Claude probó con la hipótesis de Riemann. Esto es lo que pasó.

Hoy, 10 de agosto, Anthropic publicó una nota de investigación contando qué ocurrió cuando un miembro del equipo pidió a Claude que intentara abordar la hipótesis de Riemann, probablemente el problema abierto más famoso de las matemáticas. (Siempre con sus inversores en mente, Anthropic recordó que este proyecto se realizó con una versión de Claude aún no publicada.)

Claude no demostró la hipótesis. Nadie lo esperaba. Pero en el proceso, trabajando en una cuestión lateral del mismo ámbito, Claude logró una mejora genuina en una cota inferior de larga data: la proporción de ceros de la función zeta de Riemann que se sabe que se sitúan en la \"línea crítica\" que predice la hipótesis. Antes era del 41,6%, resultado de décadas de trabajo. El nuevo resultado de Claude la eleva al 67,2%.

Dos matemáticos de Anthropic revisaron el trabajo internamente y se invitó a dos expertos externos, Brian Conrey y Dan Goldston, para evaluarlo. Claude también produjo una formalización en Lean verificable por máquina de la demostración, de modo que los pasos lógicos pudieran comprobarse automáticamente. El resultado se sostiene, es significativo e interesante. 

¿Qué es exactamente la hipótesis de Riemann?

No te haré ir a otro artículo para entender esto: la función zeta de Riemann es una función matemática que, de forma indirecta, codifica información sobre la distribución de los números primos.

¿Qué pasa con los números primos?

Los primos no son aleatorios en el sentido de ser impredecibles uno a uno.

Si un número dado es primo está completamente determinado. Pero tampoco siguen una fórmula sencilla porque no hay una ecuación que te dé el primo número cien millones.

Existen fórmulas que encuentran números primos, pero en el fondo son versiones disfrazadas de comprobar cada número uno por uno. A gran escala, eso sí, los primos se espacian a un ritmo que sí puedes predecir bastante bien: alrededor de un número grande n, aproximadamente 1 de cada ln(n) números es primo, y esa proporción se mantiene a medida que n crece.

¿Qué es la función zeta y cómo se relaciona con los primos?

Como muchas funciones, la función zeta tiene \"ceros\", puntos donde su valor es exactamente cero, y en el caso de la zeta hay infinitos. Algunos de esos ceros son triviales y están bien entendidos; los interesantes son los demás, y la hipótesis de Riemann afirma que todos y cada uno de esos ceros no triviales yace exactamente en una recta vertical específica, llamada la línea crítica.

Aquí va una forma de ver la conexión con los primos. La función zeta, en su forma más simple, es una suma: 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + ... recorriendo todos los números enteros, elevados a un exponente s. Nada de primos todavía. Es simplemente sumar fracciones.

El truco de Euler, allá por 1700, fue mostrar que esa misma suma infinita es exactamente igual a un producto infinito que solo usa números primos: una cadena de términos como 1/(1 − 1/2ˢ) × 1/(1 − 1/3ˢ) × 1/(1 − 1/5ˢ) × 1/(1 − 1/7ˢ) × ..., un factor por cada primo, sin compuestos. La razón es la factorización única: todo entero se descompone en primos de una sola manera, así que sumar sobre todos los enteros y multiplicar sobre todos los primos acaba codificando la misma información. Esa igualdad es el vínculo. Significa que la función zeta no solo está asociada a los primos: en realidad es otra forma de empaquetarlos.

Último apunte aquí: Riemann mostró que esos ceros controlan el término de error en cómo se espacian los primos (esa estimación de \"aproximadamente 1 de cada ln(n)\" de antes). Los ceros actúan como la letra pequeña que corrige una estimación gruesa: ahí es donde aparecen las desviaciones entre las posiciones reales de los primos y la media suave. La hipótesis de Riemann afirma que todos los ceros interesantes (los \"no triviales\" de los que hablamos) están exactamente en una recta vertical específica, la línea crítica, lo que, si fuera cierto, implicaría que esas desviaciones se mantienen todo lo pequeñas y regulares que pueden ser, y que los primos se distribuyen de la forma más predecible posible.

Entonces, ¿qué significan el 41,6% y el 67,2%?

La hipótesis de Riemann dice que el 100% de los ceros no triviales están en la línea crítica. Nadie lo ha demostrado, pero tampoco se ha refutado. Lo que los matemáticos sí han logrado demostrar, con métodos totalmente distintos, es un suelo: una fracción mínima garantizada de esos ceros que necesariamente se sientan en la línea, pase lo que pase. 

