Dışsal vs. İçsel Değişkenler: Temel Farklar ve Örnekler

Diyelim ki daha uzun süre okulda kalmanın gerçekten kazancınızı artırıp artırmadığını bilmek istiyorsunuz. Bir regresyon çalıştırıyor, eğitim değişkeni için pozitif bir katsayı elde ediyor ve bundan memnun oluyorsunuz. Sonra biri, daha zeki ve daha motive insanların, okuldan bağımsız olarak hem daha fazla eğitim alma hem de daha fazla kazanma eğiliminde olduğunu söylüyor. Sizin tahmininiz, eğitim kadar yeteneği de yakalıyor. Bu içselliktir ve regresyon sonuçlarının yanıltmasının en yaygın yollarından biridir.

Dışsal ve içsel değişkenler arasındaki ayrım, bu sorunun kalbinde yer alır. Bunu yanlış anlarsanız katsayılarınız düşündüğünüz şeyi ifade etmez. Doğru anlarsanız, güvenilir nedensel iddialarda bulunmaya başlayabilirsiniz. Bu makale tanımları, temel farkları, içselliğin başlıca kaynaklarını ve standart çözümleri adım adım ele alıyor. Dürüst olacağım: çoğu kaynak çözüm bölümünde yumuşak davranır. Burada bunu yapmamaya çalıştım.

Dışsal ve İçsel Değişkenler Nelerdir?

Kelimeler Yunanca kökenlidir: exo (dış) ve endo (iç). Dışsal bir değişken, modellenen sistemin dışında belirlenir. Sonuçları etkiler ama modeldeki diğer değişkenler tarafından etkilenmez. İçsel bir değişken ise sistemin kendisi tarafından şekillenir; yani geri besleme döngüleri veya gizli bağımlılıklar oluşturan yollarla diğer değişkenlerle bağlantılıdır.

Regresyonda bu ayrımın kesin bir istatistiksel anlamı vardır. Bir değişken, modelin hata terimiyle korelasyonsuzsa dışsaldır. Hata terimiyle korele ise içseldir; yani artıkta, yordayıcınızı da etkileyen bir şey vardır.

Dışsal değişkenler

Dışsal bir değişken geri besleme döngüsünün dışında yer alır. Tarımsal üretimin belirleyicisi olarak günlük yağışı düşünün: çiftçinin ekim kararları havayı etkilemez. Yağış verimi etkiler, ancak verim yağışı geri dönüp değiştirmez. Regresyon açısından bu, yordayıcı ile hata terimi arasında sıfır korelasyona karşılık gelir; istatistikçiler bunu Cov(X, ε) = 0 şeklinde yazar. O sıfır kovaryans koşulu, EKK tahminlerini yanlılıksız yapan şeydir. Bu koşul sağlandığında, X üzerindeki katsayı X ile sonuç arasındaki ilişkiyi, atlanan etkenlerden arınmış biçimde, net şekilde yakalar.

İçsel değişkenler

İçsel bir değişken hata terimiyle iç içedir. Eğitim örneğine dönelim: kazançları; yetenek, motivasyon, aile geçmişi ve bir kişinin ne kadar eğitim aldığına da etki eden daha onlarca şey belirler. Bu gözlemlenmeyen faktörler ε hata terimine girer. Eğitim ε ile korele olduğundan içsellik vardır: Cov(X, ε) ≠ 0.

“Dışsal” ve “içsel”in tam anlamı, modelleme bağlamına göre biraz değişir. Yapısal eşitlik modellemesinde değişkenler, sistemin çıktısı olup olmadıklarına göre sınıflandırılır; ekonometride vurgu hata terimiyle ilişkiye yapılır. Her iki çerçeve de aynı temel fikri yakalar.

Dışsal vs. İçsel Değişkenler: Temel Farklar

Aşağıdaki tablo temel karşıtlığı yakalar. Sonraki bölümlerde ayrıntılara giriyoruz.

Dışsal ve İçsel Değişkenlere Örnekler

Soyut tanımlar bir yere kadar gider. İşte dışsal/içsel sınıflandırmasının gerçekten işe yaradığı üç senaryo.

