Résoudre un système d’équations linéaires par substitution ou élimination suppose souvent de réécrire des termes et de surveiller les signes avec soin. Plus le nombre d’équations ou de variables augmente, plus la tâche devient fastidieuse.
La matrice augmentée offre une représentation compacte qui rassemble dans un seul objet tous les coefficients et constantes. Cette forme permet d’appliquer un petit ensemble d’opérations sur les lignes pour simplifier le système, sans réécrire les équations d’origine.
Dans les sections qui suivent, je définirai ce qu’est une matrice augmentée, montrerai comment la construire et expliquerai les méthodes standard pour résoudre des systèmes d’équations à l’aide de celle-ci.
Qu’est-ce qu’une matrice augmentée ?
Une matrice augmentée est une matrice qui contient, à gauche, les coefficients des variables et, à droite, les termes constants, séparés par une barre verticale à des fins purement visuelles. Cette barre n’a aucun effet sur les calculs.
Forme matricielle augmentée d’un système d’équations
Pour former la matrice augmentée, listez les coefficients de chaque variable dans le même ordre pour toutes les équations, puis ajoutez le terme constant dans une colonne supplémentaire. Chaque ligne de la matrice doit correspondre exactement à une équation du système initial.
Considérons le système :
La matrice augmentée correspondante est :
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/1b43c2a81ce4d19dda05804ab649a73d.png)
Comme vous le voyez, la première ligne code la première équation et la deuxième ligne la seconde.
Pourquoi les matrices augmentées sont utiles
La matrice augmentée regroupe en un seul endroit tous les nombres nécessaires pour décrire le système. Toute la suite consiste à appliquer des opérations sur les lignes directement à cet objet unique. Inutile donc de réécrire sans cesse les équations ou de suivre séparément listes de coefficients et de constantes. La méthode s’adapte bien aux systèmes de plus grande taille et réduit le risque d’erreurs de recopie.
Opérations sur les lignes d’une matrice augmentée
Trois opérations élémentaires sur les lignes sont autorisées. Chacune correspond à une manipulation algébrique qui ne modifie pas l’ensemble des solutions. Ce sont :
- Permuter deux lignes ("swap" des lignes).
- Multiplier tous les éléments d’une ligne par une même constante non nulle.
- Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne (ou soustraire).
Ces opérations préservant l’ensemble des solutions, la matrice transformée représente des systèmes équivalents. Notez qu’on peut également agir de manière analogue sur les colonnes.
Résoudre des systèmes avec des matrices augmentées
Le processus de résolution suit trois étapes :
- Écrire le système sous forme de matrice augmentée.
- Appliquer des opérations sur les lignes pour atteindre une forme plus simple.
- Lire la solution à partir de la matrice simplifiée.
La forme cible est la forme échelonnée par lignes (row echelon form), où l’entrée dominante, aussi appelée pivot, de chaque ligne non nulle vaut 1, toutes les entrées sous chaque pivot sont nulles, et les pivots se décalent vers la droite au fil des lignes. À partir de la forme échelonnée, une résolution par remontée (back-substitution) fournit les valeurs des variables.
Élimination de Gauss avec matrices augmentées
L’élimination de Gauss consiste à créer systématiquement des zéros sous chaque pivot de gauche à droite. L’objectif est d’obtenir une matrice triangulaire supérieure.
Commencez par la colonne la plus à gauche pouvant servir de pivot. Redimensionnez la ligne du pivot au besoin pour que le pivot vaille 1, puis ajoutez des multiples appropriés de cette ligne aux lignes inférieures afin de produire des zéros dans la colonne.
Passez ensuite à la colonne suivante et réappliquez exactement la même procédure. La matrice triangulaire obtenue se résout par remontée en partant de la dernière ligne.
Si cela vous semble intimidant, pas d’inquiétude : l’exemple plus loin dans l’article clarifiera la démarche.
Forme échelonnée réduite (RREF)
La forme échelonnée réduite pousse simplement la forme échelonnée un cran plus loin.
En plus des conditions de la forme échelonnée, toutes les entrées au-dessus de chaque pivot doivent également être nulles, et chaque pivot doit être égal à 1. Pour un système à solution unique, la partie gauche de la matrice devient la matrice identité. Les constantes à droite donnent alors directement les valeurs des variables, ce qui évite toute remontée supplémentaire.
Exemple : résoudre un système avec une matrice augmentée
Considérons le système :
Former la matrice augmentée :
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ac312dc2de2f85a82688c9822933096a.png)
Diviser la ligne 1 par 2 :
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/c978fb965317c3958007d5104c40d970.png)
Soustraire la ligne 1 de la ligne 2 :
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/d53fd90648d45966012b43e918ecbab3.png)
Multiplier la ligne 2 par −2/3 :
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/b1f97689a2caa6be9cd6eba5bd982ba4.png)
Soustraire ½ de la ligne 2 à la ligne 1 :
![$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $](https://media.datacamp.com/cms/ecfa74efaa9b0dd99bf4d6c0bfc5c80c.png)
La matrice est maintenant en forme échelonnée réduite. La solution est x = 2 et y = 1.
Matrice augmentée vs matrice des coefficients
La matrice des coefficients ne contient que les coefficients des variables. Pour le système ci-dessus, c’est :
La matrice augmentée ajoute la colonne des constantes et fournit une représentation complète utilisée dans le processus de résolution.
Matrice augmentée et systèmes linéaires
Chaque ligne de la matrice augmentée correspond à une équation, de sorte que la matrice code l’intégralité du système. Après réduction, trois issues sont possibles :
- La matrice présente autant de pivots non nuls que de variables : il y a une solution unique.
- Une ligne de la forme [0 0 … 0 | c] où c est non nul signifie qu’il n’y a pas de solution.
- Il y a moins de pivots que de variables et aucune ligne contradictoire : il existe une infinité de solutions.
Conclusion
Les matrices augmentées transforment la résolution des systèmes linéaires en une suite d’opérations bien définies appliquées à un seul tableau.
Les outils à votre disposition sont les trois opérations élémentaires sur les lignes, qui préservent l’ensemble des solutions tout en simplifiant la matrice. Une fois cette technique maîtrisée, vous serez prêt à approfondir l’élimination de Gauss et la forme échelonnée réduite, des notions fondamentales de l’algèbre linéaire omniprésentes en data science, optimisation, calcul numérique, traitement d’image, et bien d’autres domaines.