Esto no es lo mismo que comprobar ceros con ordenadores uno por uno. Se han calculado billones de ceros individuales y, hasta ahora, todos han caído en la línea crítica, pero eso es solo una muestra finita. Por grande que sea, no puede descartar que, muy lejos en la recta numérica, aparezca un cero que rompa el patrón. En segundo lugar, y esto es lo importante, los porcentajes 41,6% y 67,2% no son resultados muestrales. Son afirmaciones demostradas sobre el conjunto infinito de ceros: una garantía rigurosa de que al menos esa fracción, al considerar más y más ceros, siempre estará en la línea. Es un suelo matemático firme, no una estimación ni una probabilidad.

Así que cuando el número pasa del 41,6% al 67,2%, no se ha \"encontrado\" nada nuevo. Lo que cambia es el tamaño del propio suelo garantizado, gracias a nuevas técnicas de demostración que exprimen más certeza del mismo conjunto infinito. Hacer que ese suelo suba, aunque sea un poco, suele ser un trabajo lento y técnico. Que salte 25 puntos porcentuales de golpe es lo que hace que este resultado merezca un artículo.

Entonces, ¿la hipótesis de Riemann sigue sin resolverse?

Incluso un suelo que llegara al 99% no sería una demostración. La hipótesis es una afirmación de todo o nada sobre todos los ceros, así que un solo cero fuera de la línea en cualquier lugar del conjunto infinito la haría fallar. 

Lo que sí es: una mejora real y verificada en una cuestión cuantitativa específica en la que los matemáticos llevan trabajando desde que Montgomery introdujo sus técnicas en 1973. El resultado de Claude se apoya precisamente en ese hilo: aquellas técnicas de 1973, que más tarde Baluyot, Goldston, Suriajaya y Turnage-Butterbaugh adaptaron para que no asumieran la hipótesis, combinadas con un artículo de 2000 de Enrico Bombieri. Claude encontró una forma de hilarlas, tratando a la vez, y no por separado, un cierto espacio de funciones con partes definidas positiva y negativamente. Eso es lo que empujó el suelo del 41,6% al 67,2%.

Cómo llegó Claude hasta ahí

Según Anthropic, un miembro del equipo, Jarred Sumner, simplemente pidió a Claude, ejecutándose dentro de Claude Code, que intentara abordar la hipótesis de Riemann y dejó las decisiones matemáticas en manos del modelo.

El primer intento fracasó: Claude generó y probó 650 ideas distintas, y ninguna funcionó. Tras indicarle que lo intentara de nuevo, Claude pasó aproximadamente un día y medio coordinando unos 60 subagentes que, entre todos, ejecutaron unas 2.400 órdenes de shell y escribieron cientos de scripts de Python, contrastando afirmaciones numéricas con ceros conocidos de la zeta y revisando el razonamiento de los demás. De esos 60 subagentes, solo dos desarrollaron las ideas matemáticas centrales que importaban; trece aportaron ideas de apoyo, treinta probaron enfoques que no funcionaron, trece actuaron como validadores y los dos últimos ayudaron a redactar el artículo.

Toda la ejecución usó unos 31 millones de tokens de salida en dos sesiones. Es reseñable que la contribución humana durante el proceso fue sobre todo de ánimo (\"¡sigue!\"—ese tipo de cosas), lo que según Anthropic pudo ayudar a Claude a superar su propio escepticismo inicial sobre la viabilidad del problema.

Una vez que Claude llegó al resultado, no se detuvo ahí: hizo que subagentes buscaran contraejemplos, recuperó 54 artículos de arXiv para comprobar que el hallazgo no se hubiera publicado ya y rederivó la conclusión de forma independiente como comprobación. Luego propuso escribir el resultado como un artículo y recomendó que un especialista humano en teoría de números revisara su trabajo, que fue exactamente lo que ocurrió a continuación: los matemáticos de Anthropic Levent Alpöge y Ralph Furman lo examinaron internamente, Conrey y Goldston lo revisaron externamente y, después, se elaboró una formalización aparte en Lean con Eric Easley, de Anthropic.

Lo que sigue abierto

Dos cosas principales me llaman la atención: 

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• La revisión por pares aún está pendiente en el sentido tradicional, aunque sí ha habido una revisión informal por expertos. 
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• Se entiende que la técnica es un callejón sin salida para la hipótesis completa. Anthropic es explícita al afirmar que esta línea de ataque no se espera que se generalice hasta convertirse en una demostración de la propia hipótesis de Riemann.
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Reflexión final

Esto no es un avance en la hipótesis de Riemann, y nadie implicado afirma lo contrario. Pero sí es una mejora real, verificada formalmente, en una cuestión técnica y muy concreta, planteada hace décadas, que surgió al intentar dar un golpe al objetivo principal. 

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