Eğitim ve kazanç

Bu, haklı bir nedenle kanonik örnektir. Okula bir yıl daha gitmenin ücretler üzerindeki nedensel etkisini tahmin etmek istiyorsunuz. Sorun şu: daha yüksek yeteneğe sahip kişiler daha fazla eğitim alma ve daha fazla kazanma eğilimindedir. Yetenek modelinizde yoktur. Hata terimindedir. Dolayısıyla eğitim ile hata terimi koreledir ve eğitim katsayınız, sessizce emdiği yetenek primini de içerecek şekilde şişirilir.

Burada eğitimi dışsal kabul etmek bir hata olur. Eğitim, kısmen kontrol edemediğiniz gözlemlenmeyen faktörler tarafından belirlendiği için içseldir.

Fiyat ve talep

Standart bir arz-talep piyasasında fiyat ve miktar eşzamanlı olarak belirlenir. Talep edilen miktarı fiyata göre regresyonla açıklarsanız, talep eğrisini tanımlamazsınız. Hem arz hem talep şoklarıyla değişen bir dengeyi izlersiniz. Fiyat talep dışında belirlenmez; ona tepki verir. Bu nedenle miktar sonuç değişkeniyken fiyat içseldir; tersi durumda da öyle.

Bu eşzamanlılık sorunu, ekonomistlerin doğal deneylere ve araç değişkenlere, bu yöntemler başka yerlerde moda olmadan çok önce ilgi duymalarının nedenidir.

Hava durumu ve tarımsal çıktı

Yağış, ders kitaplarındaki dışsal değişkendir. Bir çiftçinin ne kadar buğday ekeceğine ilişkin kararı yarının yağışını değiştirmez. Yağış çıktıyı etkiler, ancak çıktı yağışa geri besleme yapmaz. Bu tek yönlü etki, hava durumunun gözlemlenmeyen çiftlik düzeyi verimlilik şoklarıyla korelesiz olduğu makul varsayımıyla birleşince, onu makul bir dışsal yordayıcı yapar.

Şu da var ki hiçbir değişken doğuştan dışsal ya da içsel değildir. Sınıflandırma, modele ve varsayımlara bağlıdır. Uzun dönem bölgesel iklimi ve tarımsal arazi kullanımını birlikte modelliyor olsaydınız, “hava durumu” artık o kadar bağımsız görünmeyebilirdi.

Regresyonda İçsellik Neden Sorun?

Teknik mesele açıktır. EKK, açıklayıcı değişkenlerin hata terimiyle korelesiz olduğunu varsayar. Bu varsayım bozulduğunda, tahmin edici, ilgi duyulan değişkene değil atlanan faktörlere ait olan varyasyonu da yakalar ve yanlı ve tutarsız tahminler üretir. Yeterli veriyle, EKK yanlış sayıya yakınsar; örnekleme hatası nedeniyle değil, yanlış problemi çözdüğü için.

Yorumlama hasarı hızla büyür. Yanlı bir katsayı yanıltıcı sonuçlara, hatalı öngörülere ve kötü politikalara yol açar. Yetenek atlamasından dolayı eğitimin kazanç getirisini olduğundan fazla tahmin ederseniz, örneğin okul programlarını okul öncesi müdahalelere kıyasla fazla fonlayabilirsiniz. İstatistiksel sorun kısa sürede pratik bir soruna dönüşür.

Resmi olarak, dışsallık koşulu E(ε | X) = 0 veya en azından Cov(X, ε) = 0 gerektirir. Bu sağlanmadığında, EKK tahmin edicisi β̂ olasılıkta β yerine β + (E[X′X])⁻¹E[X′ε] ifadesine yakınsar. Ek terim yanlılıktır ve örneklem büyüdükçe kaybolmaz.

İçselliğe Ne Sebep Olur?

Birkaç farklı mekanizma vardır ve hangisiyle karşı karşıya olduğunuzu bilmek, nasıl ele alacağınızı belirler.

