Claude 尝试攻克黎曼猜想。结果如何？

没错，它并未解决黎曼猜想。但它确实意外达成了一项真实且经 Lean 验证的改进，把一个已有 50 年历史的下界推进了一步。

已更新 2026年10月6日 · 7分钟阅读

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今天，8 月 10 日，Anthropic 发布了一份研究札记，介绍了一位员工让 Claude 尝试攻克也许是最著名的数学未解难题——黎曼猜想——时所发生的事情。（考虑到投资者，Anthropic 也特别提醒，这是在尚未发布的 Claude 模型版本上进行的项目。）

Claude 并没有证明该猜想。没人对此抱有指望。但在尝试过程中，围绕同一研究领域的一道旁支问题，Claude 对一个长期存在的下界做出了真正改进：即黎曼 ζ 函数有多少零点位于猜想所预测的“临界线”上。此前，这个数字是 41.6%，凝结了数十年的努力。Claude 的结果将其提升到了 67.2%。

两位 Anthropic 的数学家在内部审阅了这项工作，并请外部专家 Brian Conrey 和 Dan Goldston 进行评阅。Claude 还给出了可由机器检查的 Lean 形式化证明，使得逻辑步骤可以机械化验证。结果站得住脚，且重要而有趣。

到底什么是黎曼猜想？

不必另开一篇文章来理解这一段：黎曼 ζ 函数是一种数学函数，它以一种迂回的方式编码了素数分布的信息。

素数到底有什么特别？

素数并非逐个看时不可预测意义上的“随机”。

一个数是否为素数是完全确定的。但它们也不遵循任何简单公式，因为没有哪条等式能直接给出第 1 亿个素数。

确实存在一些能找出素数的公式，但本质上也只是伪装成逐个检查。可如果拉远视角，素数变稀疏的速度却是可预测的：对于一个足够大的 n，约每 ln(n) 个数中就有 1 个是素数，而且这个比例在 n 增大时依然成立。

什么是 ζ 函数？它与素数有什么关系？

和很多函数一样，ζ 函数有“零点”，即输出恰好为零的点；在 ζ 函数的情形下，零点有无穷多个。其中一些是平凡零点并已被很好理解；更有意思的是其余那些。黎曼猜想断言：所有这些非平凡零点都恰好落在同一条称为临界线的竖直线上。

这里有一种理解它与素数联系的方式。最简单地说，ζ 函数是一个和：1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + ...，对所有正整数求和，并带上一个指数 s。这里还没有素数的影子，只是在累加分数。

欧拉在 18 世纪的妙招，是证明这个无穷级数恰好等于一个只用素数构成的无穷乘积：形如 1/(1 − 1/2ˢ) × 1/(1 − 1/3ˢ) × 1/(1 − 1/5ˢ) × 1/(1 − 1/7ˢ) × ... 的连乘，每个素数对应一个因子，完全没有合数。之所以成立，归根到底在于唯一分解：每个正整数都能以唯一方式分解成素数，因此对全体正整数求和与对全体素数连乘最终编码的是同一份信息。这个等式正是两者的纽带。它意味着 ζ 函数不仅与素数有关，实际上就是对素数的一种重新打包。

最后一点：黎曼证明了这些零点控制了素数变稀疏时误差项的行为（也就是前面那句“大约每 ln(n) 个数中有一个是素数”的估计）。这些零点就像修正粗略估计的细则：它们体现了素数实际位置与平滑平均之间的偏差。黎曼猜想断言，所有有趣的（我们先前提到的“非平凡”）零点都恰好落在同一条称为临界线的竖直线上；若这是真的，就意味着这些偏差尽可能地小且行为规整，素数的分布也就达到了尽可能可预测的程度。

那么 41.6% 和 67.2% 是什么意思？

黎曼猜想声称 100% 的非平凡零点都在临界线上。没人证明过，也没人推翻过。数学家们用完全不同的方法所能证明的是一个下限：无论如何，至少有多少比例的零点一定落在那条线上。

这与用计算机逐个检查零点不同。人们已经计算了数万亿个零点，迄今为止每一个都落在临界线上，但这毕竟只是有限样本。无论多大，都不能排除在更远处出现打破模式的零点。其次，也是关键之处，41.6% 与 67.2% 并非样本结果。它们是关于整个无限零点集合的定理：严格保证当您考察越来越多的零点时，至少有该比例始终在那条线上。这是坚实的数学下界，不是估计，更不是概率。

因此，当数字从 41.6% 提高到 67.2% 时，并没有“发现”什么新零点。真正变化的是这个保证性下界本身——通过新的证明技巧，从同一个无限集合中挤出了更多确定性。哪怕让下界提高一点，历史上也往往非常缓慢且技术细腻；而一次性提高 25 个百分点，正是这一结果值得单独成文的原因。

等等，所以黎曼猜想还是没被解决？

即便下界最终达到 99%，也不构成证明。该猜想对每一个零点都做出“全有或全无”的断言，因此在这个无限集合中只要有一个零点不在临界线上，猜想就被推翻。

本次成果的定位是：对一个具体的定量问题做出的真实且经验证的改进。自 1973 年 Montgomery 引入相关技术以来，数学家们一直在这条路线上深耕。Claude 的结果正是沿着这一脉络：将 1973 年的方法，结合 Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh 之后的改造（使其不再预设猜想为真），再叠加 Bombieri 于 2000 年的论文。Claude 找到了一种把这些线索缝合在一起的方式：把某个函数空间中正定与负定的部分同时加以处理，而不是分开对待。正是这一点把下界从 41.6% 推到了 67.2%。

Claude 是怎么做到的

据 Anthropic 称，公司的员工 Jarred Sumner 只是用 Claude Code 里的 Claude 发出提示，让它尝试黎曼猜想，实际的数学决策则交给模型自己做。

第一轮尝试以失败告终：Claude 生成并尝试了 650 个不同想法，无一奏效。在被告知再试一次后，Claude 花了大约一天半协调约 60 个子代理，它们共执行了约 2,400 条 shell 命令并编写了数百个 Python 脚本，将数值断言与已知的 ζ 函数零点交叉校验，并相互审阅推理过程。在这 60 个子代理中，只有两个最终发展出了关键的数学构想；13 个提供了辅助思路；30 个尝试的路线未能成功；13 个担任验证者；最后还有两个协助撰写论文。

整个过程分两次会话，共使用了约 3,100 万输出 token。值得注意的是，人类在此过程中的贡献主要是鼓励（“继续加油！”之类），Anthropic 认为这可能帮助 Claude 克服了它对问题可解性的早期怀疑。

在得到结果后，Claude 并未就此止步：它让子代理搜寻反例，从 arXiv 抓取了 54 篇论文以确认结果未被发表过，并独立重新推导以做健全性检查。随后它建议将结果写成论文并请一位研究素数的数学家核查，这正是接下来发生的事：Anthropic 的数学家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 在内部审阅，Conrey 与 Goldston 进行外部评阅，之后还与 Anthropic 的 Eric Easley 合作完成了单独的 Lean 形式化。