå därefter vidare till nästa kolumn och upprepa exakt samma sak. Den resulterande triangulära matrisen löses med bakåtsubstitution med början från den nedersta raden.
Om det låter avskräckande är det okej; det blir tydligare när vi ser exemplet senare i artikeln.
Reducerad trappstegsform (RREF)
Reducerad trappstegsform tar helt enkelt trappstegsformen ett steg längre.
Utöver villkoren för trappstegsform måste varje element ovanför varje pivot också vara noll, och varje pivot ska vara lika med 1. För ett system med en entydig lösning blir matrisens vänstra sida identitetsmatrisen. Konstanterna till höger ger då variablernas exakta värden direkt, vilket innebär att ingen bakåtsubstitution krävs i det läget.
Exempel på att lösa ett system med en utökad matris
Betrakta systemet:
Bild den utökade matrisen:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ac312dc2de2f85a82688c9822933096a.png)
Dela rad 1 med 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/c978fb965317c3958007d5104c40d970.png)
Subtrahera rad 1 från rad 2:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/d53fd90648d45966012b43e918ecbab3.png)
Multiplicera rad 2 med -2/3:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/b1f97689a2caa6be9cd6eba5bd982ba4.png)
Subtrahera 1/2 gånger rad 2 från rad 1:
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ecfa74efaa9b0dd99bf4d6c0bfc5c80c.png)
Matrisen är nu i reducerad trappstegsform. Lösningen är x=2 och y=1.
Utökad matris vs. koefficientmatris
Koefficientmatrisen innehåller endast variablernas koefficienter. För systemet ovan är den:
Den utökade matrisen lägger till kolumnen med konstanter och ger en fullständig representation som används i lösningsprocessen.
Utökad matris och linjära system
Varje rad i den utökade matrisen motsvarar en ekvation, så matrisen kodar hela systemet. Efter radreducering är ett av tre utfall möjliga:
- Matrisen ger lika många icke-noll pivotar som det finns variabler, vilket betyder att det finns en entydig lösning.
- En rad av formen [0 0 … 0 | c] där c är icke-trivial, vilket betyder att det inte finns någon lösning.
- Det finns färre pivotar än variabler utan motsägelsefulla rader, vilket betyder att det finns oändligt många lösningar.
Slutsats
Utökade matriser omvandlar lösningen av linjära system till en sekvens av väldefinierade radoperationer som appliceras på en enda array.
De verktyg som finns tillgängliga är de tre elementära radoperationerna, som bevarar lösningsmängden samtidigt som de förenklar matrisen. När du är bekväm med denna teknik är du redo att bemästra Gausselimination och reducerad trappstegsform, eftersom dessa begrepp är grunderna i linjär algebra som dyker upp nästan överallt, som datavetenskap, optimering, numerisk analys, bildbehandling och många, många andra.