Atlanan değişken yanlılığı

Bu en yaygın suçludur. İlgili bir değişken modelden çıkarıldığında, etkisi hata terimine emilir. Eğer bu atlanan değişken yordayıcılarınızdan biriyle de korele ise içsellik oluşur. Eğitim-yetenek hikayesi klasik bir örnektir: yetenek ücret denkleminde yer almalıdır, ancak temiz biçimde ölçemediğimiz için ε içinde kalır. Yetenek eğitimle korele olduğundan, eğitim katsayısı yetenek priminin bir kısmını üstlenir.

Eşzamanlılık

Eşzamanlılık, iki değişken birbirini ortaklaşa belirlediğinde ortaya çıkar: rekabetçi bir piyasada fiyat ve miktar, polis varlığı ve suç oranları, reklam harcaması ve satışlar. Her biri diğerinin hem nedeni hem sonucudur; bu da hiçbirinin dışsal kabul edilemeyeceği anlamına gelir. Eşzamanlılığın alameti, veri üretim sürecini tanımlamak için bir denklem sistemi gerekmesidir. Tek denklemlik bir regresyon, kim kimi etkiliyor ayrımını çözemez.

Ölçüm hatası

Bir yordayıcı hatalı ölçüldüğünde, gerçekteki değişken öyle olmasa bile içsel hale gelir. Ölçüm hatası hem yordayıcıda hem artıkta yer alır ve aralarında korelasyon yaratır. Klasik örnek: kendi beyanına dayalı gelir. İnsanlar hatırlar, yuvarlar veya bilerek yanlış bildirir; beyan edilen ile gerçek gelir arasındaki fark, bağımsız değişken olarak kullandığınız rakamla korele olur.

Seçim ve diğer kaynaklar

Seçim yanlılığını ayrıca anmak gerekir. Örnekleme kimin girdiği, sonuç değişkenine veya yordayıcınızla korele faktörlere bağlıysa, nüfusun rastgele olmayan bir kesimiyle çalışıyorsunuz demektir. Kanonik versiyon Heckman’ın seçim modelidir: çalışmayı seçmenin, potansiyel ücretlerle korele olduğu durumda, çalışanlar için ücret belirleyicilerini incelemek.

Başka kaynaklar da vardır (ters nedensellik, gecikmeli sonuçların yordayıcı olduğu dinamik paneller, ağ etkileri), ancak karşılaşacağınız vakaların çoğunu atlanan değişkenler, eşzamanlılık ve ölçüm hatası kapsar.

İçsellik Nasıl Tespit Edilir

Genellikle içselliği bir korelasyon matrisiyle ya da standart bir tanı testiyle tespit edemezsiniz. Sorun, yordayıcınız ile tanımı gereği gözlemlenmeyen hata terimi arasındaki ilişkilerdedir.

Gerçekten yardımcı olan şey teori ve alan bilgisidir. Herhangi bir regresyonu çalıştırmadan önce şunu sorun: Bu yordayıcı, kontrol edemediğim kanallar yoluyla sonuç değişkenimi de etkileyen faktörler tarafından mı belirleniyor? Nedensel bir diyagram çizmek yardımcı olabilir. Yönlü çevrimsiz grafikler (DAG’ler), hangi yolların var olduğunu ve hangi karıştırıcıların engellenmesi gerektiğini netleştirir.

Resmi bir yaklaşım Durbin-Wu-Hausman testidir; EKK tahminlerini araç değişken tahminleriyle karşılaştırır. İki katsayı kümesi anlamlı biçimde farklıysa, bu yordayıcının içsel olduğuna dair kanıttır. Klasik versiyonun homoskedastik hatalar varsaydığını unutmayın; bu varsayım şüpheliyse sağlam bir varyant (Wooldridge’in regresyona dayalı biçimi gibi) kullanın. Ancak bu test sadece halihazırda geçerli bir aracınız varsa çalışır ve bir araç bulmak çoğu zaman testten daha zordur. Faydalı bir kontroldür, veri üretim sürecini dikkatle düşünmenin yerine geçmez.

İçselliği Nasıl Giderirsiniz

Tek bir yöntem tüm türleri kapsamaz. Doğru seçim, içselliğe neyin sebep olduğuna bağlıdır.

Araç değişkenler

Temel fikir: içsel yordayıcınızı etkileyen, ancak sonuç değişkenini yalnızca o yordayıcı üzerinden etkileyen bir değişken (araç) bulun. Geçerli bir araç iki koşulu karşılar: ilgililik (içsel değişkenle koreledir) ve dışlama kısıtı (sonuç denkleminde doğrudan yeri yoktur).

Eğitim örneğinde, evden en yakın üniversiteye uzaklık, eğitim için bir araç olarak önerilmiştir. Çocukluğunu üniversiteye uzak geçirenler, daha yüksek maliyet nedeniyle daha az eğitim almıştır. Uzaklığın ücretleri okul eğitimi dışında etkilemediği varsayılırsa, bu geçerli bir araçtır. İkinci koşul veriyle tek başına doğrulanamaz; bu yüzden AD tahmini, yalnızca anlamlı bir ilk aşama değil, savunulabilir bir argüman gerektirir.

İki Aşamalı En Küçük Kareler

İki aşamalı en küçük kareler (2SLS), AD tahminini işler hale getirir. İlk aşamada, içsel yordayıcıyı araç ve tüm dışsal kontroller üzerine regresyona sokarsınız. İkinci aşamada, içsel değişkeni birinci aşamadaki tahmin değerleriyle değiştirir ve sonuç denklemini bunlara karşı çalıştırırsınız. Tahmin değerleri, yordayıcıdaki yalnızca araçtan gelen (sonuç denklemindeki hata terimiyle korelesiz) varyasyonu içerir; bu yüzden 2SLS daha temiz bir nedensel tahmin verir. Pratikte, iki aşamayı ayrı EKK regresyonları olarak elle çalıştırmayın. İkinci aşamadaki standart hatalar, birinci aşamanın tahmin belirsizliğini yok sayacağı için hatalı olur. Bunun yerine özel bir AD tahmin edicisi kullanın (R’da AER paketindeki ivreg veya Python’da linearmodels içindeki IV2SLS gibi).

Sabit etkiler

İçsellik, zaman içinde sabit kalan gözlemlenmeyen birey düzeyi özelliklerden (yetenek, firma kültürü, mahalle kalitesi) kaynaklandığında, panel veri sabit etkileri yardımcı olabilir. Birim düzeyi kukla eklemek (veya eşdeğeri olarak, birim içinde ortalamadan sapmaları almak), birim düzeyindeki tüm zamana sabit atlanan değişkenleri ortadan kaldırır. Sabit etkiler, zamanla değişen karıştırıcılar, ölçüm hatası veya eşzamanlılıkla başa çıkmaz; ancak sabit gözlemlenmeyenler için çoğu zaman en temiz çözümdür.

Deneysel ve yarı deneysel tasarımlar

Dışsal varyasyon elde etmenin en temiz yolu rastgeleleştirmedir. Rastgele kontrollü deneyde, tedavi ataması tasarım gereği diğer her şeyden bağımsızdır. Rastgeleleştirme mümkün olmadığında, bazı dışsal olayların fiilen maruziyeti rastgeleleştirdiği doğal deneyler benzer bir inandırıcılığa ulaşabilir. Regresyon süreksizlik tasarımları ve farkların farkı, bu mantık üzerine kurulu iki yaygın yarı deneysel çerçevedir.

Aklınızda tutmaya değer: Bu yöntemlerin hiçbiri içselliğin her türünü çözmez. AD savunulabilir bir araç gerektirir. Sabit etkiler eşzamanlılığa çare olmaz. Rastgeleleştirme ise çoğu önemli soru için nadiren mevcuttur.

Araç Değişkenler: Basit Bir Örnek

Eğitim-kazanç vakası, mekanikleri somutlaştırır. İçsel değişken, hata terimindeki gözlemlenmeyen yetenekle korele olduğu için içsel olan eğitim yılıdır. Bir araca ihtiyacımız var: bir kişinin ne kadar eğitim aldığını öngören, ancak ücretleri yalnızca eğitim üzerinden etkileyen bir şey.

Card (1995), dört yıllık bir üniversiteye yakınlığı önerdi. Çocukluğunu üniversiteye yakın geçirenler daha düşük katılım maliyetiyle ortalamada daha fazla eğitim aldı. Eğer üniversiteye yakın yaşamak, diğer yer faktörlerini kontrol ettikten sonra, yetişkin ücretlerini doğrudan etkilemiyorsa, yakınlık dışlama kısıtını sağlar.

İlk aşama: eğitim yılını üniversiteye yakınlık ve kontroller üzerine regresyona sokun. Bu, yetenekten değil yakınlıktan kaynaklanan varyasyonu içeren, eğitimin uyumlu değerlerini üretir. İkinci aşama: log ücretleri bu uyumlu değerler üzerine regresyona sokun. Uyumlu eğitim üzerindeki katsayı, eğitimi gerçekten yakınlık tarafından etkilenmiş kişiler için eğitimin ücretler üzerindeki nedensel etkisini tahmin eder; iktisatçıların yerel ortalama tedavi etkisi (LATE) dediği şey.

Araç, herkes için ortalama etkiyi vermez. Yakınlık nedeniyle eğitimi değişenler, yani uyum gösterenler için güvenilir bir nedensel tahmin verir. Bu, AD’nin gerçek bir sınırlamasıdır; ama dürüst bir sınırlamadır.

Nedensel Çıkarımda Dışsal ve İçsel Değişkenler

Dışsallığın regresyon çerçevesi, hata terimiyle korelasyondur. Nedensel çıkarım çerçevesi ise biraz farklı bir şeyle ilgilidir: bir değişkenin, izole edebileceğiniz bir yol üzerinden sonucun nedeni olup olmadığıyla. Judea Pearl’ün çalışmalarıyla ilişkilendirilen yönlü çevrimsiz grafik (DAG) çerçevesinde, dışsal değişkenler grafikte ebeveyni olmayan düğümlerdir. Karıştırıcılar, hem tedavinin hem sonucun ortak nedenleridir ve tam da regresyon anlamında içsellik yaratan şeydir.

Bu çerçeveler arasındaki bağlantı gerçektir ama her zaman tertipli değildir. Ekonometrik içsellik, kabaca bir DAG’de engellenmemiş arka kapı yollarının varlığına tekabül eder. Bir karıştırıcıyı kontrol etmek, bir arka kapı yolunu engellemeye karşılık gelir. AD tahmini, tedavide dışsal bir varyasyon kaynağı bulmaya karşılık gelir.

Şunu vurgulamak değerli: Grafiksel modellerde, bir değişken bir sistemde dışsal, başka bir sistemde içsel olabilir; eğitim-kazanç örneği tam da bunu göstermiştir. Uygulamadaki sonuç ise çerçeveden bağımsız olarak aynıdır. Sadece modeli uydurmak değil, nedensel varsayımlarınızı savunmanız gerekir.

Makine Öğreniminde Dışsal ve İçsel Değişkenler

Standart öngörüsel MO’da içsellik büyük ölçüde önemsizdir. Amacınız ayrılan veride tahmin hatasını en aza indirmekse, özelliklerinizin dışsal olup olmaması fark etmez. İçsel yordayıcılar kullanan bir model yine de iyi genelleşebilir. Yanlı katsayı yorumlama için sorundur, öngörü için değil.

Ayrım, katsayıları nedensel olarak yorumladığınızda veya modeli müdahaleleri yönlendirmek için kullandığınızda önem kazanmaya başlar. Diyelim ki bir işletme bir ayrılma (churn) modeli eğitiyor ve ardından son destek bileti hacmi gibi özelliklere göre harekete geçiyor, müşterileri hedefliyor. Nedensel soru gündeme gelir: bilet hacmi ayrılmaya mı neden oluyor, yoksa her ikisini de yönlendiren aynı altta yatan memnuniyetsizliğin bir belirtisi mi? İçsel bir yordayıcı sanki nedenselmiş gibi hareket etmek, israf veya ters etki yaratan müdahalelere yol açabilir.

Nedensel MO yöntemleri (çift makine öğrenimi, nedensel ormanlar, politika öğrenimi), standart MO’nun görmezden geldiği dışsallık gerekliliklerini açıkça içselleştirir. Etkileri içselliğe karşı dayanıklı biçimde tahmin etmek için araç benzeri veya deneysel varyasyon kullanırlar. Veri ve tanımlayıcı varsayımlar açısından daha talepkârdırlar, ancak amaç öngörü değil politika değerlendirmesi olduğunda doğru araçlardır.

Yaygın Yanılgılar

Karşılaşabileceğiniz birkaç yaygın yanılgı şunlardır. 

Bağımsız değişkenler her zaman dışsaldır

“Bağımsız değişken” sadece “yordayıcı” demektir. Bu, o değişkenin dışsal olup olmadığı hakkında hiçbir şey söylemez. Ücret regresyonunda eğitim bağımsız değişkendir ve içseldir. Bu iki sınıflandırma farklı şeyleri açıklar.

İçsel, bağımlı değişkenle aynı anlama gelir

“Bağımlı değişken”, modellediğiniz sonuç, sol taraftır. “İçsel değişken”, sağ tarafta, hata terimiyle korele bir yordayıcıyı tanımlar. Eşzamanlı denklem sistemlerinde örtüşebilirler, ancak eşanlamlı değillerdir.

Dışsallık, diğer değişkenlerle tamamen ilgisiz olmayı gerektirir

Dışsallık, diğer yordayıcılarınızdan istatistiksel bağımsızlığı gerektirmez. İki yordayıcı birbiriyle korele olabilir ve her ikisi de dışsal olabilir; yeter ki hiçbiri hata terimiyle korele olmasın. Dışsallık, özel olarak ε ile ilişkiye dairdir.

İstatistiksel kontroller otomatik olarak içselliği ortadan kaldırır

Kontrol eklemek, içsellik gözlemleyebildiğiniz ve ölçebildiğiniz atlanan bir etkenden kaynaklandığında yardımcı olur. Ancak birçok karıştırıcı (yetenek, motivasyon, sosyal ağlar) gözlemlenemezdir. Daha fazla kontrol eklemek, kilit atlanan değişken verinizde değilse sorunu çözmez.

Sonuç

Dışsal ve içsel, bir değişkenin nereden geldiğini ve modelin geri kalanıyla nasıl ilişkili olduğunu tanımlar; yalnızca denklemin hangi tarafında göründüğünü değil. Bir yordayıcı, sistemin dışında belirlendiğinde ve hata terimiyle korelesiz olduğunda dışsaldır. Gözlemlenmeyen ve sonucu da etkileyen faktörlerle dolanıp durduğunda içseldir.

Ayrım önemlidir çünkü içsellik EKK’yı bozar. Atlanan değişken yanlılığı, eşzamanlılık ve ölçüm hatası, her biri yordayıcılarla hata terimi arasında korelasyon yaratır ve tahminleri peşinde olduğunuz nedensel etkiyi temsil etmeyen sayılara iter. Bunu düzeltmek, içselliğin neden ortaya çıktığını anlamayı ve ardından o kaynağa uygun bir yöntem (araçlar, sabit etkiler, yarı deneysel tasarım) seçmeyi gerektirir. Evrensel bir çözüm yoktur ve en çok yaklaşan yöntemler, savunabilirsiniz ama tamamen kanıtlayamayacağınız varsayımlar gerektirir.

Tüm bunların arkasındaki regresyon mekaniğine daha derinlemesine inmek isterseniz, R ile Orta Düzey Regresyon kursumuz varsayımları ayrıntılı biçimde ele alır ve R ile Nedensel Çıkarım kursumuz bu makalenin bıraktığı yerden aynen devam eder; araç değişkenleri, farkların farkı ve regresyon süreksizlik tasarımlarını içerir.